苏教版四年级下册数学应用题解题技巧大全

苏教版四年级下册数学应用题解题技巧大全

小学数学应用题解题技巧大全 ‎1 归一问题 ‎【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。‎ ‎【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 ‎【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。‎ 例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？‎ 解:（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）‎ ‎（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）‎ 列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要1.92元。‎ 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？‎ 解:（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）‎ ‎（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）‎ 列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷） 答：5台拖拉机6天耕地300公顷。‎ 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？‎ 解:（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）‎ ‎（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）‎ ‎（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）‎ 列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次） 答：需要运3次。‎ ‎2 归总问题 ‎【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。‎ ‎【数量关系】1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 ‎【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。‎ 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？‎ 解:（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）‎ ‎（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）‎ 列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：现在可以做904套。‎ 例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？‎ 解:（1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页）‎ ‎（2）小明几天可以读完《红岩》？288÷36＝8（天）‎ 列成综合算式24×12÷36＝8（天） 答：小明8天可以读完《红岩》。‎ 例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？‎ 解:（1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）‎ ‎（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）‎ 列成综合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天） 答：这批蔬菜可以吃25天。‎ ‎3 和差问题 ‎【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。‎ ‎【数量关系】 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2‎ ‎【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。‎ 例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？‎ 解: 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）‎ 乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。‎ 例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。‎ 解: 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）‎ 长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米） 答：长方形的面积为80平方厘米。‎ 例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。‎ 解:甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克） 丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）‎ 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）‎ 答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。‎ 例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？‎ 解:“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）‎ 乙车筐数＝97－64＝33（筐） 答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。‎ ‎4 和倍问题 ‎【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。‎ ‎【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数 ‎【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ 例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？‎ 解:（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）‎ ‎（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。‎ 例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？‎ 解:（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）‎ ‎（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨） 答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。‎ 例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？‎ 解:每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于 ‎（2＋1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为 ‎（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）‎ 所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天） 答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。‎ 例4甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？‎ 解: 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。‎ 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；‎ 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；‎ 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，‎ 甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙数＝28×2－4＝52‎ 丙数＝28×3＋6＝90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。‎ ‎5 差倍问题 ‎【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。‎ ‎【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数 ‎【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ 例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？‎ 解:（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）‎ ‎（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。‎ 例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？‎ 解:（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）‎ ‎（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。‎ 例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？‎ 解:如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元） 本月盈利＝18＋30＝48（万元）‎ 答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。‎ 例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？‎ 解:由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）‎ 运出的小麦数量＝94－22＝72（吨） 运粮的天数＝72÷9＝8（天）‎ 答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。‎ ‎6 倍比问题 ‎【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。‎ ‎【数量关系】总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量 ‎【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。‎ 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？‎ 解:（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）‎ ‎（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）‎ 列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克） 答：可以榨油1480千克。‎ 例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？‎ 解:（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）‎ ‎（2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵）‎ 列成综合算式400×（48000÷300）＝64000（棵） 答：全县48000名师生共植树64000棵。‎ 例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？‎ 解:（1）800亩是4亩的几倍？800÷4＝200（倍）‎ ‎（2）800亩收入多少元？11111×200＝2222200（元）‎ ‎（3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）‎ ‎（4）16000亩收入多少元？2222200×20＝44444000（元）‎ 答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。‎ ‎7 相遇问题 ‎【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。‎ ‎【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 ‎【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ 例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？‎ 解: 392÷（28＋21）＝8（小时） 答：经过8小时两船相遇。‎ 例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？‎ 解:“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。‎ 因此总路程为400×2 相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）‎ 答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。‎ 例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。‎ 解:“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，‎ 相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时） 两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）‎ 答：两地距离是84千米。‎ ‎8 追及问题 ‎【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。‎ ‎【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 ‎【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ 例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？‎ 解:（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）‎ ‎（2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）‎ 列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） 答：好马20天能追上劣马。‎ 例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。‎ 解:小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用 ‎［40×（500÷200）］秒， 所以小亮的速度是 ‎（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）‎ 答：小亮的速度是每秒3米。‎ 例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？‎ 解:敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）‎ ‎＝220÷20＝11（小时） 答：解放军在11小时后可以追上敌人。‎ 例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。‎ 解: 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）‎ 所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）‎ 列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）‎ 答：甲乙两站的距离是352千米。‎ 例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？‎ 解: 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷（90－60）＝12（分钟）‎ 家离学校的距离为90×12－180＝900（米） 答：家离学校有900米远。‎ 例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。‎ 解: 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。‎ 所以 步行1千米所用时间为1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）‎ 跑步1千米所用时间为15－［9－（10－5）］＝11（分钟） 跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）‎ 答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。‎ ‎9 植树问题 ‎【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。‎ ‎【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1‎ 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4‎ 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3 面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）‎ ‎【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。‎ 例1一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？‎ 解: 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽69棵垂柳。‎ 例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？‎ 解: 400÷4＝100（棵） 答：一共能栽100棵白杨树。‎ 例3一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？‎ 解: 220×4÷8－4＝110－4＝106（个） 答：一共可以安装106个照明灯。‎ 例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？‎ 解: 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块） 答：至少需要400块地板砖。‎ 例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？‎ 解:（1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）‎ ‎（2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）‎ ‎（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏） 答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。‎ ‎10 年龄问题 ‎【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。‎ ‎【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。‎ ‎【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。‎ 例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？‎ 解: 35÷5＝7 （35+1）÷（5+1）＝6‎ 答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。‎ 例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？‎ 解: （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）‎ ‎（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）‎ 列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年） 答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。‎ 例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？‎ 解:今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为49＋3×2＝55（岁）‎ 把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 ‎55÷（4＋1）＝11（岁）今年父亲年龄为11×4＝44（岁）‎ 答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。‎ 例4甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？‎ 解: 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：‎ ‎ ‎ 过去某一年 今年 将来某一年 甲 ‎□岁 ‎△岁 ‎61岁 乙 ‎4岁 ‎□岁 ‎△岁 表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。‎ 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差， 因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）‎ 甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）‎ 乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁） 答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。‎ ‎11 行船问题 ‎【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。‎ ‎【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2‎ ‎【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？‎ 解:由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，‎ 所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米） 船的逆水速为25－15＝10（千米）‎ 船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用32小时。‎ 例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？‎ 解:由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20‎ 可见（36－20）相当于水速的2倍， 所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）‎ 又因为，乙船速－水速＝360÷15， 所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）‎ 乙船顺水速为32＋8＝40（千米） 所以，乙船顺水航行360千米需要360÷40＝9（小时）‎ 答：乙船返回原地需要9小时。‎ 例3一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？‎ 解: 这道题可以按照流水问题来解答。‎ ‎（1）两城相距多少千米？ （576－24）×3＝1656（千米）‎ ‎（2）顺风飞回需要多少小时？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小时）‎ 列成综合算式 ‎［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要2.76小时。‎ ‎12 列车问题 ‎【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。‎ ‎【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）‎ 火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）‎ ‎【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？‎ 解: 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。‎ ‎（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）‎ ‎（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）‎ 列成综合算式 900×3－2400＝300（米） 答：这列火车长300米。‎ 例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？‎ 解:火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为 8×125－200＝800（米） 答：大桥的长度是800米。‎ 例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？‎ 解:从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，‎ 所求的时间为 （225＋140）÷（22－17）＝73（秒） 答：需要73秒。‎ 例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？‎ 解:如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。‎ ‎150÷（22＋3）＝6（秒） 答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。‎ 例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？‎ 解:车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 ‎（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）‎ 进而可知，车长和桥长的和为 （25×58）米，‎ 因此， 车长为25×58－1250＝200（米） 答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。‎ ‎13 时钟问题 ‎【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。‎ ‎【数量关系】分针的速度是时针的12倍，‎ 二者的速度差为11/12。‎ 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。‎ ‎【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。‎ 例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？‎ 解:钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈22（分）‎ 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。‎ 例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？‎ 解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。‎ ‎（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分） （5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分） ‎ ‎ 答：4点06分及4点38分时两针成直角。‎ 例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？‎ 解六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。‎ ‎（5×6）÷（1－1/12）≈33（分） 答：6点33分的时候分针与时针重合。‎ ‎14 盈亏问题 ‎【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。‎ ‎【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，‎ 则有：参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 ‎【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。‎ 例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？‎ 解: 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：‎ ‎（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）‎ ‎（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个） 答：有小朋友12人，有47个苹果。‎ 例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？‎ 解: 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，‎ 按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为 ‎（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）‎ 这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米） 答：这条路全长7800米。‎ 例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？‎ 解:本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 ‎（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）‎ ‎（2）有多少人？40×6＋30＝270（人） 答：有6辆车，有270人。‎ ‎15 工程问题 ‎【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。‎ ‎【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。‎ 工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）‎ ‎【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。‎ 例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？‎ 解:题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。‎ 由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要6天完成。‎ 例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？‎ 解:设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以 ‎（1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）‎ ‎（2）这批零件共有多少个？ 7÷（1/6－1/8）＝168（个）‎ 答：这批零件共有168个。‎ 解二上面这道题还可以用另一种方法计算：‎ 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3‎ 由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7‎ 所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个） 答：这批零件共有168个。‎ 例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？‎ 解:必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 ‎60÷12＝560÷10＝660÷15＝4‎ 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）‎ 答：还需要5小时才能完成。‎ 例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？‎ 解:注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。‎ 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1‎ 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15‎ 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，‎ 所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）‎ 答：至少需要9个进水管。‎ ‎16 正反比例问题 ‎【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。‎ 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。‎ ‎【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。‎ ‎【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。‎ 例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？‎ 解:由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12‎ 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12‎ 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，‎ 从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米） 答：这条公路总长3600米。‎ 例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？‎ 解:做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题则有 ‎28∶4＝91∶X X＝91×4÷28 ‎ ‎ 28X＝91×4 X＝13 ‎ ‎ 答：91分钟可以做13道应用题。‎ 例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？‎ 解:书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15‎ ‎36X＝24×15‎ X＝10 答：10天就可以看完。‎ 例4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。‎ A ‎25‎ ‎20‎ ‎36‎ B ‎16‎ 解由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，‎ A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16‎ 解这两个比例，得A＝45 B＝20‎ 所以，大矩形面积为45＋36＋25＋20＋20＋16＝162‎ 答：大矩形的面积是162‎ ‎17 按比例分配问题 ‎【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。‎ ‎【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和 ‎【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。‎ 例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？‎ 解:总份数为47＋48＋45＝140‎ 一班植树560×47/140＝188（棵）‎ 二班植树560×48/140＝192（棵）‎ 三班植树560×45/140＝180（棵） 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。‎ 例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？‎ 解: 3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）‎ ‎60×4/12＝20（厘米） 60×5/12＝25（厘米）‎ 答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。‎ 例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。‎ 解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝1717×9/17＝9‎ ‎17×6/17＝617×2/17＝2 答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。‎ 例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？‎ 人数 ‎80人 一共多少人？‎ 对应的份数 ‎12－8‎ ‎8＋12＋21‎ 解:80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人） 答：三个车间一共820人。‎ ‎18 百分数问题 ‎【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。‎ 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。‎ ‎【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：‎ 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数 ‎【解题思路和方法】一般有三种基本类型：‎ ‎（1）求一个数是另一个数的百分之几；‎ ‎（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；‎ ‎（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。‎ 例1仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？‎ 解:（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%‎ ‎（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%‎ 答：用去了10%，剩下90%。‎ 例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？‎ 解: 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以 ‎（525－420）÷525＝0.2＝20% 或者1－420÷525＝0.2＝20%‎ 答：男职工人数比女职工少20%。‎ 例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？‎ 解:本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 ‎（525－420）÷420＝0.25＝25% 或者525÷420－1＝0.25＝25%‎ 答：女职工人数比男职工多25%。‎ 例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？‎ 解:（1）男职工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%‎ ‎（2）女职工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%‎ 答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。‎ 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：‎ 增长率＝增长数÷原来基数×100% 合格率＝合格产品数÷产品总数×100%‎ 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%‎ 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%‎ 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100% 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%‎ 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%‎ 命中率＝命中次数÷总次数×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%‎ 及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%‎ ‎19 “牛吃草”问题 ‎【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。‎ ‎【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 ‎【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。‎ 例1一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？‎ 解:草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：‎ ‎（1）求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 ‎1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 ‎1×10×20－1×15×10＝50‎ 因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5‎ ‎（2）求原有草量 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100‎ ‎（3）求5天内草总量 ‎5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125‎ ‎（4）求多少头牛5天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。‎ 因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）‎ 答：需要5头牛5天可以把草吃完。‎ 例2一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？‎ 解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：‎ ‎（1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 ‎10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14‎ 因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2‎ ‎（2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30‎ ‎（3）求17人几小时淘完 ‎17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 ‎30÷（17－2）＝2（小时）‎ 答：17人2小时可以淘完水。‎ ‎20 鸡兔同笼问题 ‎【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。‎ ‎【数量关系】第一鸡兔同笼问题：‎ 假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）‎ 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）‎ 第二鸡兔同笼问题：‎ 假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）‎ ‎【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。‎ 例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？‎ 解: 假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只） ‎ ‎ 也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）‎ 答：有鸡23只，有兔12只。‎ 例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？‎ 解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）‎ 答：白菜地有10亩。‎ 例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？‎ 解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）‎ 日记本数＝45－15＝30（本）‎ 答：作业本有15本，日记本有30本。‎ 例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？‎ 解: 假设100只全都是鸡，则有 兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）‎ 鸡数＝100－20＝80（只）‎ 答：有鸡80只，有兔20只。‎ 例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？‎ 解:假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚 ‎（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）‎ 共有大和尚100－75＝25（人） 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。‎ ‎21 方阵问题 ‎【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。‎ ‎【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：‎ 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1‎ ‎（2）方阵总人数的求法：‎ 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）‎ 内边人数＝外边人数－层数×2‎ ‎（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4‎ ‎【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。‎ 例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？‎ 解 22×22＝484（人） 答：参加体操表演的同学一共有484人。‎ 例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。‎ 解: （10－3）×3x4＝84（人） 答：全方阵84人。‎ 例3有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？‎ 解:（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）‎ ‎（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）‎ ‎（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）‎ 答：这队学生共160人。‎ 例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？‎ 解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）‎ ‎（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）‎ ‎（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只） 答：棋子有40只。‎ 例5有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？‎ 解: 第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）‎ 第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）‎ 答：这个三角形树林一共有15棵树。‎ ‎22 商品利润问题 ‎【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。‎ ‎【数量关系】利润＝售价－进货价 利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%‎ 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%‎ ‎【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。‎ 例1某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？‎ 解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了 ‎1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。‎ 例2某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？‎ 解要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为（52－50）÷50＝4%‎ 答：该店是盈利的，盈利率是4%。‎ 例3成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？‎ 解问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 ‎0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）‎ 剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）‎ 又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%‎ 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。‎ 例4某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。‎ 解设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为1－10%＝0.9‎ 甲店定价为0.9×（1＋30%）＝1.17‎ 乙店定价为1×（1＋20%）＝1.20‎ 由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元）‎ 乙店定价为200×1.2＝240（元） 答：乙店的定价是240元。‎ ‎23 存款利率问题 ‎【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。‎ ‎【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%‎ 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息 本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］‎ ‎【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ 例1李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。‎ 解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，‎ 所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率，‎ 所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）‎ 答：李大强的存款期是30月即两年半。‎ 例2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？‎ 解甲的总利息 ‎［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3‎ ‎＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）‎ 乙的总利息10000×9%×5＝4500（元）‎ ‎4500－4461.47＝38.53（元） 答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。‎ ‎24 溶液浓度问题 ‎【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。‎ ‎【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%‎ ‎【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。‎ 例1爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？‎ 解（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）‎ ‎（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）‎ 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。‎ 例2要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？‎ 解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 ‎600×（30%－25%）＝30（克）‎ 这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）‎ 由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600－200＝400（克）‎ 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。‎ 例3甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。‎ 解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：‎ 甲容器 乙容器 原有 盐水500‎ 盐500×12%＝60‎ 水500‎ 第一次把甲中一半倒入乙中后 盐水500÷2＝250‎ 盐60÷2＝30‎ 盐水500＋250＝750‎ 盐30‎ 第而次把乙中一半倒入甲中后 盐水250＋375＝625‎ 盐30＋15＝45‎ 盐水750÷2＝375‎ 盐30÷2＝15‎ 第三次使甲乙中 盐水同样多 盐水500‎ 盐45－9＝36‎ 盐水500‎ 盐45－36＋15＝24‎ 由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8%‎ 答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。‎ ‎25 构图布数问题 ‎【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。‎ ‎【数量关系】根据不同题目的要求而定。‎ ‎【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。‎ 例1十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。‎ 解符合题目要求的图形应是一个五角星。‎ ‎4×5÷2＝10‎ 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。‎ 例2九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。‎ 解符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，‎ 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。‎ 例3九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。‎ 解符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。4×3－3＝9‎ 例4把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。‎ 解共有五种写法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋7 12＝2＋4＋612＝3＋4＋5‎ 在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：‎ ‎26 幻方问题 ‎【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。‎ ‎【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。‎ 三级幻方的幻和＝45÷3＝15 五级幻方的幻和＝325÷5＝65‎ ‎【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。‎ 例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。‎ 解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15‎ 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。‎ 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎8‎ 即45＋3Χ＝60 所以Χ＝5‎ 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。‎ 例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，‎ 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。‎ 解只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为 ‎（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18‎ 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：‎ 最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4‎ 最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。‎ 首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎3‎ 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。‎ ‎27 抽屉原则问题 ‎【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。‎ ‎【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。‎ 抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。‎ 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。‎ ‎【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；‎ ‎（2）把元素放入（或取出）抽屉；‎ ‎（3）说明理由，得出结论。‎ 例1育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？‎ 解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。‎ 例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？‎ 解人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到3645÷20＝182……5根据抽屉原则的推广规律，可知 k＋1＝183‎ 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。‎ 例3一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？‎ 解把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。‎ 答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。‎ ‎28 公约公倍问题 ‎【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。‎ ‎【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。‎ ‎【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。‎ 例1一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？‎ 解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。‎ 答：正方形的边长是4厘米。‎ 例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？‎ 解要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。‎ 答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。‎ 例3一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？‎ 解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。‎ 所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）‎ 答：至少要植26棵树。‎ 例4一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。‎ 解如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为 ‎60×3＋1＝181（个） 答：棋子的总数是181个。‎ ‎29 最值问题 ‎【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。‎ ‎【数量关系】一般是求最大值或最小值。‎ ‎【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。‎ 例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？‎ 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。‎ 答：最少需要9分钟。‎ 例2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？‎ 解我们采用尝试比较的方法来解答。‎ 集中到1号场总费用为1×200×10＋1×400×40＝18000（元）‎ 集中到2号场总费用为1×100×10＋1×400×30＝13000（元）‎ 集中到3号场总费用为1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）‎ 集中到4号场总费用为1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）‎ 集中到5号场总费用为1×100×40＋1×200×30＝10000（元）‎ 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。‎ 答：集中到5号煤场费用最少。‎ ‎ ‎ 重庆 武汉 北京 ‎800‎ ‎400‎ 上海 ‎500‎ ‎300‎ ‎ ‎ 例3北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？解北京调运到重庆的运费最高，因此，北京往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为 ‎500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）‎ 答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。‎ ‎30 列方程问题 ‎【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。‎ ‎【数量关系】方程的等号两边数量相等。‎ ‎【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。‎ ‎（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。‎ ‎（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。‎ ‎（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。‎ ‎（4）解；求出所列方程的解。‎ ‎（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。‎ ‎（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。‎ 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。‎ 例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？‎ 解第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。‎ 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。‎ 列方程：90－Χ＝2Χ－30‎ 解方程得Χ＝40从而知90－Χ＝50‎ 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。‎ 列方程（2Χ－30）＋Χ＝90‎ 解方程得Χ＝40从而得知2Χ－30＝50‎ 答：甲班有50人，乙班有40人。‎ 例2鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？‎ 解:第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程4Χ＋2（35－Χ）＝94解方程得Χ＝12则35－Χ＝23‎ 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，‎ 则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）‎ 所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）‎ 鸡数＝35－12＝23（只） 答：鸡是23只，兔是12只。‎ 例3仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？‎ 解第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940÷4－125＝110（袋）‎ 第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋）‎ 第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程940÷4－Χ＝125‎ 解方程得Χ＝110‎ 第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得 ‎（125＋Χ）×4＝940解方程得Χ＝110 答：乙汽车每次运110袋。‎ 一、☆变单位“1” ☆‎ 例题1：甲乙两色糖的重量比是4:1，如果从甲色糖取出10克放入乙色糖后，甲乙两色糖的重量之比是7:5，那么甲色糖原来重多少克？‎ ‎ 变式：甲、乙两个书架上共有若干本书，已知甲书架的书比乙书架的书为7:5。如果从甲书架拿出39本放到乙书架上，则乙书架的书比甲书架的书多 ，求甲、乙两个书架共有多少本书？‎ 二、☆倒推法 ☆‎ 例题2：耕一块地，第一天的比这块地的 多2公顷，第二天耕的比剩下的 少1公顷，这时还剩38公顷没有耕，这块地共有多少公顷？‎ 变式：小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页？‎ ‎ 三、☆行程问题☆‎ 例题3：两地相距600千米，甲乙两列火车同时从两地出发相向而行，经过6小时相遇，已知甲每小时行的路程比乙每小时行的 多1千米，乙每小时行多少千米？‎ ‎ ‎ 变式：甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，这时乙车距离A地还有120千米，A、B两地相距多少千米？‎ ‎ ‎ 例题4：一架飞机在A、B两个城市之间飞行，顺风需要5.5小时，逆风需要6小时，风速为24千米/时，A、B两城市之间的距离是多少？‎ ‎ 变式1：一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要38小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？‎ ‎ 四、☆工程问题（掌握假设和合并技巧）☆‎ 例题5：一件工程，甲独做要40天，乙独做要60天，现在两人合做，中间甲因病休息了几天，所以27天才完成，甲休息了多少天？（假设技巧）‎ ‎ ‎ ‎ 变式：甲乙两人合作一批零件，需25天完成，先由甲单独加工10天，再由乙单独加工30天，这时共加工了这批零件的 ，乙每天能加工这批零件的几分之几？（合并技巧） ‎ 五、☆比例问题☆‎ 例题6：一辆汽车在甲乙两站之间行驶，往返一次共用4小时，汽车去时每小时行45千米，回来时每小时行30千米。甲乙两站之间的距离是多少千米？（抓准不变量）‎ ‎  ‎ 变式1：甲乙两个瓶子里装的溶液体积相等，甲瓶中酒精与水的体积比是3:1，乙瓶中酒精与水的体积比是4:1，现在把两瓶溶液混和在一起，这时酒精和水的体积比是多少？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式2：光明小学五年级共有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一个小组与第二个小组人数的比是2:3，第二个小组与第三个小组人数的比是4:5，这三个小组各有多少人？‎ ‎ ‎ 六、☆立体几何☆‎ 例题7：一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是60平方厘米，水深8厘米。现将一个 底面积是12平方厘米的圆柱体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在水面上，现在 水深多少厘米？ ‎ 变式：有一个高为8厘米，容积为50毫升的圆柱形容器，里面装满了水，现把长16‎ 厘米的圆柱垂直放入，这时一部分水从容器中溢出，当把水中圆柱从容器中取出后，‎ 容器中水高度是6厘米，求圆柱体体积。‎ ‎ 七、☆方程法，俗称“万能法” ☆‎ 例题8：甲书架有800本书，乙书架有240本书，现在甲乙书架分别都取走相等的书，乙书架剩下的书正好是甲书架剩下的书的 ，甲、乙书架分别取走了多少本书？‎ ‎ ‎ 八、☆销售问题☆‎ 例题9：某商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这个商品 的成本是多少元？‎ 变式：商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为每双8.7元,卖到还剩200双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元，这批凉鞋共有多少双？‎ 九、☆分数与百分数问题☆‎ 例题10：甲乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数的 比乙班参加人数的 少2人。甲乙两班各有多少人参加科技小组活动？‎ ‎ 变式1：某校选出男教师的 和女教师12人参加广播操比赛，剩下的男教师人数是女教师人数的2倍，已知学校共有男女教师156名，男教师有多少人？‎ 变式2：张伯伯买回两框苹果，甲框的重量是乙框的75%，如果从乙框拿出10千克放入甲框，那么，甲框的苹果重量是乙框的2倍，乙框原有苹果重量多少千克？‎ ‎ 十、☆浓度问题☆‎ 例题7：现有40千克浓度为20%的盐水，加入多少千克水就能得到浓度为8%的盐水？‎