【物理】2018届一轮复习人教版开普勒行星运动定律学案
专题20 开普勒行星运动定律
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
行星的近日点到太阳的距离r1=a–c，行星的远日点到太阳的距离r2=a+c，其中a为椭圆轨道的半长轴，c为半焦距。
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
由于轨道不是圆，故行星离太阳距离较近时速度较大（势能小而动能大），对近日点和远日点的线速度大小有v1r1=v2r2
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
若轨道周期为T，则有，比值k为对所有行星都相同（与太阳有关）的常量。
若轨道为圆，半径为r，则有，结合万有引力定律可得（G为引力常量，M为中心天体质量）
二、开普勒行星运动定律的适用范围
开普勒行星运动定律不仅适用于太阳–行星系统，类似的绕中心天体转动的系统一般都适用，如地–月系统、行星–卫星系统、恒星–彗星系统等。
自古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了他们的注意。智慧的头脑开始探索星体运动的奥秘，人类对这种运动规律的认识经历了漫长的历程，它随着认识的深入而不断地发展。下列关于对星体运动认识的叙述中符合现代认识观点的是
A．人们观测到太阳每天都要东升西落，这说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B．人们观测到行星绕太阳做圆周运动，这说明太阳是静止不动的，是宇宙的中心
C．人们认为天体的运动是神圣的，因此天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
D．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，得出了行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论
【参考答案】D
【详细解析】在太阳系中，地球及所有的行星都绕太阳运转，故太阳是太阳系的中心，而在整个宇宙中，太阳也不断绕着其他天体运转，故太阳不是宇宙的中心，AB错误；天体的运动轨道有很多是椭圆的，或更为复杂的轨迹，C错误；开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，得出了行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论，D正确。
【名师点睛】日心说由哥白尼在《天体运行论》中提出，开普勒在日心说和第谷的观察数据基础上得到了三条行星运动定律，伽利略对木星的观察彻底否定了地心说。
1．某行星绕恒星运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在B点的速度比在A点的速度大。则恒星位于
A．A点 B．E点
C．O点 D．F点
【答案】A
某行星沿椭圆轨道运行，远日点与太阳的距离为a，近日点与太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为
A．va B．va
C．va D．va
【参考答案】C
【名师点睛】开普勒行星运动定律是开普勒分析了大量天文观测数据总结出的经验规律，根据万有引力定律、运动学规律进行数学推导，开普勒行星运动定律的相关结论都可以推导出来，开普勒行星运动定律没有与万有引力定律相悖之处。
1．某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，其中a为近日点，c为远日点，若行星运动周期为T，则该行星
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab<
D．c到d的时间tcd>
【答案】CD
【解析】根据开普勒第二定律可知，行星在近日点速度最大，在远日点速度最小，行星从a到b的平均速率大于从c到d的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，A错误；同理，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，B错误；在整个椭圆轨道上tda=tab<，tbc=tcd>，CD正确。
火星绕太阳公转的周期约是金星绕太阳公转的周期的三倍，则火星的轨道半径与金星的轨道半径之比约为
A．9:1 B．6:1
C．3:1 D．2:1
【参考答案】D
【详细解析】根据开普勒第三定律，有，，选D。
【名师点睛】本题也可以从万有引力充当向心力的角度，根据万有引力定律和牛顿第二定律进行计算。
1．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示，该行星与地球的公转半径比为
A． B．
C． D．
【答案】B
2．德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律。根据第三定律，设太阳的行星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为k1，地球的卫星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为k2，月球的卫星匀速圆周运动的半径立方与周期平方的比值为k3，则三者大小关系为
A．k1=k2=k3 B．k1>k2>k3
C．k1
k2=k3
【答案】B
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．木星与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2．人们经长期观测发现，天王星绕太阳圆周运动实际运行的轨道总是周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离。英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维耶认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星。这就是后来被称为“笔尖下发现的行星”——海王星，已知天王星运行的周期为T0，轨道半径为R0。则海王星绕太阳运行周期T、轨道半径R是
A． B．
C． D．
3．太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。用R（单位为AU）和T（单位为年）分别表示行星绕太阳公转的圆轨道半径和周期，已知R地=1 AU、T地=1年，八大行星的坐标(lg T，lg R)分布在下列哪个坐标系的直线上
A． B．
C． D．
4．已知人造航天器在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，绕行方向与行星自转方向相同（人造航天器周期小于行星的自转周期），经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与行星的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，航天器上的人两次相邻看到行星赤道上的标志物的时间间隔是∆t，这个行星的同步卫星离行星的球心距离为
A． B．
C． D．
5．如图所示，A、B为地球两个同轨道面的人造卫星，运行方向相同，A为同步卫星，A、B卫星的轨道半径之比为rA:rB=k:1，地球自转周期为T。某时刻A、B两卫星位于地球同侧直线上，从该时刻起至少经过多长时间A、B间距离最远
A． B．
C． D．
6．假设某卫星在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，该卫星与地球同步卫星同向运动。已知地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高度36 000 km。每当两者相距最近时，卫星向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送至地面接收站。从某时刻两者相距最远开始计时，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（不考虑信号传输所需时间）
A．4次 B．6次
C．7次 D．8次
7．（2017新课标全国Ⅱ卷）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
8．（2016新课标全国Ⅲ卷）关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
9．（2014浙江卷）长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1=19 600 km，公转周期T1=6.39天。2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2=48 000 km，则它的公转周期T2最接近于
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
10．（2016新课标全国Ⅰ卷）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
11．（2014新课标全国Ⅰ卷）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；6月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径（AU）
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次的冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中海王星相邻两次冲日间隔时间最短
2．BC【解析】天王星发生最大偏离时，天王星、海王星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，则有 ，解得海王星的运行周期，A错误，B正确；由开普勒第三定律有，解得，C正确，D错误。
3．A【解析】根据开普勒第三定律有，代入数据可得k=1 AU3/年2，则有R3=T2，两边取对数，可得3lg R=2lg T，即lg R与lg T成正比关系，选A。
4．D【解析】航天器的轨道半径，航天器的角速度，航天器的周期，设同步卫星的周期为T′，则其角速度，经时间Δt，有(ω–ω′)Δt=2π，得，又由开普勒第三定律有，可得，选D。
5．A【解析】由开普勒第三定律有，可得，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于π时，卫星相距最远，设两卫星至少经过时间t距离最远，有，解得，选A。
6．C【解析】根据开普勒第三定律有，其中R1=10 600 km，R2=42 400 km，可得同步卫星的周期T2是该卫星周期T1的8倍，已知同步卫星的周期为24 h，该卫星的周期T1=3 h，当两者与地球共线且位于地球异侧时，相距最远，该卫星追到与同步卫星最近时，多转过π，追击时间t满足，解得，此后，该卫星再次与同步卫星最近，需要时间，由，则总共可以接收6+1=7次信号，选C。
8．B【解析】开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，即行星按照开普勒三定律运动的原因，ACD错误，B正确。
9．B【解析】根据开普勒第三定律，代入数据可得T2≈25天，选B。
10．B【解析】设地球半径为R，周期T=24 h，地球自转周期取最小值时，三颗同步卫星的位置如图所示，此时同步卫星的半径r1=2R，由开普勒第三定律，可得，选B。
11．BD【解析】根据开普勒第三定律可得地外行星的周期，相邻两次行星冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间，为，大于1年，A错误；木星冲日的时间间隔为年，2014年的冲日时间是1月6日，所以下次木星冲日在2015年，B正确；相邻两次行星冲日的时间间隔，对天王星有年，对土星有年，C错误；海王星的轨道半径最大，周期最大，相邻两次冲日的时间间隔最短，D正确。
