广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第二次质检数学理试题

广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第二次质检数学理试题

高三级数学（理科）质检试题2012年12月 一．选择题。（每小题5分，共40分）‎ ‎1．集合，则 （ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知函数，x∈R,则是（ ） ‎ ‎　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 ‎　C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎3.已知函数，且，则是（ ）‎ A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增 C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减 ‎4.设数列是公差为为0的等差数列，是数列的前项和，若成等比数列，则 （ ）‎ ‎ A．3 B．‎4 ‎C．6 D．7‎ ‎5．“”是“函数有零点”的( )‎ A．充分非必要条件 B.充要条件 ‎ C．必要非充分条件 D.非充分必要条件 ‎6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为 ( )‎ ‎ A．1 B． C. D． ‎ ‎7．已知满足，则的最大值是( ).‎ ‎ A. B. C. D. 2 ‎ ‎⒏定义，其中，，，，且互不相等．则的所有可能且互不相等的值之和等于( ). zxxk A． B． C． D．以上都不对 二．填空题。（每小题5分，共30分）‎ ‎9. 设是等差数列的前项和，且，则= .‎ ‎10．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则= ．‎ ‎11. . zxxk ‎ ‎ ‎12.设抛物线：的准线与对称轴相交于点，‎ 过点作抛物线的切线，切线方程是 ．‎ ‎13．已知是上的奇函数，，且对任意都有 成立，则 ；‎ ‎ .‎ ‎14.如图，圆的直径，为圆周上一点， ‎ ‎，过作圆的切线，过作直线的垂线，‎ 为垂足，与圆交于点，则线段的长为 ．‎ 三．解答题（共80分）‎ ‎15. （本小题满分12分）已知函数 ‎（1）求f（x）的最大值； ‎ ‎（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝‎2A，且-，‎ 求角C的大小．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，‎ ‎（1）若，，，求角的度数；‎ ‎（2）若，，，求的值. zxxk 第14题图 ‎17.已知数列是首项为２，公比为的等比数列，为的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项及；‎ ‎（2）设数列是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列的通项公式及其 前项和.‎ ‎18.已（本小题满分14分）知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值.‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，求.zxxk ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；‎ ‎（3）求证：．‎ 高三级数学（理科）质检试题参考答案2012年12月 ‎15.解：（1） ……zxxk…………2分 ‎．（注：也可以化为） …4分 所以的最大值为． …………………………………………………………6分 ‎（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）‎ ‎（2）因为，由（1）和正弦定理，得．………………7分 又，所以，即， ………………9分 而是三角形的内角，所以，故，， ………………11分 所以，，． ……………………………………12分 ‎16.解：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………6分 ‎（2） ……………………7分 ‎ 得 ……………………8分 ‎……………………10分 ‎……………………12分 ‎18.解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；‎ 令f′(x)＞0，解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,3).‎ ‎(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ 所以f(2)＞f(－2).‎ 因为在区间(－1,3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,2)上单调递增.‎ 又由于f(x)在(－2，－1)上单调递减，‎ 因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，‎ 于是有22＋a＝20，解得a＝－2，‎ 故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，‎ 因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.‎ ‎17. 解：（1）∵数列是首项，公比的等比数列 ‎∴，---------------zxxk------------3分 ‎.------------------------------7分 ‎（2）依题意得数列的公差----zxxk------- 8分 ‎∴‎ ‎∴--------------------------zxxk---------9分 设数列的前ｎ项和为 则--------------------------------10分 ‎∴.--------- 14分 ‎19.解：（Ⅰ）∵，，，-------------------------------2分 由成等差数列得，，即，‎ 解得，故； ---------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）， ---------------------------------------6分 法1：， ①‎ ‎①得，， ②‎ ‎①②得，‎ ‎， ---------------------------------------10分 ‎∴． --zxxk--------------------------14分 ‎20.解：（1）当时，，定义域是，‎ ‎， 令，得或． …2分 当或时，，当时，， ‎ ‎ 函数在、上单调递增，在上单调递减． zxxk…4分 的极大值是，极小值是．‎ 当时，； 当时，，‎ 当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分 ‎ （2）当时，，定义域为．‎ ‎ 令，‎ ‎ ，‎ ‎ 在上是增函数． …………zxxk……………7分 ‎①当时，，即；‎ ‎②当时，，即；‎ ‎③当时，，即． …………………………………9分 ‎（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．‎ 令，则有， ． ……………12分 ‎，‎ ‎． ……………………………………14分 ‎ (法二)当时，．‎ ‎，，即时命题成立． ………zxxk………………10分 设当时，命题成立，即 ．‎ ‎ 时，．‎ 根据（2）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，‎ 则有，即时命题也成立．……………13分 ‎1 2 3 ‎ ‎4 5 6 n-1 n ‎…‎ 因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分 ‎（法三）如图，根据定积分的定义，‎ 得．……11分