2013福建省质检文科数学试卷

2013福建省质检文科数学试卷

‎2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 ‎ 本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是 A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则下列不等式一定成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为 A．3 B．8 C．9 D．63‎ ‎4．“”是“”的 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎5．函数的图象是 A B C D ‎ ‎ ‎6．已知集合，，在集合中任取一个元素 ，则 “”的概率是 A． B． C． D．‎ ‎7．已知，是椭圆的两个焦点，焦距为4.若为椭圆上一点，且的周长为14，则椭圆的离心率为 A ． B． C． D．‎ ‎8．若变量满足约束条件则的最小值为 A．4 B．‎1 C．0 D． ‎ ‎9．设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎10．已知点，,，以线段为直径作圆，则直线与圆的位置关系是 A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 ‎11．已知点点是线段的等分点，则等于 A． B． C． D．‎ ‎12．定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数，给出如下结论：‎ ‎①； ②； ③；‎ 其中正确的个数是 A． 0 B．‎1 C．2 D．3 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．‎ ‎14．在中，角所对的边分别为．已知，，，则= ．‎ ‎15．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16．观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎…‎ 则当且表示最后结果.‎ ‎ （最后结果用表示最后结果）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 某工厂生产两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7．5‎ ‎9‎ ‎9．5‎ ‎6‎ ‎8．5‎ ‎8．5‎ ‎ 由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得，且两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．‎ ‎（Ⅰ）求表格中与的值；‎ ‎（Ⅱ）若从被检测的5件种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）试写出一个函数，使得，并求的单调区间．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某几何体的三视图和直观图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若是线段上的一点，且满足，求的长．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨，‎ ‎（Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？‎ ‎（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为，为使2020年这一年的SO2年排放量控制在6万吨以内，求的取值范围.‎ ‎（参考数据，）．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围．‎ ‎22．(本小题满分14分)‎ 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线，在抛物线上任意画一个点，度量点的坐标，如图．‎ ‎（Ⅰ）拖动点，发现当时，，试求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有.请你证明这一结论． ‎ ‎（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．‎ ‎2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A ‎ ‎ 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎ 13．8； 14．7； 15．； 16．．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：(Ⅰ)因为，‎ ‎ 由，得． ① ………………………………………2分 ‎ 因为，‎ ‎ 由，得． ② …………………………………………4分 ‎ 由①②解得或 因为，‎ 所以． ………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 记被检测的5件种元件分别为，其中为正品，‎ 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，， ………………………………………8分 记“2件都为正品”为事件，则事件包含以下6个基本事件：‎ ‎，，，，，.……………………………10分 所以，即2件都为正品的概率为. ………………………………………12分 ‎18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：(Ⅰ)因为，………………………………………3分 所以……………………………6分 ‎(Ⅱ). …………………………………………………………7分 下面给出证明：‎ 因为 所以符合要求．……………………………………………………9分 又因为，…………………………………………10分 由得 所以的单调递增区间为，.………………………………11分 又由,得,‎ 所以的单调递减区间为，.………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为所以，………………………………3分 又因为所以．………………………………6分 ‎(Ⅱ)同解法一．‎ 解法三：(Ⅰ)‎ ‎…………………3分 ‎………………………………6分 ‎(Ⅱ)同解法一．‎ 注：若通过得到或由两边同时约去得到不扣分．‎ ‎19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体为三棱柱，侧棱，,且，．………………………………………2分 ‎，， …………………3分 ‎，．……………………5分 又， ．………………………6分 ‎（Ⅱ）过点作交于，‎ 由（Ⅰ）知，，即为的高. ………7分 ‎， ……………………8分 ‎，解得.……………………9分 在中，， ‎ 在中，，……………………10分 由， ……………………11分 得. ……………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）过点作交于，‎ 由（Ⅰ）知，，即为的高. ………7分 ‎，‎ ‎ ………8分 ‎ ………9分 在中，， ‎ 在中，，……………………10分 由， ……………………11分 得. ……………………12分 ‎20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO2约万吨，‎ 依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为，公差为的等差数列，……………3分 所以（万吨）． ‎ 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43．5万吨．……………………6分 ‎（2）由已知得， 2012年的SO2年排放量（万吨），……………………7分 所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为的等比数列，…………………9分 由题意得＜6，即＜，‎ 所以，解得.‎ 所以SO2的年排放量每年减少的百分率的取值范围<……………………12分 ‎21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）当时，，，……………………1分 所以，当时，；当时，；……………………3分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．……………………4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以处切线的斜率，‎ 所以切线的方程为，‎ 令，得 .………………………………………………5分 当时，要使得点的纵坐标恒小于1，‎ 只需，即.……………… 6分 令，‎ 则，………………………………………………………… 7分 因为，所以，‎ ‎①若即时，，‎ 所以，当时，，即在上单调递增，‎ 所以恒成立，所以满足题意.………………………………8分 ‎②若即时，， ‎ 所以，当时，，即在上单调递减，‎ 所以，所以不满足题意.………………………………………9分 ‎③若即时，.‎ 则、、的关系如下表： ‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 所以，所以不满足题意.………………………………11分 综合①②③，可得，当时，时，此时点的纵坐标恒小于1.…………12分 ‎22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．‎ 解法一：（Ⅰ）把，代入，得，……………………2分 所以，………………………………………………………………………3分 因此，抛物线的方程．…………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，‎ 依题意可设直线，‎ 由得，则 ①……………………6分 又因为，，所以，，‎ 所以，， ……………………7分 又因为……………………………………8分 ‎， ②‎ 把①代入②，得，…………………………………………………10分 即，‎ 所以，‎ 又因为、、、四点不共线，所以．……………………………………………11分 ‎（Ⅲ）设抛物线的顶点为，定点，过点的直线与抛物线相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，则 ．……………………14分 解法二：（Ⅰ）同解法一. ‎ ‎（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，……………………5分 依题意,可设直线，‎ 由得，‎ 则 所以………………………………………………………………………………7分 又因为，，‎ 所以，，………………………………………………………………………10分 所以，，………………………………………………………………………………10分 又因为、、、四点不共线，所以.…………………………………………………11分 ‎（Ⅲ）同解法一.‎ 解法三：（Ⅰ）同解法一. ‎ ‎（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，‎ 依题意，设直线，‎ 由得，则，…………………………………………6分 又因为，，所以，，‎ 又因为，……………………………………9分 所以，所以平行于轴；‎ 同理可证平行于轴；‎ 又因为、、、四点不共线，所以.…………………………………………………11分 ‎（Ⅲ）同解法一. …………………………………………………14分