北师大版九年级上册数学第四章复习导学案+公式法和因式分解法讲义+一元二次方程周周测

北师大版九年级上册数学第四章复习导学案+公式法和因式分解法讲义+一元二次方程周周测

北师大版九年级上册数学第四章 复习导学案+公式法和因式分解法讲义+一元二次方程周周测 第四章 图形的相似 知识回顾与例题讲解 1、线段的比与成比例线段  相关定义：  线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB , CD 的长度分别是 m ， n ，那么就说这 两条线段的比 : :AB CD m n ，或者写成 AB m CD n  。其中，线段 AB ，CD 分别叫做这个线段 比的前项和后项。如果把 m n 表示成比值 k ，那么 AB kCD  ，或 AB k CD   比例线段：四条线段 a ，b ，c ，d 中，如果 a 与b 的比等于 c 与 d 的比，即 a c b d  ，那么这四 条线段 a ，b ， c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段  比例线段性质：  如果 a c b d  ，那么 ad bc  如果 ad bc ( a ，b ， c ， d 都不等于 0)，那么 a c b d   如果 a c b d  ，那么 a b c d b d    如果 ( 0)a c m b d nb d n        ，那么 a c m a b d n b         例题： (1) 若 a ∶3 =b ∶4 = c ∶5 , 且 6 cba , 则 ___________,____,  cba ； (2) 已知 x ∶ y ∶ z = 3∶4∶5 , 且 12 zyx , 那么 _________,____,  zyx ； (3)若 4 3 f e d c b a , 则 ______  fdb eca ； (4) 已知 x ∶4 = y ∶5 = z∶6 , 则 ① x ∶ y ∶z = , ② )( yx  ∶ ____)(  zy ； 2、黄金分割  定义：如下图所示，设点 C 是线段 AB 上一点，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，若 AC BC AB AC  ，妈妈称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 叫做 黄金比 A C B  例题 （1）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大 约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm （2）如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割．已知 AB =10cm，则 AC 的长约为 cm．（结果精确到 0.1cm） 3、相似多边形  相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形  相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比 4、相似三角形  定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 ABC 与 DEF 相似，记 作 ABC DEF ∽  两个三角形相似与否的判定定理  两角对应相等的两个三角形相似  三边对应成比例的两个三角形相似  两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似  例题： (1) 三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图 4 所示）.现测得 20cm 50cmOA OA ， ， 这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ． (2) 如图 8 所示，给出下列条件： ① B ACD   ；② ADC ACB   ； ③ AC AB CD BC  ； ④ ABADAC 2 ． 其中单独能够判定 ABC ACD△ ∽△ 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 (3) 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 ABC△ 相似的是（ ） 5、相似多边形的性质  相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比  相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方  例题： （1）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已 知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的 三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度是 ． （2）在 ABC△ 和 DEF△ 中， 2 2AB DE AC DF A D   ， ， ，如果 ABC△ 的周长是 16，面积是 12， 那么 DEF△ 的周长、面积依次为（ ） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 （3）如图，Rt ABC△ 中， 90ACB  °，直线 EF BD∥ ，交 AB 于点 E，交 AC 于点G，交 AD 于点 F，若 1 3AEG EBCGS S△ 四边形 ，则 CF AD  ． 6、图形的放大与缩小  定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这是的相似比又称为位似比。  位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 课堂演练： 1．若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶ 2 2．如图， ABC△ 中，CD AB 于 D，一定能确定 ABC△ 为直角三角形的条件的个数是（ ） ① 1 A   ，② CD DB AD CD  ，③ 2 90B    °， ④ 3 4 5BC AC AB ∶ ∶ ∶∶ ，⑤ CDACBDAC  A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知 ABC△ 与 DEF△ 相似且面积比为 4∶25，则 ABC△ 与 DEF△ 的相似比为 ． 4．两个相似三角形的周长比为 9:4 ，则面积比为 （ ） （A） 9:4 （B） 18:8 （C） 81:16 （D 3:2 5．如图，△ABC 与△AEF 中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB 交 EF 于 D．给出下列结论： ①∠AFC＝∠C； ②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 6．如上图，已知零件的外径为 25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等，OC=OD）量零件的内孔 直径 AB．若 OC∶OA=1∶2，量得 CD＝10mm，则零件的厚度 x＝ mm． 7．如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC， AD=4，DB=8，DE=3， （1）求 AD AB 的值； （2）求 BC 的长． 8．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都 在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F． （1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB． 9．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情 况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子 重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点 A、E、 C 在同一直线上）． 已知小明的身高 EF 是 1.7m，请你帮小明求出楼高 AB（结果精确到 0.1m）． 10 .E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的延长线于 N，求证：⑴ EC 2 = DC·CN； ⑵ CN = 4 1 ； ⑶ NE = 4 5 ； A B CD E M N 11.已知，如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交 DC 于 F、G，且 DF = FG， 对角线 BD 交 AF 于 E，求证：AP∶PF = AE∶EF 12、如图,Rt△ABAC 中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PE⊥AB 于 E,PD⊥AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE= （ ） A B CD F P G E A B C D E P A. 3 5 x  B. 4 5 x C. 7 2 D. 212 12 5 25 x x 13、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A、 8 15 B、 1 C、 4 3 D、 8 5 6 米 0.8米 4 米 h 米 14、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N． 求证：（1） CGAE  ； （2） .MNCNDNAN  15、如图下左，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC= ∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围. （3）以∆ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如 图下右).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD 2 ＋CE 2 =DE 2 . （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD 2 ＋CE 2 =DE 2 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明 理由. 16、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC CD， 于 点 P Q， ． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）； （2）求 : :BP PQ QR ． 17、如图，在△ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DC＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的 中点，连结 EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面积. 课后作业 一、 A B C D E P O R 1．在比例尺为 1∶50 0000 的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离为 46 厘米，则福州 到漳州实际距离约为 千米． 2．若线段 a ，b ，c ， d 成比例，其中 5cma  ， 7cmb  ， 4cmc  ，则 d  ． 3．已知 4 5 0x y  ，则( ) :( )x y x y  的值为 ． 4．两个相似三角形面积比是 9∶25，其中一个三角形的周长为 36cm，则另一个三角形的周长 是 ． 5．把一个矩形的各边都扩大 4 倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 6．厨房角柜的台面是三角形(如图 1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石， 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ． 8．在同一时刻，高为 1.5m 的标杆的影长为 2.5m，一古塔在地面上影长为 50m，那么古塔的 高为 ． 9．如图 3， ABC△ 中， DE BC∥ ， 2AD  ， 3AE  ， 4BD  ，则 AC  ． 10．如图 4，在 ABC△ 和 EBD△ 中， 5 3 AB BC AC EB BD ED    ， ABC△ 与 EBD△ 的周长之差为 10cm，则 ABC△ 的周长是 ． 二、 1．在下列说法中，正确的是（ ） A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 2．如图 5，在 ABC△ 中，D ，E 分别是 AB 、AC 边上的点，DE BC∥ ， 30ADE  ∠ ， 120C  ∠ ， 则 A ∠ （ ） A．60° B．45° C．30° D．20° 3．如果三角形的每条边都扩大为原来的 5 倍，那么三角形的每个角（ ） A．都扩大为原来的 5 倍 B．都扩大为原来的 10 倍 C．都扩大为原来的 25 倍 D．都与原来相等 4．如图 6，在 Rt ABC△ 中， 90ACB  ∠ ，CD AB 于 D ，若 1AD  ， 4BD  ，则CD （ ） A．2 B．4 C．2 D．3 5．如图 7， 6BC  ， E ， F 分别是线段 AB 和线段 AC 的中点，那么线段 EF 的长是（ ） A．6 B．5 C．4.5 D．3 6．如图 8，点 E 是 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点G ，AC 是 ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 7．如图 9，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ） 8．如图 10，梯形 ABCD 的对角线交于点O ，有以下四个结论： ① AOB COD△ ∽△ ； ② AOD ACB△ ∽△ ； ③ : :DOC AODS S DC AB△ △ ；④ AOD BOCS S△ △ ． 其中始终正确的有（ ） A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．如图 12，梯形 ABCD 中，AB DC∥ ， 90B  ∠ ，E 为 BC 上一点，且 AE ED ． 若 12BC  ， 7DC  ，BE∶EC=1∶2，求 AB 的长． 中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）（2014•扬州）下列各数中，比﹣2 小的数是（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 1 考点：有理数大小比较． 分析：根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案． 解答：解：比﹣2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数； 分析选项可得，只有 A 符合． 故选 A． 点评：本题考查实数大小的比较，是基础性的题目． 2．（3 分）（2014•扬州）若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是（ ） A ． xy B ． 3xy C ． x D ． 3x 考点：单项式乘单项式 专题：计算题． 分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果． 解答：解：根据题意得：3x2y÷3xy=x， 故选 C 点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（3 分）（2014•扬州）若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点 P（﹣2，3），则该函数的图象 的 点是（ ） A ． （3，﹣2） B ． （1，﹣6） C ． （﹣1，6） D ． （﹣1，﹣6） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 分析：先把 P（﹣2，3）代入反比例函数的解析式求出 k=﹣6，再把所给点的横纵坐标相乘， 结果不是﹣6 的，该函数的图象就不经过此点． 解答：解：∵反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点 P（﹣2，3）， ∴k=﹣2×3=﹣6， ∴只需把各点横纵坐标相乘，不是﹣6 的，该函数的图象就不经过此点， 四个选项中只有 D 不符合． 故选 D． 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标 的积应等于比例系数． 4．（3 分）（2014•扬州）若一组数据﹣1，0，2，4，x 的极差为 7，则 x 的值是（ ） A ． ﹣3 B ． 6 C ． 7 D ． 6 或﹣3 考点：极差 分析：根据极差的定义分两种情况进行讨论，当 x 是最大值时，x﹣（﹣1）=7，当 x 是最小 值时，4﹣x=7，再进行计算即可． 解答：解：∵数据﹣1，0，2，4，x 的极差为 7， ∴当 x 是最大值时，x﹣（﹣1）=7， 解得 x=6， 当 x 是最小值时，4﹣x=7， 解得 x=﹣3， 故选 D． 点评：此题考查了极差，求极差的方法是用最大值减去最小值，本题注意分两种情况讨论． 5．（3 分）（2014•扬州）如图，圆与圆的位置关系没有（ ） A ． 相交 B ． 相切 C ． 内含 D ． 外离 考点：圆与圆的位置关系 分析：由其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离．即可求得答案． 解答：解：∵如图，其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离． ∴其中两圆没有的位置关系是：相交． 故选 A． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握数形结合思想的应用． 6．（3 分）（2014•扬州）如图，已知正方形的边长为 1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面 积与下列各数最接近的是（ ） A ． 0.1 B ． 0.2 C ． 0.3 D ． 0.4 考点：估算无理数的大小 分析：先估算出圆的面积，再根据 S 阴影=S 正方形﹣S 圆解答． 解答：解：∵正方形的边长为 1，圆与正方形的四条边都相切， ∴S 阴影=S 正方形﹣S 圆=1﹣0.25π≈﹣0.215． 故选 B． 点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟知π≈3.14 是解答此题的关键． 7．（3 分）（2014•扬州）如图，已知∠AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN， 若 MN=2，则 OM=（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 考点：含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 专题：计算题． 分析：过 P 作 PD⊥OB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的 长，由 OD﹣MD 即可求出 OM 的长． 解答：解：过 P 作 PD⊥OB，交 OB 于点 D， 在 Rt△OPD 中，cos60°= = ，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND= MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故选 C． 点评：此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键． 8．（3 分）（2014•扬州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点 M、 N 分别在 AB、AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则 tan∠MCN=（ ） A ． B ． C ． D ． ﹣2 考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角 形；勾股定理 专题：计算题． 分析：连接 AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得 BC 的长，然后根据勾股定 理求得 CM 的长， 连接 MN，过 M 点作 ME⊥ON 于 E，则△MNA 是等边三角形求得 MN=2，设 NF=x， 表示出 CF，根据勾股定理即可求得 MF，然后求得 tan∠MCN． 解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接 MN，连接 AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在 Rt△ABC 与 Rt△ADC 中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH） ∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC= AC， ∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， ∴BC=2 ， 在 Rt△BMC 中，CM= = =2 ． ∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2， 过 M 点作 ME⊥ON 于 E，设 NE=x，则 CE=2 ﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即 4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2， 解得：x= ， ∴EC=2 ﹣ = ， ∴ME= = ， ∴tan∠MCN= = 故选 A． 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等 三角形的判定与性质是解本题的关键． 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 9．（3 分）（2014•扬州）据统计，参加今年扬州市初中毕业、升学统一考试的学生约 36800 人，这个数据 用科学记数法表示为 3.68×104 ． 考点：科学记数法—表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 36800 用科学记数法表示为：3.68×104． 故答案为：3.68×104． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 10．（3 分）（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为 7cm 和 14cm，则它的周长为 35 cm． 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 菁优网版 权所有 分析：题目给出等腰三角形有两条边长为 7cm 和 14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所 以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 解答：解：①14cm 为腰，7cm 为底，此时周长为 14+14+7=35cm； ②14cm 为底，7cm 为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故其周长是 35cm． 故答案为 35． 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明 确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构 成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 11．（3 分）（2014•扬州）如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出 该长方体的体积是 18 cm3． 考点：由三视图判断几何体． 分析：首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可． 解答：解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为 3，宽为 2，高为 3， 故其体积为：3×3×2=18， 故答案为：18． 点评：本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键． 12．（3 分）（2014•扬州）如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统 计图，若该校共有学生 700 人，则据此估计步行的有 280 人． 考点：用样本估计总体；扇形统计图． 分析：先求出步行的学生所占的百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计 全校步行上学的学生人数． 解答：解：∵骑车的学生所占的百分比是 ×100%=35%， ∴步行的学生所占的百分比是 1﹣10%﹣15%﹣35%=40%， ∴若该校共有学生 700 人，则据此估计步行的有 700×40%=280（人）． 故答案为：280． 点评：本题考查了扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中得出步行 上学学生所占的百分比． 13．（3 分）（2014•扬州）如图，若该图案是由 8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= 67.5° ． 考点：等腰梯形的性质；多边形内角与外角 分析：首先求得正八边形的内角的度数，则∠1 的度数是正八边形的度数的一半． 解答：解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°， 则正八边形的内角是：1080÷8=135°， 则∠1= ×135°=67.5°． 故答案是：67.5°． 点评：本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键． 14．（3 分）（2014•扬州）如图，△ABC 的中位线 DE=5cm，把△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在边 BC 上 的点 F 处，若 A、F 两点间的距离是 8cm，则△ABC 的面积为 40 cm3． 考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理 分析：根据对称轴垂直平分对应点连线，可得 AF 即是△ABC 的高，再由中位线的性质求出 BC，继而可得△ABC 的面积． 解答：解：∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，BC=2DE=10cm； 由折叠的性质可得：AF⊥DE， ∴AF⊥BC， ∴S△ABC= BC×AF= ×10×8=40cm2． 故答案为：40． 点评：本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出 AF 是 △ABC 的高． 15．（3 分）（2014•扬州）如图，以△ABC 的边 BC 为直径的⊙O 分别交 AB、AC 于点 D、E，连结 OD、 OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50° ． 考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质． 分析：首先根据三角形内角和求得∠B+∠C 的度数，然后求得其二倍，然后利用三角形的内 角和求得∠BOD+∠EOC，然后利用平角的性质求得即可． 解答：解：∵∠A=65°， ∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°， ∴∠BDO=∠DBO，∠OEC=∠OCE， ∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°， ∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°， ∴∠DOE=180°﹣130°=50°， 故答案为：50°． 点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大． 16．（3 分）（2014•扬州）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线， 若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a﹣2b+c 的值为 0 ． 考点：抛物线与 x 轴的交点 分析：依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可． 解答：解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， ∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与 x 轴的一个交点是 P（4，0）， ∴与 x 轴的另一个交点 Q（﹣2，0）， 把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c， ∴4a﹣2b+c=0， 故答案为：0． 点评：本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的 另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键． 17．（3 分）（2014•扬州）已知 a，b 是方程 x2﹣x﹣3=0 的两个根，则代数式 2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5 的值为 23 ． 考点：因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系 专题：计算题． 分析：根据一元二次方程解的定义得到 a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即 a2=a+3，b2=b+3，则 2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得 2a2﹣2a+17，然后再把 a2=a+3 代入后合并即可． 解答：解：∵a，b 是方程 x2﹣x﹣3=0 的两个根， ∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即 a2=a+3，b2=b+3， ∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5 =2a2﹣2a+17 =2（a+3）﹣2a+17 =2a+6﹣2a+17 =23． 故答案为 23． 点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问 题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义． 18．（3 分）（2014•扬州）设 a1，a2，…，a2014 是从 1，0，﹣1 这三个数中取值的一列数，若 a1+a2+…+a2014=69， （a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则 a1，a2，…，a2014 中为 0 的个数是 165 ． 考点：规律型：数字的变化类． 分析：首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2 得到 a12+a22+…+a20142+2152，然后设有 x 个 1，y 个﹣1，z 个 0，得到方程组 ，解方程组即 可确定正确的答案． 解答：解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014 =a12+a22+…+a20142+2×69+2014 =a12+a22+…+a20142+2152， 设有 x 个 1，y 个﹣1，z 个 0 ∴ ， 化简得 x﹣y=69，x+y=1849 解得 x=959，y=890，z=165 ∴有 959 个 1，890 个﹣1，165 个 0， 故答案为：165． 点评：本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较 大． 三、解答题（共 10 小题，满分 96 分） 19．（8 分）（2014•扬州）（1）计算：（3.14﹣π）0+（﹣ ）﹣2﹣2sin30°； （2）化简： ﹣ ÷ ． 考点：实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项 利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项利用同分母分式的减法法则计算即 可得到结果． 解答：解：（1）原式=1+4﹣1=4； （2）原式= ﹣ • = ﹣ = ． 点评：此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8 分）（2014•扬州）已知关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0 有两个相等的实数根，求 k 的值． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义 分析：根据根的判别式令△=0，建立关于 k 的方程，解方程即可． 解答：解：∵关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0 有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴[﹣（k﹣1） ] 2﹣4（k﹣1） =0， 整理得，k2﹣3k+2=0， 即（k﹣1）（k﹣2）=0， 解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或 k=2． ∴k=2． 点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 21．（8 分）（2014•扬州）八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表（10 分制）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分； （2）计算乙队的平均成绩和方差； （3）已知甲队成绩的方差是 1.4 分 2，则成绩较为整齐的是 乙 队． 考点：方差；加权平均数；中位数；众数． 分析：（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数 最多的数即可； （2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算； （3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案． 解答：解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最 中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分）， 则中位数是 9.5 分； 10 出现了 4 次，出现的次数最多， 则乙队成绩的众数是 10 分； 故答案为：9.5，10； （2）乙队的平均成绩是： （10×4+8×2+7+9×3）=9， 则方差是： [4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2 ] =1； （3）∵甲队成绩的方差是 1.4，乙队成绩的方差是 1， ∴成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 点评：本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排 列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为 ，则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2 ] ，它反映了一组 数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 22．（8 分）（2014•扬州）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店 购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是 ； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到 雪碧和奶汁的概率． 考点：列表法与树状图法；概率公式 有 分析：（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去 该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到 雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学 去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， ∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是： ； 故答案为： ； （2）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有 2 种情况， ∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为： = ． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（10 分）（2014•扬州）如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至 △DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG，DF、FG 相交于点 H． （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形． 考点：旋转的性质；正方形的判定；平移的性质 分析：（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得 ∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到 DE、FG 的位置关系是垂 直； （2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得 四边形 CBEG 是正方形． 解答：（1）解：FG⊥ED．理由如下： ∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至△DBE 后， ∴∠DEB=∠ACB， ∵把△ABC 沿射线平移至△FEG， ∴∠GFE=∠A， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∴∠DEB+∠GFE=90°， ∴∠FHE=90°， ∴FG⊥ED； （2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE， ∵CG∥EB， ∴∠BCG+∠CBE=90°， ∴∠BCG=90°， ∴四边形 BCGE 是矩形， ∵CB=BE， ∴四边形 CBEG 是正方形． 点评：此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中 的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 24．（10 分）（2014•扬州）某漆器厂接到制作 480 件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作 的件数比原来每天多 50%，结果提前 10 天完成任务．原来每天制作多少件？ 考点：分式方程的应用． 分析：设原来每天制作 x 件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出 x 的 值，再进行检验即可． 解答：解：设原来每天制作 x 件，根据题意得： ﹣ =10， 解得：x=16， 经检验 x=16 是原方程的解， 答：原来每天制作 16 件． 点评：此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本 题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间=10． 25．（10 分）（2014•扬州）如图，⊙O 与 Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角边 AC 相交于 E、F 两 点，连结 DE，已知∠B=30°，⊙O 的半径为 12，弧 DE 的长度为 4π． （1）求证：DE∥BC； （2）若 AF=CE，求线段 BC 的长度． 考点：切线的性质；弧长的计算． 分析：（1）要证明 DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧 DE 的长度为 4π，可以求得∠DOE 的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA 的度数，即可证明结论． （2）根据 90°的圆周角对的弦是直径，可以求得 EF，的长度，借用勾股定理求得 AE 与 CF 的长度，即可得到答案． 解答：解：（1）证明：连接 OD、OE， ∵OD 是⊙O 的切线， ∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°， 又∵弧 DE 的长度为 4π， ∴ ， ∴n=60， ∴△ODE 是等边三角形， ∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°， ∴∠B=∠EDA， ∴DE∥BC． （2）连接 FD， ∵DE∥BC， ∴∠DEF=90°， ∴FD 是⊙0 的直径， 由（1）得：∠EFD=30°，FD=24， ∴EF= ， 又因为∠EDA=30°，DE=12， ∴AE= ， 又∵AF=CE，∴AE=CF， ∴CA=AE+EF+CF=20 ， 又∵ ， ∴BC=60． 点评：本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于 900 的圆周角对 的弦是直径这一性质的灵活运用． 26．（10 分）（2014•扬州）对 x，y 定义一种新运算 T，规定：T（x，y）= （其中 a、b 均为非零常 数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= =b． （1）已知 T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求 a，b 的值； ②若关于 m 的不等式组 恰好有 3 个整数解，求实数 p 的取值范围； （2）若 T（x，y）=T（y，x）对任意实数 x，y 都成立（这里 T（x，y）和 T（y，x）均有意义），则 a， b 应满足怎样的关系式？ 考点：分式的混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解 专题：新定义． 分析：（1）①已知两对值代入 T 中计算求出 a 与 b 的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有 3 个整数解，求出 p 的范 围即可； （2）由 T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出 a 与 b 的关系式． 解答：解：（1）①根据题意得：T（1，﹣1）= =﹣2，即 a﹣b=﹣2； T=（4，2）= =1，即 2a+b=5， 解得：a=1，b=3； ②根据题意得： ， 由①得：m≥﹣ ； 由②得：m＜ ， ∴不等式组的解集为﹣ ≤m＜ ， ∵不等式组恰好有 3 个整数解，即 m=0，1，2， ∴2≤ ＜3， 解得：﹣2≤p＜﹣ ； （2）由 T（x，y）=T（y，x），得到 = ， 整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0， ∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数 x，y 都成立， ∴2b﹣a=0，即 a=2b． 点评：此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解， 弄清题中的新定义是解本题的关键． 27．（12 分）（2014•扬州）某店因为经营不善欠下 38400 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又 缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务 均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装日销售量 y（件）与销售价 x（元 /件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还 应支付其它费用为 106 元（不包含债务）． （1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式； （2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为 48 元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店 员工的人数； （3）若该店只有 2 名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 考点：二次函数的应用；一次函数的应用． 分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （3）分类讨论 40≤x≤58，或 58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等 式，根据解不等式，可得答案． 解答：解：（1）当 40≤x≤58 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y=k1x+b1，由图象可得 ， 解得 ． ∴y=2x+140． 当 58＜x≤71 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y=k2x+b2，由图象得 ， 解得 ， ∴y=﹣x+82， 综上所述：y= ； （2）设人数为 a，当 x=48 时，y=﹣2×48+140=44， ∴（48﹣40）×44=106+82a， 解得 a=3； （3）设需要 b 天，该店还清所有债务，则： b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106 ] ≥68400， ∴b≥ ， 当 40≤x≤58 时，∴b≥ = ， x=﹣ 时，﹣2x2+220x﹣5870 的最大值为 180， ∴b ，即 b≥380； 当 58＜x≤71 时，b = ， 当 x=﹣ =61 时，﹣x2+122x﹣3550 的最大值为 171， ∴b ，即 b≥400． 综合两种情形得 b≥380，即该店最早需要 380 天能还清所有债务，此时每件服装的价 格应定为 55 元． 点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等 式的应用，分类讨论是解题关键． 28．（12 分）（2014•扬州）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边 上的 P 点处． （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长； （2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图 2， ，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与 点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥BP 于点 E．试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度． 考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩 形的性质；特殊角的三角函数值． 专题：综合题；动点型；探究型． 分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形 的性质求出 PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 Rt△PCO 中运用勾股定理求出 OP 长，从而求出 AB 长． （2）由 DP= DC= AB= AP 及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP 的度数，进 而求出∠OAB 的度数． （3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线 段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的 性质即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 长就可以求出 EF 长． 解答：解：（1）如图 1， ①∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°． 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°． ∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC． ∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4， ∴ = = = = ． ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8． 设 OP=x，则 OB=x，CO=8﹣x． 在 Rt△PCO 中， ∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边 AB 的长为 10． （2）如图 1， ∵P 是 CD 边的中点， ∴DP= DC． ∵DC=AB，AB=AP， ∴DP= AP． ∵∠D=90°， ∴sin∠DAP= = ． ∴∠DAP=30°． ∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°， ∴∠OAB=30°． ∴∠OAB 的度数为 30°． （3）作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，如图 2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP． ∴∠APB=∠MQP． ∴MP=MQ． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴PE=EQ= PQ． ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF． 在△MFQ 和△NFB 中， ． ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF=BF． ∴QF= QB． ∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB． 由（1）中的结论可得： PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB= =4 ． ∴EF= PB=2 ． ∴在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2 ． 点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质 和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等 知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键． 一元二次方程的解法---公式法和因式分解法讲义 要点、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ，当 时， . 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： ． ①当 时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当 时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当 时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于 x 的一元二次方程 的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定 a、b、c 的值（要注意符号）； ③求出 的值； ④若 ，则利用公式 求出原方程的解； 若 ，则原方程无实根. 要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用. （2）一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a    ，用配方法将其变形为： 2 2 2 4( )2 4 b b acx a a   ①当 2 4 0b ac    时，右端是正数． 因此，方程有两个不相等的实根： 2 1,2 4 2 b b acx a    ② 当 2 4 0b ac    时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： 1,2 2 bx a   ③ 当 2 4 0b ac    时，右端是负数．因此，方程没有实根. 1.若 a 是方程 2x2﹣x﹣3=0 的一个解，则 6a2﹣3a 的值为（ ） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 2.三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( ) A．7 B．3 C．7 或 3 D．无法确定 3.若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3 4.一元二次方程 x2+3﹣2 x=0 的解是 ． 5.用公式法解下列方程． (1) x2+3x+1=0； (2) 22 4 1x x  ； (3) ． (4)5y+2=3y2． 6．用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. (5)x2=5﹣12x (6)3x2﹣4x﹣1=0 要点、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的 积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式. 2．（1）已知方程 4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ） A.只有一个根 x= 4 3 B.只有一个根 x=0 C.有两个根 x1=0,x2= 4 3 D.有两个根 x1=0,x2=- 4 3 （2）如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） A.x=1 或 x=-2 B.必须 x=1 C.x=2 或 x=-1 D.必须 x=1 且 x=-2 （3）方程（x+1）2=x+1 的正确解法是（ ） A.化为 x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为 x2+3x+2=0 D.化为 x+1=0 （4）用因式分解法解方程 5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。 （5）当 k 时， 2 1( 1) 2 0kk x x    是一元二次方程。 （6）关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 1 0a x x a     有一根为 0,则 a 的值是 。 (7)一元二次方程 x（x﹣3）=3﹣x 的根是（ ） A．﹣1 B．3 C．﹣1 和 3 D．1 和 2 5.用因式分解法解下列方程： (1)（2x﹣1）2﹣2x+1=0； (2)(2x+3)2-25＝0； （3） 3 (2 1) 4 2x x x   （4）x2﹣1=2（x+1）． 3．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3 1)( 1) (4 1)( 1)x x x x     ． 4．用适当的方法解下列方程： （1）2（x+3）2=x2-9 （2） )5(2)5(3 2 xx  （3） 10)1)(2(  xx （4） 2(2 1) 3 6x x   5．用不同的方法解方程： （1） 2( 3) 4 ( 3) 0x x x    ． （2）（2x-1）2=(3x+2)2 6.如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动． (1)如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为 8 平方厘米？ (2)点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在， 求出运动的时间；若不存在，说明理由． 专题 一元二次方程的解法 一、一元二次方程和方程解的概念 1．若方程(m+2)x|m|+3mx－1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= . 2．已知 x=1 是一元二次方程 x2－mx+1=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A．2 B．0 C．0 或 2 D．－2 二、用公式法解方程 3．解方程： （1）x3+x－1=0 （2）x2+3x－1=0 三、用配方法解方程 4．解方程： （1）x (x+2)=1 （2）5(x－3)2=125 四、用因式分解法解方程 5．解方程： （1）x (x－2)=x （2）x2－6x=－9 五、选择你喜欢的方法解方程 6．解方程： （1）3x2+(x－2)=0 （2）(2x－1) (x+3)=4 （3）3x (x－1)=2(x－1) （4）(2x－1)2=(3－x)2 作业 一、按要求解下列方程: 1. 81 64 3 5- 2 ）（x （直接开平方法） 2. 0672  xx (因式分解法) 3. 0362  xx (配方法) 4. 22 3 0x x   (求根公式法) 5. 2（x﹣3）2=8（直接开平方法） 6. 4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法） 7.（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法） 8.（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法） 二、用适当的方法解下列各题: 9． ( 1)( 3) 12x x   10． xx  6)2( 2 11． 2(2 3) 3(2 3) 4 0x x     12. 0825702  xx 13、关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+3=0 的解为（ ） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 14、一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12 或 9 15．一元二次方程 25 2 0x x  的解是（ ） A．x1 = 0 ，x2 = 2 5 B.x1 = 0 ，x2 = 5 2  C．x1 = 0 ，x2 = 5 2 D．x1= 0 ，x2 = 2 5  16. 若 n（ 0n  ）是关于 x 的方程 2 2 0x mx n   的根，则 m+n 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 17. 方程 ( 3)( 1) 3x x x    的解是 。 18.方程 2 9 18 0x x   的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。 19. 在实数范围内定义运算“  ”，其法则为： 2 2a b a b   ，求方程（4  3）  24x  的解． 20．利用公式法解下列一元二次方程． （1）4x－x2=x2+2； （2）3x－1=2x2. 21．用因式分解法解下列方程： （1）(x－1)2―2(x―1)=0 （2）(3x－1)2－4=0 （3）5x (x－3)=(x－3) (x+1) （4）(x－4)2－(5－2x)2=0 第二章 一元二次方程周周测 8 一、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 1．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－1＝0，若方程的两根分别是 x1，x2，且满足 x1＋x2＝ x1x2，则 k＝________. 2．2019 年 1 月 20 日政府工作报告公布：2019 年全市生产总值约为 1 500 亿元，经过连续两 年增长后，预计 2019 年将达到 2 160 亿元，则平均每年增长的百分率为________． 3．直角三角形两条直角边的长的比是 5∶12，斜边的长为 130 cm，则这个直角三角形的面积 是________ cm2. 4．如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两条对角线交于 O 点，且 AO、BO 的长分别是关于 x 的方程 x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0 的根，则 m 的值为________． 二、选择题(每小题 4 分，共 24 分) 5．已知 x1，x2 是一元二次方程 x 2－2x＝0 的两根，则 x1＋x2 的值是( ) A．0 B．2 C．－2 D．4 6．已知实数 x1，x2 满足 x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以 x 1，x2 为根的一元二次方程是( ) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 7．我省 2019 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素， 快递业迅速发展，2019 年增速位居全国第一．若 2019 年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2019 年与 2019 年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是( ) A．1.4(1＋x)＝4.5 B．1.4(1＋2x)＝4.5 C．1.4(1＋x)2＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5 8．如图，将边长为 2 cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移， 得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1 cm2，则它移动的距离 AA′等于( ) A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm 9．设 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－3＝0 的两根，则 x2 1＋x2 2＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12 10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传 染的人数为( ) A．8 人 B．9 人 C．10 人 D．11 人 三、解答题(共 60 分) 11．(10 分)关于 x 的方程 x2＋mx＋m＝0 的两个根的平方和为 3，求 m 的值． 12．(12 分)关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0， (1)a 为何值时，方程的一根为 0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？ 13．(12 分)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了 如下收费标准(如图所示)： 某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用 27 000 元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？ 14．(12 分)已知：关于 x 的方程 kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0(k≠0)． (1)求证：无论 k 为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根 x1，x2，且│x1－x2│＝2，求 k 的值． 15．(14 分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46 000 平方米，施工队在绿化了 22 000 平方米后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩 形绿地，它们的面积之和为 56 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图 所示)，问人行通道的宽度是多少米？ 答案 1.1 2.20% 3.3 000 4.－3 BACBC B 11.设方程两根为 a、b，根据题意得 a＋b＝－m，ab＝m. ∵a2＋b2＝3， ∴(a＋b)2－2ab＝3. ∴m2－2m－3＝0. 解得 m1＝3，m2＝－1. 当 m＝3 时，原方程化为 x2＋3x＋3＝0，Δ＝9－3×4<0，方程没有实数解， ∴m 的值为－1. 12.(1)由方程的一根为 0，可得－a＋1＝0. ∴a＝1. (2)设方程的两根分别为 x1，x2， ∵两根互为相反数， ∴x1＋x2＝0. ∴a2－4 2 ＝0. ∴a＝±2. ∵当 a＝－2 时，方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0 无解， ∴a＝2. 13.设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游人数为 x 人，则人均费用为 1 000－ 20(x－25)元． 由题意，得 x[1 000－20(x－25)]＝27 000. 整理，得 x2－75x＋1 350＝0.解得 x1＝45，x2＝30. 当 x＝45 时，人均旅游费用为 1 000－20(x－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去； 当 x＝30 时，人均旅游费用为 1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意． 答：该单位这次共有 30 名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游． 14.(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以无论 k 为何实 数，方程总有实数根． (2)由根与系数关系，得 x1＋x2＝3k－1 k ，x1x2＝2（k－1） k . ∵│x1－x2│＝2， ∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4.故(3k－1 k )2－8（k－1） k ＝4. 整理，得 3k2－2k－1＝0.解得 k1＝1，k2＝－1 3 . 经检验，k1＝1，k2＝－1 3 都是原分式方程的解， ∴k1＝1，k2＝－1 3 . 15.(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x 平方米，根据题意，得 46 000－22 000 x －46 000－22 000 1.5x ＝4. 解得 x＝2 000. 经检验，x＝2 000 是原方程的解． 答：该项绿化工程原计划每天完成 2 000 平方米． (2)设人行通道的宽度为 x 米，根据题意，得 (20－3x)(8－2x)＝56.解得 x1＝2，x2＝26 3 (不合题意，舍去)． 答：人行通道的宽度为 2 米.