【数学】2021届一轮复习人教版(文)39基本不等式作业

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【数学】2021届一轮复习人教版(文)39基本不等式作业

基本不等式 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.下列命题中正确的是(  )‎ A.函数y=x+的最小值为2‎ B.函数y=的最小值为2‎ C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4 D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4 D [由x>0知3x+≥4,当且仅当3x=,即x=时等号成立,则2-3x-≤2-4,因此函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4,故选D.]‎ ‎2.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为(  )‎ A.1    B.2    C.2    D.4‎ D [由log2x+log2y=1得,x>0,y>0且xy=2.‎ ‎∴2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时等号成立,故选D.]‎ ‎3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是(  )‎ A. B.4 C. D.5‎ C [由a>0,b>0,a+b=2知+=(a+b)=≥,当且仅当=‎ ,即b=2a=时等号成立,故选C.]‎ ‎4.若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg,则(  )‎ A.Rb>1,∴lg a>lg b>0,‎ (lg a+lg b)>,即Q>P.‎ ‎∵>,∴lg>lg=(lg a+lg b)=Q,即R>Q,∴P0,‎ ‎∴+≥2=4,‎ 当且仅当=,即x=-时取等号.‎ 于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.‎ ‎(2)∵00,‎ ‎∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,‎ ‎∴当x=1时,函数y=的最大值为.‎ ‎10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:‎ ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ ‎[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 又x>0,y>0,‎ 则1=+≥2 =,得xy≥64,‎ 当且仅当x=16,y=4时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)=10++ ‎≥10+2 =18.‎ 当且仅当x=12且y=6时等号成立,‎ 所以x+y的最小值为18.‎ ‎1.(2019·上海高考改编)若x,y∈R+,且+2y=3,则的最大值为(  )‎ A.    B.    C.    D. D [由x,y∈R+得3=+2y≥2,‎ ‎∴≤,即≤,‎ 当且仅当=2y=,即x=,y=时等号成立,故选D.]‎ ‎2.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ C [由题意知a>0,b>0,则+≥2=,‎ 当且仅当=,即b=2a时等号成立.‎ ‎∴≥,即ab≥2,故选C.]‎ ‎3.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .‎ ‎4 [设P,x0>0.‎ 则点P到直线x+y=0的距离d= ‎=≥4,‎ 当且仅当x0=,即x0=时等号成立.]‎ ‎4.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.‎ ‎(1)试用x,y表示S;‎ ‎(2)若要使S的值最大,则x,y的值各为多少?‎ ‎[解] (1)由题意可得xy=1 800,b=2a,‎ 则y=a+b+3=3a+3,‎ 所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a ‎=(3x-8)=1 808-3x-y(x>3,y>3).‎ ‎(2)S=1 808-3x-× ‎=1 808- ‎≤1 808-2=1 808-240=1 568,‎ 当且仅当3x=,即x=40时等号成立,S取得最大值,此时y==45,‎ 所以当x=40,y=45时,S取得最大值.‎ ‎1.(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .‎ ‎4 [∵a,b∈R,ab>0,∴≥=4ab+≥2=4,‎ 当且仅当即时取得等号.‎ 故的最小值为4.]‎ ‎2.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).‎ ‎(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;‎ ‎(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)设甲工程队的总造价为y元,‎ 则y=3+14 400=1 800+14 400(3≤x≤6),‎ ‎1 800+14 400≥1 800×2×+14 400=28 800.‎ 当且仅当x=,即x=4时等号成立.‎ 即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28 800元.‎ ‎(2)由题意可得,1 800+14 400>,对任意的x∈[3,6]恒成立.‎ 即>,从而>a恒成立,‎ 令x+1=t,==t++6,t∈[4,7]‎ 又y=t++6在t∈[4,7]为单调增函数,故ymin=12.25.‎ 所以0<a<12.25.‎
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