专题53 抛物线-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题53 抛物线-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题53抛物线 最新考纲 ‎1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 ‎【知识拓展】‎ ‎1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，‎ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】抛物线的定义及应用 ‎【典型例题】‎ 已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）‎ A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x ‎【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，‎ 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA＝1+r，d＝r，‎ P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，‎ 所以PA﹣d＝1，即（x+1）＝1，‎ 化简得：y2＝8x．‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（　　）‎ A．5 B． C．4 D．‎ ‎【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线 x，延长PM交准线于H点．则|PF|＝|PH|．‎ ‎|PM|＝|PH||PF|，‎ ‎|PM|+|PA|＝|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．‎ 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①‎ 设直线FA与 抛物线交于P0点，可计算得P0 （3，），另一交点（，）舍去．‎ 当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|．‎ 则所求为|PM|+|PA|．‎ 故选：B．‎ ‎ ‎ 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．‎ ‎【题型二】抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 ‎【典型例题】‎ 已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（　　）‎ A．x2＝4y B．x2＝﹣4y C．y2＝4x D．y2＝﹣4x ‎【解答】解：∵抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），‎ ‎∴抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线，且，得p＝2．‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．‎ 故选：D． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知抛物线y2＝24ax（a＞0）上的点M（3，y0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x ‎【解答】解：由题意知，3+‎6a＝5，‎ ‎∴a，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝8x．‎ 故选：A． ‎ 命题点2　抛物线的几何性质 ‎【典型例题】‎ 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣‎4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【解答】解：点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣‎4a＜0），‎ 可得B在抛物线的开口之内，‎ 设A在准线x＝﹣1上的射影为M，‎ 由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，‎ 当M，A，B三点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，‎ 即有A（，b），F（1，0），‎ ‎△ABF恰好正三角形，可得a2，‎ b（a），‎ 解得a，‎ 故选：C．‎ ‎ ‎ ‎【再练一题】‎ 过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设M（x0，y0），F（3，0）．‎ ‎∵|NF|＝10，∴62102，12x0，‎ 解得x0，‎ 则MF|3．‎ 故选：B．‎ ‎ ‎ 思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ ‎【题型三】直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 ‎【典型例题】‎ 过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则|AB|＝（　　）‎ A．9 B．‎72 ‎C． D．36‎ ‎【解答】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，‎ 过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|＝|BF|，|AE|＝|AF|，‎ 又∵，∴|BD|＝|CE|＝2|AE|，即A为CE中点，‎ ‎∴|BA|＝3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|＝2|AC|，kAB＝2，F（1，0），‎ AB的方程为：y＝2（x﹣1），代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，x1+x2，‎ 则|AB|＝x1+x2+22．‎ 故选：C．‎ ‎ ‎ ‎【再练一题】‎ 已知抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x﹣5上，若||＝2，则△ABC面积的最小值为（　　）‎ A．5 B．‎4 ‎C． D．1‎ ‎【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，抛物线方程为x2＝4y；‎ 又||＝2，所以||＝2，‎ 设点A到直线BC的距离为d，‎ 故△ABC面积为，‎ 因为A在抛物线上，设A（x，），‎ 则d，‎ 故1．‎ 故选：D． ‎ 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 ‎【典型例题】‎ 设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝（　　）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），可得抛物线方程为：y2＝4x，‎ 过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，‎ 可知直线的斜率存在不为0，设为k，直线方程为：y﹣1＝k（x﹣1），直线方程与抛物线方程联立可得：ky2﹣4y﹣4k+4＝0，y1+y22，解得k＝2，则y1y2＝﹣2，‎ 则|AB|．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过点P（﹣2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）．‎ 解方程组，‎ 化简得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，‎ ‎∴x1+x2，x1x2＝4，‎ y1+y2＝k（x1+x2+4），‎ ‎∴x0，y0，‎ 由 4，‎ ‎∴k＝±．‎ ‎|AB||x2﹣x1|•16．‎ 故选：D． ‎ 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【陕西省2019届高三年级第三次联考】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（ ）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，‎ 设，根据抛物线的定义可得，‎ ‎∴.‎ 解得，∴线段的中点横坐标为，‎ ‎∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.‎ ‎2．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试】已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设抛物线的准线方程为为圆的圆心，所以的坐标为，过的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时有最小值，最小值为，故本题选B.‎ ‎3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为抛物线的准线为， 又准线与圆相切，‎ 所以 ，则.‎ 故选D ‎4．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】设抛物线的焦点为，已知点，，， 都在抛物线上，则 四点中与焦点 距离最小的点是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 抛物线的焦点为，准线方程为；‎ 则点到焦点F的距离为，‎ 点到焦点F的距离为，‎ 点到焦点F的距离为 点到焦点F的距离为；‎ 所以点M与焦点F的距离最小.‎ 故选：A ‎5．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】已知抛物线（）的焦点为，准线为，为坐标原点，点在上，直线与交于点．若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作垂直于，则在RT△中，，，所以．选C．‎ ‎6．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为 由，得：‎ 由抛物线定义可知：，设直线倾斜角为 由抛物线焦半径公式可得：，解得：‎ ‎，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎7．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）‎ A． B．‎8 ‎C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．‎ 由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，‎ ‎∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，为准线上的一点，记，，且，则与的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设为的中点，根据抛物线的定义，点到准线的距离为，‎ 即以为直径的圆与准线相切，‎ ‎∵，为准线上的点，∴为切点，轴，‎ 由抛物线的焦点弦的性质，可得，又，所以，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故选A.‎ ‎9．【广东省2019届高三适应性考试】在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意，如图所示：连接MF，QF，‎ 抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），‎ 准线x＝﹣1，‎ 则FH＝2，PF＝PQ，‎ 又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，‎ 又PQ＝PF，∠NRF＝60°，‎ 且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，‎ 则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝2，‎ 在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝2，‎ 则MR＝4，‎ 则NRMR＝2，‎ 故选：A．‎ ‎10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线，是曲线与的交点，且为钝角，若，则的面积是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过作抛物线的准线，过作于， 作 于，‎ 由抛物线的定义可知，，‎ 由勾股定理得，‎ ‎，‎ 可知，‎ ‎，故选B.‎ ‎11．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,交圆于,两点,其中, 位于第一象限,则的值不可能为（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作图如下：可以作出下图，‎ 由图可得，可设，，则，，‎ ‎，，根据抛物线的常用结论，有，‎ ‎，则，‎ 又，‎ 得，‎ 则的值不可能为3，‎ 答案选A ‎12．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意，，‎ ‎∴.‎ 设，过点作于，过点作于，‎ 由抛物线定义，得，在梯形中，‎ ‎∴，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎∵，‎ 所以（当且仅当时，等号成立）.‎ ‎13．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)】已知P为抛物线上一点，点M，若，则△POM（O为坐标原点）的面积为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：∵抛物线C的方程为y2＝4x ‎∴M（，0）为抛物线的焦点 设P（m，n）‎ 根据抛物线的定义，得|PM|＝m4，‎ 即m4，解得m＝3‎ ‎∵点P在抛物线C上，得n2＝4324‎ ‎∴n＝±2‎ ‎∵|OM|‎ ‎∴△POF的面积为S|OM|×|n|＝2．‎ 故答案为：．‎ ‎14．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围为______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，设直线方程为，，，‎ 由得，整理得，‎ 所以，解得 又，，‎ 因此，‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以.‎ 故答案为 ‎15．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试】已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,‎ 由重心坐标公式可得,，即， ，‎ 由抛物线的定义可得,‎ 由点在抛物线上可得，作差，‎ 化简得，‎ 代入弦长公式得|AB|=，‎ 则，‎ 故答案为：‎ ‎16．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试】已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，取得最大值，当点在时，取得最小值.则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出抛物线：的图象如下：‎ 过点作抛物线准线的垂线段，过点作抛物线准线的垂线段 由抛物线方程可得：‎ 由三角形知识可得：‎ 所以 当且仅当三点共线时，取得最小值，‎ 即点位于图中的处，可求得：‎ 由抛物线定义可得：，‎ 由图可得：，‎ 当且仅当三点共线时，取得最大值,‎ 即点位于图中的处，可求得：.‎ 所以.‎ ‎17．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三】已知抛物线过点 ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为抛物线过点，所以 所以抛物线方程为，焦点坐标为 ‎（Ⅱ）设直线的方程为,‎ 由消整理得，‎ 则，即 设则 且.‎ 直线 即 所以，直线恒过定点.‎ ‎18．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得：，‎ 因为点的横坐标为4，且在轴的上方，‎ 所以，‎ 因为的斜率为，‎ 所以，整理得：，‎ 即，得，‎ 抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）得：，，淮线方程，‎ 直线的方程：，‎ 由解得或，于是得.‎ 设点，又题意且,‎ 所以直线：，令，得，‎ 即，‎ 同理可得：，‎ ‎.‎ ‎19．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．‎ ‎（1）若直线过点且，求直线的方程；‎ ‎（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）法一：焦点，‎ 当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，‎ 此时，不符合题意，故直线的斜率存在．‎ 设直线方程为与联立得，‎ 当时，方程只有一根，不符合题意，故.，‎ 抛物线的准线方程为，‎ 由抛物线的定义得，‎ 解得，‎ 所以方程为或.‎ 法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,‎ 与联立得，设，，，.‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 所以方程为或.‎ ‎（2）设，，‎ 设直线方程为与联立得：，‎ 可得，.‎ 由得，即.‎ 整理得，即，‎ 整理得，‎ 即，即.‎ 故直线方程为过定点.‎ ‎20．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知圆，抛物线．‎ ‎（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；‎ ‎（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知，所以.‎ 所以抛物线的方程为.‎ 将与联立得点的纵坐标为，‎ 结合抛物线定义得.‎ ‎（2）由得：，，‎ 所以直线的斜率为，故直线的方程为.‎ 即.‎ 又由得且 所以 令，，则，‎ 令，则；‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 又，，‎ 所以，即的最大值为.‎ ‎21．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且． ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设直线：，与联立消得，.‎ 设，，则，.‎ 因为，所以 ‎，‎ 解得.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.‎ 原点到直线的距离，所以.‎ 因为直线过点且，所以.‎ 所以.‎ 即为定值.‎ ‎22．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线的中垂线于点，记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为 ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）由已知可得，，‎ 即点到定点的距离等于它到直线的距离，‎ 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵直线与圆相切于点，‎ ‎∴，且，‎ 从而，‎ 即：，‎ 整理可得，即，‎ ‎∴，‎ 故直线的方程为.‎ 能力提升训练 ‎1．【河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 故选：D ‎2．【甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.‎ ‎3．【北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模)】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x＝－1，‎ 线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，‎ 因为点到直线的距离是线段长度的2倍，‎ 所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍 设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，‎ 所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2‎ 故选：B ‎4．【山东省2019届高三第一次大联考】已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，‎ 由抛物线定义，故选B.‎ ‎5．【河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线为l，圆C：（x﹣）2+y2＝4，l与圆C交于A，B，圆C与E交于M，N．若A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，则E的方程为（　　）‎ A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝2x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，圆C：（x﹣）2+y2＝4的圆心C（，0）是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，‎ ‎∵圆C：（x﹣）2+y2＝4的半径为2，‎ ‎∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2．‎ ‎∵A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，‎ ‎∴点A，N关于直线x＝对称，即，∴，‎ ‎∴|NA|＝＝2，∴2p＝2，则E的方程为y2＝2x．‎ 故选：C．‎ ‎6．【贵州省2019届高三普通高等学校招生适应性考试】过抛物线的焦点的直线交该抛物线，两点，该抛物线的准线与轴交于点，若，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解： y2＝4x的准线l：x＝﹣1．‎ ‎∵|AF|＝3，‎ ‎∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为4，‎ ‎∴1+＝4，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴＝±2，‎ 不妨设A（3，2），‎ ‎∴S△AFM2×22，‎ ‎∵F（1，0），‎ ‎∴直线AB的方程为y（x﹣1），‎ ‎∴，‎ 解得B（，），‎ ‎∴S△BFM2，‎ ‎∴S△AMB＝S△AFM+S△BFM＝2，‎ 故选：A．‎ ‎7．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义:.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）证明:存在常数，使得.‎ ‎（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为.‎ 联立方程，‎ 则.‎ ‎（2）当，易得，‎ 不妨设，，‎ 直线，则，‎ 联立，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（3）设，则 ‎，‎ 因为 ‎，‎ 又因 ‎，‎ 所以.‎ ‎8．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)】已知抛物线的焦点为，是上一点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）解：根据题意知，①‎ 因为，所以②‎ 联立①②解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）四边形存在外接圆．‎ 设直线方程为，代入中，得，‎ 设点，则，‎ 且 所以，‎ 因为，即，所以．‎ 因此，切线的斜率为，切线的斜率为，‎ 由于，所以，即是直角三角形，‎ 所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，‎ 所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．‎ 又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，‎ 此时圆的面积最小，最小面积为．‎ ‎9．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】已知抛物线过点，是抛物线上异于点的不同两点，且以线段为直径的圆恒过点.‎ ‎（I）当点与坐标原点重合时，求直线的方程；‎ ‎（II）求证：直线恒过定点，并求出这个定点的坐标.‎ ‎【答案】（I）； （II）答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）因为在抛物线上，所以，‎ 所以，抛物线.‎ 当点与点重合时，易知，‎ 因为以线段为直径的圆恒过点，所以.所以.‎ 所以,即直线的方程为. ‎ ‎（II）显然直线与轴不平行，设直线方程为 .‎ ‎，消去得.‎ 设，因为直线与抛物线交于两点，‎ 所以 ①‎ 因为以线段为直径的圆恒过点，所以.‎ 因为是抛物线上异于的不同两点,所以,.‎ ‎,同理得.‎ 所以,即,.‎ 将 ①代入得， ，即 .‎ 代入直线方程得. ‎ 所以直线恒过定点 .‎ ‎10．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试】过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，．动点在直线上，且满足，其中为坐标原点．当线段最长时，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）抛物线的焦点为，设直线方程为 联立抛物线方程可得 故：，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（2）由（1）知抛物线方程为，从而点，设，‎ ‎∵，∴，． ‎ 由 可得，即 从而该式满足式 ‎∴即直线恒过定点． ‎ 设动点，∵，∴‎ ‎∴动点在，故与重合时线段最长，‎ 此时直线，即：．‎