2020届二轮复习解三角形学案（全国通用）

2020届二轮复习解三角形学案（全国通用）

培优点七 解三角形 ‎1．解三角形中的要素 例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，‎ 代入可解得：．由可得：，所以．‎ ‎2．恒等式背景 例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，‎ 且有．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且的面积为，求，．‎ ‎【答案】（1）；（2）2，2．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎∴或（舍），∴；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∴，可解得．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．在中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可得，‎ 且，‎ 由余弦定理可得：．故选A．‎ ‎2．在中，三边长，，，则等于（ ）‎ A．19 B． C．18 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵三边长，，，‎ ‎∴，‎ ‎．故选B．‎ ‎3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵，由正弦定理，，∴，‎ ‎∵，，为的内角，∴，，，‎ ‎∴，，整理得，‎ ‎∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．‎ ‎4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知，，，‎ ‎∴由余弦定理，可得：，‎ 解得：，，∴．故选A．‎ ‎5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理由得：， ‎ 所以，即， 则，‎ 又，所以．故选A．‎ ‎6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，化为，‎ 所以，又因为，所以，‎ 由正弦定理可得，所以，故选A．‎ ‎7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，‎ 则的形状是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，‎ 也就是，所以，从而，‎ 故，为等边三角形．故选C．‎ ‎8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：‎ ‎，即，‎ ‎∵，，为三角形的内角，∴，即，‎ 则为直角三角形，故选B．‎ ‎9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（ ）‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，‎ 又，∴，解方程组得，，‎ 由余弦定理得，所以．故选A．‎ ‎10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，‎ 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∵，可得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴．故答案为C．‎ ‎11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（ ）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】∵，由正弦定理得：，，代入，‎ 得，∴进而可得，‎ ‎∴，则是等边三角形．故选D．‎ ‎12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，‎ 则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，‎ 去分母移项得：，‎ 所以，‎ 所以．由同角三角函数得，‎ 由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．‎ 二、填空题 ‎13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由角的余弦定理可知 ‎，‎ 又因为，所以．当且仅当，时等号成立．‎ ‎14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵的三边，，成等比数列，‎ ‎∴，得，‎ 又∵，∴，，‎ 可得，故答案为．‎ ‎15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 则，结合正弦定理得，即，‎ 由余弦定理得，化简得，‎ 故，，故答案为．‎ ‎16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，‎ 则面积的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵中，，成等差数列，∴．‎ 由正弦定理得，∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵为锐角三角形，∴，解得．‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，故面积的取值范围是．‎ 三、解答题 ‎17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得，，‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎∵∴，∴，∴．‎ ‎（2）由可得．∴，‎ ‎∵，∴由余弦定理得：，‎ ‎∴．‎ ‎18．如图，在中，点在边上，，，．‎ ‎．‎ ‎（1）求的面积．‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意，‎ 在中，由余弦定理可得 即或（舍），‎ ‎∴的面积．‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 代入得，由为锐角，故，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，解得．‎