中考数学几何最值问题解法专题复习

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中考数学几何最值问题解法专题复习

‎2013年中考数学几何最值问题解法专题复习 在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。‎ 解决平面几何最值问题的常用的方法有:(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值;(2)应用垂线段最短的性质求最值;(3)应用轴对称的性质求最值;(4)应用二次函数求最值;(5)应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值:典型例题:例1. (2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【 】‎ A.   B.   C.5   D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,‎ ‎∵OD≤OE+DE,‎ ‎∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,‎ 此时,∵AB=2,BC=1,∴OE=AE=AB=1。‎ DE=,‎ ‎∴OD的最大值为:。故选A。‎ 例2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 ▲ 。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图,在BA上截取BE=BN,连接EM。‎ ‎∵∠ABC的平分线交AC于点D,∴∠EBM=∠NBM。‎ 在△AME与△AMN中,∵BE=BN ,∠EBM=∠NBM,BM=BM,‎ ‎∴△BME≌△BMN(SAS)。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。‎ 又∵CM+MN有最小值,∴当CE是点C到直线AB的距离时,CE取最小值。‎ ‎∵BC=,∠ABC=45°,∴CE的最小值为sin450=4。‎ ‎∴CM+MN的最小值是4。‎ 例3.(2011四川凉山5分)如图,圆柱底面半径为,高为,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆柱的展开,勾股定理,平行四边形的性质。‎ ‎【分析】如图,圆柱展开后可见,棉线最短是三条斜线,第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式,底面圆周长为,高为,根据勾股定理,得斜线长为,根据平行四边形的性质,棉线最短为。‎ 例4. (2012四川眉山3分)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】1<AD<4。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质,三角形三边关系。‎ ‎【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD≌△ECD,得CE=AB,再根据三角形的三边关系即可求解:‎ 延长AD至E,使DE=AD,连接CE。‎ ‎∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(SAS)。‎ ‎∴CE=AB。‎ 在△ACE中,CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<8。‎ ‎∴1<AD<4。‎ 练习题:‎ ‎1. (2011湖北荆门3分)如图,长方体的底面边长分别为2和4,高为5.若一只蚂蚁从P点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】‎ A‎.13cm B‎.12cm C‎.10cm D‎.8cm ‎2.(2011四川广安3分)如图,圆柱的底面周长为‎6cm,AC是底面圆的直径,高BC=‎6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】‎ ‎ A、㎝ B、‎5cm C、㎝ D、‎‎7cm ‎3.(2011广西贵港2分)如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ .‎ 二、应用垂线段最短的性质求最值:典型例题:例1. (2012山东莱芜4分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】动点问题,垂直线段的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,根据垂直线段最短的性质,当BP′⊥AC时,BP取得最小值。‎ ‎ 设AP′=x,则由AB=AC=5得CP′=5-x,‎ ‎ 又∵BC=6,∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理,得 ‎ 。‎ ‎∴,即,解得。‎ ‎∴,即BP的最小值是。‎ 例2.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎  A. 1 B. C. 2 D.+1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分两步分析:‎ ‎ (1)若点P,Q固定,此时点K的位置:如图,作点P关于BD的对称点P1,连接P1Q,交BD于点K1。‎ ‎ 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得 ‎ P1K1 = P K1,P1K=PK。‎ ‎ 由三角形两边之和大于第三边的性质,得P1K+QK>P1Q= P1K1+Q K1= P K1+Q K1。‎ ‎ ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。‎ ‎ (2)点P,Q变动,根据菱形的性质,点P关于BD的对称点P1在AB上,即不论点P在BC上任一点,点P1总在AB上。‎ ‎ 因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥AB时P1Q最短。‎ ‎ 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°,∴∠DA Q1=30°。‎ ‎ 又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。‎ ‎ 综上所述,PK+QK的最小值为。故选B。‎ 例3.(2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,‎ 问题1:如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?‎ 问题2:如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.‎ 问题3:若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.‎ 问题4:如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:问题1:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下: ‎ ‎∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,‎ ‎∴∠DPC=90°。‎ ‎∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=2。‎ 设PB=x,则AP=2-x,‎ 在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化简得x2-2x+3=0,‎ ‎∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程无解。‎ ‎∴不存在PB=x,使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。‎ 问题2:存在。理由如下:‎ 如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,‎ 则G是DC的中点。‎ 过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H。‎ ‎∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。‎ ‎∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。‎ 又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。‎ ‎∵AD=1,BC=3,∴BH=4,‎ ‎∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。‎ 问题3:存在。理由如下:‎ 如图3,设PQ与DC相交于点G,‎ ‎∵PE∥CQ,PD=DE,∴。‎ ‎∴G是DC上一定点。‎ 作QH⊥BC,交BC的延长线于H,‎ 同理可证∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。‎ ‎∵AD=1,∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。‎ ‎∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5。‎ 问题4:如图3,设PQ与AB相交于点G,‎ ‎∵PE∥BQ,AE=nPA,∴。‎ ‎∴G是DC上一定点。‎ 作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K。‎ ‎∵AD∥BC,AB⊥BC,‎ ‎∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°‎ ‎∠PAG=∠QBG,‎ ‎∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ,∴,‎ ‎∵AD=1,∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。‎ 过点D作DM⊥BC于M,则四边形ABND是矩形。‎ ‎∴BM=AD=1,DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。‎ ‎∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。‎ ‎∴CK=CH•cos45°= (n+4),‎ ‎∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为 (n+4)。‎ ‎【考点】反证法,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式,全等三角形的判定和性质,勾股定理,平行四边形、矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】问题1:四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,然后利用矩形的性质,设PB=x,可得方程x2+32+(2-x)2+1=8,由判别式△<0,可知此方程无实数根,即对角线PQ,DC的长不可能相等。‎ ‎ 问题2:在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,可得G是DC的中点,过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H,易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ,即可求得BH=4,则可得当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。‎ 问题3:设PQ与DC相交于点G,PE∥CQ,PD=DE,可得,易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ,继而求得BH的长,即可求得答案。‎ 问题4:作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,易证得与△ADP∽△BHQ,又由∠DCB=45°,可得△CKH是等腰直角三角形,继而可求得CK的值,即可求得答案。‎ 例4.(2012四川广元3分) 如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短 时,点B的坐标为【 】‎ A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,)‎ 例5.(2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形;‎ ‎②四边形CEDF不可能为正方形;‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为.‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ ‎  A.1个  B.2个  C.3个  D.4个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。‎ ‎【分析】①连接CD(如图1)。‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。‎ ‎∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。‎ ‎∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。‎ ‎∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。‎ ‎∴△DFE是等腰直角三角形。‎ 故此结论正确。‎ ‎②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。‎ ‎∴四边形CEDF是平行四边形。‎ 又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。‎ 又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。‎ 故此结论错误。‎ ‎ ③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,‎ ‎ 由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。‎ ‎ 由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。‎ ‎ ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。‎ ‎ ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。‎ ‎ ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。‎ ‎ 故此结论错误。‎ ‎④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。‎ 当DF与BC垂直,即DF最小时, EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。‎ 故此结论正确。‎ 故正确的有2个:①④。故选B。‎ 例6.(2012四川成都4分)如图,长方形纸片ABCD中,AB=‎8cm,AD=‎6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:‎ ‎ 第一步:如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);‎ ‎ 第二步:如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;‎ ‎ 第三步:如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片.‎ ‎ (注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)‎ ‎ 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm,最大值为 ▲ cm.‎ ‎【答案】20;12+。‎ ‎【考点】图形的剪拼,矩形的性质,旋转的性质,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N‎2M2‎的示意图,如答图1所示。‎ ‎ 图中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,‎ M‎1M2‎=M‎1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位线定理)。‎ 又∵M‎1M2‎∥N1N2,∴四边形M1N1N‎2M2‎是一个平行四边形,‎ 其周长为2N1N2+‎2M1N1=2BC+2MN。‎ ‎∵BC=6为定值,∴四边形的周长取决于MN的大小。‎ 如答图2所示,是剪拼之前的完整示意图。‎ 过G、H点作BC边的平行线,分别交AB、CD于P点、Q点,则四边形PBCQ是一个矩形,这个矩形是矩形ABCD的一半。‎ ‎∵M是线段PQ上的任意一点,N是线段BC上的任意一点,‎ ‎∴根据垂线段最短,得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离,即MN最小值为4;‎ 而MN的最大值等于矩形对角线的长度,即。‎ ‎∵四边形M1N1N‎2M2‎的周长=2BC+2MN=12+2MN,‎ ‎∴四边形M1N1N‎2M2‎周长的最小值为12+2×4=20;最大值为12+2×=12+。‎ 例7. (2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形;‎ ‎②四边形CEDF不可能为正方形;‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为.‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ ‎  A.1个  B.2个  C.3个  D.4个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。‎ ‎【分析】①连接CD(如图1)。‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。‎ ‎∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。‎ ‎∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。‎ ‎∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。‎ ‎∴△DFE是等腰直角三角形。‎ 故此结论正确。‎ ‎②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。‎ ‎∴四边形CEDF是平行四边形。‎ 又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。‎ 又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。‎ 故此结论错误。‎ ‎ ③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,‎ ‎ 由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。‎ ‎ 由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。‎ ‎ ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。‎ ‎ ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。‎ ‎ ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。‎ ‎ 故此结论错误。‎ ‎④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。‎ 当DF与BC垂直,即DF最小时, EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。‎ 故此结论正确。‎ 故正确的有2个:①④。故选B。‎ 例8. (2012浙江宁波3分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】垂线段的性质,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°,当半径OE最短时,EF最短。如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H。 ‎ ‎∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2,‎ ‎∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2。‎ 由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,‎ ‎∴在Rt△EOH中,EH=OE•sin∠EOH=1×。‎ 由垂径定理可知EF=2EH=。‎ 例9. (2012四川自贡12分)如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.‎ ‎(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;‎ ‎(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.‎ ‎【答案】解:(1)证明:如图,连接AC ‎∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,‎ ‎∠BAE+∠EAC=60°,∠FAC+∠EAC=60°,‎ ‎∴∠BAE=∠FAC。‎ ‎∵∠BAD=120°,∴∠ABF=60°。‎ ‎∴△ABC和△ACD为等边三角形。‎ ‎∴∠ACF=60°,AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。‎ ‎∴在△ABE和△ACF中,∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC,‎ ‎∴△ABE≌△ACF(ASA)。∴BE=CF。‎ ‎(2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。理由如下:‎ 由(1)得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF。‎ ‎∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。‎ 作AH⊥BC于H点,则BH=2,‎ ‎。‎ 由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.‎ 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,‎ 又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF,则此时△CEF的面积就会最大.‎ ‎∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。‎ ‎∴△CEF的面积的最大值是。‎ ‎【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂直线段的性质。‎ ‎【分析】(1)先求证AB=AC,进而求证△ABC、△ACD为等边三角形,得∠ACF =60°,AC=AB,从而求证△ABE≌△ACF,即可求得BE=CF。‎ ‎(2)由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF,故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF,则△CEF的面积就会最大。‎ 例10.(2012浙江义乌10分)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.‎ ‎(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC‎1A1的度数;‎ ‎(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;‎ ‎(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.‎ ‎【答案】解:(1)∵由旋转的性质可得:∠A‎1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,‎ ‎ ∴∠CC1B=∠C1CB=45°。‎ ‎∴∠CC‎1A1=∠CC1B+∠A‎1C1B=45°+45°=90°。‎ ‎(2)∵由旋转的性质可得:△ABC≌△A1BC1,‎ ‎∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1。‎ ‎∴,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。‎ ‎∴△ABA1∽△CBC1。∴。‎ ‎∵S△ABA1=4,∴S△CBC1=。‎ ‎(3)过点B作BD⊥AC,D为垂足,‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,∴点D在线段AC上。‎ 在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=。‎ ‎①如图1,当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小。‎ 最小值为:EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。‎ ‎②如图2,当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大。‎ 最大值为:EP1=BC+BE=5+2=7。‎ ‎【考点】旋转的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由旋转的性质可得:∠A‎1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC‎1A1的度数。‎ ‎(2)由旋转的性质可得:△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面积。‎ ‎(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小;②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。‎ 例11. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.‎ ‎(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)‎ 答:结论一: ;结论二: ;结论三: .‎ ‎(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),‎ ‎①求CE的最大值;‎ ‎②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.‎ ‎(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)‎ ‎【答案】解:(1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD。‎ ‎(2)①∵∠B=∠C,∠B=45°,∴△ACB为等腰直角三角形。‎ ‎∴。‎ ‎∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD。‎ ‎∴AD:AC=AE:AD,∴ 。‎ 当AD最小时,AE最小,此时AD⊥BC,AD=BC=1。‎ ‎∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。‎ ‎②当AD=AE时,∴∠1=∠AED=45°,∴∠DAE=90°。‎ ‎∴点D与B重合,不合题意舍去。‎ 当EA=ED时,如图1,∴∠EAD=∠1=45°。‎ ‎∴AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC。∴BD=1。‎ 当DA=DE时,如图2,‎ ‎∵△ADE∽△ACD,∴DA:AC=DE:DC。‎ ‎∴DC=CA=。∴BD=BC-DC=2-。‎ 综上所述,当△ADE是等腰三角形时,BD的长的长为1或2-。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰(直角)三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由∠B=∠C,根据等腰三角形的性质可得AB=AC;由∠1=∠C,∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC;又由∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。‎ ‎(2)①由∠B=∠C,∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形,则,由∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD,则有AD:AC=AE:AD,即 ‎,当AD⊥BC,AD最小,此时AE最小,从而由CE=AC-AE得到CE的最大值。‎ ‎②分当AD=AE,,EA=ED,DA=DE三种情况讨论即可。‎ 练习题:‎ ‎1. (2011浙江衢州3分)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为【 】‎ ‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎2.(2011四川南充8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.‎ ‎(1)求证:△MDC是等边三角形;‎ ‎(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.‎ ‎3.(2011浙江台州4分)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,‎ PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为【 】‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎4.(2011河南省3分)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为  ▲  .‎ ‎5.(2011云南昆明12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=‎10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为‎1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为‎2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.‎ ‎(1)求AC、BC的长;‎ ‎(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;‎ ‎(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.‎ 三、应用轴对称的性质求最值:典型例题:例1. (2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为‎12cm、底面周长为‎18cm,在杯内离杯底‎4cm的点 C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿‎4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm.‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。‎ ‎ 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离,且AP=BP。‎ ‎ 由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。‎ ‎ 在Rt△BCD中,由勾股定理得。‎ ‎ ∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为‎15cm。‎ 例2. (2012甘肃兰州4分)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为【 】‎ A.130° B.120° C.110° D.100°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形外角性质,等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和ED的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案:‎ 如图,作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。‎ ‎∵∠BAD=120°,∴∠HAA′=60°。‎ ‎∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°。‎ ‎∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,‎ 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,‎ ‎∠NAD+∠A″=∠ANM,‎ ‎∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°。‎ 故选B。‎ 例3. (2012福建莆田4分)点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角 坐标系如图所示.若P是x轴上使得的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,‎ 则=  ▲  .‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】连接AB并延长交x轴于点P,作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q,求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论:‎ 连接AB并延长交x轴于点P,‎ 由三角形的三边关系可知,点P即为x轴上使得|PA-PB|的值最大的点。‎ ‎∵点B是正方形ADPC的中点,‎ ‎∴P(3,0)即OP=3。‎ 作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q,则A′B即为QA+QB的最小值。‎ ‎∵A′(-1,2),B(2,1),‎ 设过A′B的直线为:y=kx+b,‎ 则 ,解得 。∴Q(0, ),即OQ=。‎ ‎∴OP•OQ=3×=5。‎ 例4. (2012四川攀枝花4分)如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】轴对称(最短路线问题),正方形的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】连接DE,交BD于点P,连接BD。‎ ‎∵点B与点D关于AC对称,∴DE的长即为PE+PB的最小值。‎ ‎∵AB=4,E是BC的中点,∴CE=2。‎ 在Rt△CDE中,。‎ 例5. (2012广西贵港2分)如图,MN为⊙O的直径,A、B是O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,‎ 过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是 ‎  ▲  。‎ ‎【答案】14。‎ ‎【考点】轴对称(最短路线问题),勾股定理,垂径定理。‎ ‎【分析】∵MN=20,∴⊙O的半径=10。‎ 连接OA、OB,‎ 在Rt△OBD中,OB=10,BD=6,‎ ‎∴OD===8。‎ 同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8,‎ ‎∴OC===6。‎ ‎∴CD=8+6=14。‎ 作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′‎ 作AC的垂线,交AC的延长线于点E。‎ 在Rt△AB′E中,∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,‎ ‎∴AB′===14。‎ 例6. (2012湖北十堰6分)阅读材料:‎ 例:说明代数式 的几何意义,并求它的最小值.‎ 解: ,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P与点A(0,1)的距离,可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.‎ 设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3,即原式的最小值为3。‎ 根据以上阅读材料,解答下列问题:‎ ‎(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)‎ ‎(2)代数式 的最小值为 .‎ ‎【答案】解:(1)(2,3)。‎ ‎ (2)10。‎ ‎【考点】坐标与图形性质,轴对称(最短路线问题)。‎ ‎【分析】(1)∵原式化为的形式,‎ ‎∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A ‎(1,1)、点B(2,3)的距离之和。‎ ‎(2)∵原式化为的形式,‎ ‎∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)‎ 的距离之和。‎ 如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,‎ ‎∴求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B 间的直线段距离最短。‎ ‎ ∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度。‎ ‎∵A(0,7),B(6,1),∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8。‎ ‎∴。‎ 例7. (2012四川凉山8分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。‎ 如图(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?‎ 你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?你可以在上找几个点试一试,能发现什么规律?‎ 聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:‎ ‎①作点B关于直线l的对称点B′.‎ ‎②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.‎ 请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.‎ ‎(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).‎ ‎(2)请直接写出△PDE周长的最小值: ‎ ‎.‎ ‎【答案】解:(1)作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求。‎ ‎(2)8.‎ ‎【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形中位线定理,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求。‎ ‎(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案:‎ ‎∵点D、E分别是AB、AC边的中点,∴DE为△ABC中位线。‎ ‎∵BC=6,BC边上的高为4,∴DE=3,DD′=4。‎ ‎∴。‎ ‎∴△PDE周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8。‎ 练习题:‎ ‎1. (2011黑龙江大庆3分)如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则△ABP的周长的 最小值为 ▲ .‎ ‎2. (2011辽宁营口3分)如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另取一点C(a,1),当a= ▲ 时,AC+BC的值最小.‎ ‎3.(2011山东济宁8分)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)。‎ ‎(1) 若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短?‎ ‎(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?‎ ‎4.(2011辽宁本溪3分)如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值【 】‎ ‎ A、2 B、‎4 C、 D、‎ ‎5.(2011辽宁阜新3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC中点,点F是边CD上的 任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为【 】‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎6.(2011贵州六盘水3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E、F分别是边AB、BC的 中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是 【 】‎ A.3 B.‎4 C.5 D.6‎ ‎7.(2011甘肃天水4分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是 ▲ .‎ 四、应用二次函数求最值:典型例题:‎ 例1. (2012四川自贡4分)正方形ABCD的边长为‎1cm,M、N分别是BC.CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM= ▲ cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 ▲ cm2.‎ ‎【答案】,。‎ ‎【考点】正方形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。‎ ‎【分析】设BM=xcm,则MC=1﹣xcm,‎ ‎∵∠AMN=90°,∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°,∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。‎ ‎∴△ABM∽△MCN,∴,即,解得CN=x(1﹣x)。‎ ‎∴。‎ ‎∵<0,∴当x=cm时,S四边形ABCN最大,最大值是cm2。‎ 例2.(2012江苏扬州3分)如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】动点问题,等腰直角三角形的性质,平角定义,勾股定理,二次函数的最值。‎ ‎【分析】设AC=x,则BC=2-x,‎ ‎∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC=,CE= 。‎ ‎∴∠DCE=90°。‎ ‎∴DE2=DC2+CE2=()2+[]2=x2-2x+2=(x-1)2+1。‎ ‎∴当x=1时,DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值为1。‎ 例3.(2012宁夏区10分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.‎ ‎(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;‎ ‎(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式。当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?‎ ‎(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.‎ ‎【答案】解:(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3。‎ 在Rt△ABP中,AB=2,∴BP=。‎ ‎(2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽Rt△PCE。‎ ‎∴ ,即。∴。 ‎ ‎∵‎ ‎∴当时,y的值最大,最大值是。‎ ‎(2)设BP=x, 由(2)得。‎ ‎∵PE∥BD,,∴△CPE∽△CBD。‎ ‎∴, 即,‎ 化简得。‎ 解得或(不合题意,舍去)。‎ ‎∴当BP= 时, PE∥BD。‎ ‎【考点】矩形的性质,全等三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,平行的性质,解一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)由△APE≌△ADE可得AP=AD=3,在Rt△ABP中,应用勾股定理即可求得BP的长。‎ ‎(2)由AP⊥PE,得Rt△ABP∽Rt△PCE,根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时,y的值最大,最大值是。‎ ‎(3)由PE∥BD,得△CPE∽△CBD,根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。‎ 例4.(2012广东广州14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).‎ ‎(1)当α=60°时,求CE的长;‎ ‎(2)当60°<α<90°时,‎ ‎①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,即sin60°=,解得CE=。‎ ‎(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下:‎ 连接CF并延长交BA的延长线于点G,‎ ‎∵F为AD的中点,∴AF=FD。‎ 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF。‎ 在△AFG和△CFD中,‎ ‎∵∠G=∠DCF, ∠G=∠DCF,AF=FD,‎ ‎∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF,AG=CD。‎ ‎∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。‎ ‎∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,∴AG=5,AF=AD=BC=5。∴AG=AF。‎ ‎∴∠AFG=∠G。‎ 在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,‎ 又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。‎ ‎∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,‎ 因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF。‎ ‎②设BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x,‎ 在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。‎ 在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。‎ ‎∵CF=GF(①中已证),∴CF2=(CG)2=CG2=(200﹣20x)=50﹣5x。‎ ‎∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+。‎ ‎∴当x=,即点E是AB的中点时,CE2﹣CF2取最大值。‎ 此时,EG=10﹣x=10﹣,CE=,‎ ‎∴。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最值,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解。‎ ‎(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF,再根据AB、BC的长度可得AG=AF,然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解。‎ ‎②设BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的长度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,从而得到CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答。‎ 例5.(2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。‎ ‎(1)求证:AM=AN;‎ ‎(2)设BP=x。‎ ①若,BM=,求x的值;‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;‎ ③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,‎ ‎ ∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。‎ ‎ ∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。‎ ‎(2)①易证△BPM∽△CAP,∴,‎ ‎ ∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即。‎ ‎ 解得x=或x=。‎ ‎ ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。‎ ‎ ∵△ADM≌△APN,∴。‎ ‎∴。‎ 如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则点T是AP的中点。‎ 在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x,‎ ‎∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。‎ ‎∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴当x=1时,S的最小值为。‎ ③连接PG,设DE交AP于点O。‎ 若∠BAD=150,‎ ‎∵∠DAP =600,∴∠PAG =450。‎ ‎∵△APD和△APE都是等边三角形,‎ ‎∴AD=DP=AP=PE=EA。‎ ‎∴四边形ADPE是菱形。‎ ‎∴DO垂直平分AP。‎ ‎∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。‎ ‎∴∠PGA =900。‎ 设BG=t,‎ 在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=。∴AG=PG=。‎ ‎∴,解得t=-1。∴BP=2t=2-2。‎ ‎∴当BP=2-2时,∠BAD=150。‎ 猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300。‎ ‎∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450。‎ 设AO=a,则AD=AE=‎2 a,OD=a。∴DG=DO-GO=(-1)a。‎ 又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750。‎ ‎∵DH=AD=‎2a,‎ ‎∴GH=DH-DG=‎2a-(-1)a=(3-)a,‎ HE=2DO-DH=‎2‎a-‎2a=2(-1)a。‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴。‎ ‎∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。‎ ‎ (2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。‎ ‎ ②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得,‎ 用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。‎ ‎ ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。‎ ‎ 求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。‎ 例6.(2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上 的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为.‎ ‎ ⑴当 时,求弦PA、PB的长度;‎ ‎⑵当x为何值时,的值最大?最大值是多少?‎ ‎【答案】解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,∴AB⊥l。‎ 又∵PC⊥l,∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°。‎ ‎∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。‎ ‎∴,即PA2=PC·PD。‎ ‎∵PC=,AB=4,∴。‎ ‎∴在Rt△APB中,由勾股定理得:。‎ ‎(2)过O作OE⊥PD,垂足为E。‎ ‎ ∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。‎ ‎ 在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。‎ ‎ ∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。‎ ‎∴。‎ ‎∵‎ ‎∴当时,有最大值,最大值是2。‎ ‎【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。‎ ‎(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。‎ 例7.(2012山东德州12分)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.‎ ‎(1)求证:∠APB=∠BPH;‎ ‎(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;‎ ‎(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)如图1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°,‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎(2)△PHD的周长不变为定值8。证明如下:‎ 如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q。‎ 由(1)知∠APB=∠BPH,‎ 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,‎ ‎∴△ABP≌△QBP(AAS)。∴AP=QP,AB=BQ。‎ 又∵AB=BC,∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ ‎(3)如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB。‎ 又∵EF为折痕,∴EF⊥BP。‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。‎ 又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。‎ ‎∴EM=AP=x.‎ ‎∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即。‎ ‎∴。‎ 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等,‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴当x=2时,S有最小值6。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎(2)先由AAS证明△ABP≌△QBP,从而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,从而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可。‎ 例8.(2012陕西省12分)如图,正三角形ABC的边长为.‎ ‎(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形,且使正方形的面积最大(不要求写作法);‎ ‎(2)求(1)中作出的正方形的边长;‎ ‎(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得D、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)如图①,正方形即为所求。‎ ‎ (2)设正方形的边长为x.‎ ‎ ∵△ABC为正三角形,∴。‎ ‎∴。∴,即。‎ ‎ (3)如图②,连接NE,EP,PN,则。‎ ‎ 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),‎ 它们的面积和为S,则,。‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴。‎ ‎ 延长PH交ND于点G,则PG⊥ND。‎ ‎ 在中,。‎ ‎ ∵,即,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴①当时,即时,S最小。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②当最大时,S最大,即当m最大且n最小时,S最大。‎ ‎ ∵,由(2)知,。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】位似变换,等边三角形的判定和性质,勾股定理,正方形的性质。‎ ‎【分析】(1)利用位似图形的性质,作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,如答图①所示。‎ ‎(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系,利用等式E′F′+AE′+BF′=AB,列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 ‎ ‎(3)设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),求得面积和的表达式为:,可见S的大小只与m、n的差有关:①当m=n时,S取得最小值;②当m最大而n最小时,S取得最大值.m最大n最小的情形见第(1)(2)问。‎ 例9. (2012湖南株洲8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=‎5米,AC=‎12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为‎1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为‎2米/秒.运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?‎ ‎(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.‎ ‎【答案】解:(1)∵从C向A运动,速度为‎1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为‎2米/秒,运动时间为t秒,‎ ‎∴AM=12﹣t,AN=2t。‎ ‎∵∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,即12﹣t=2t,解得:t=4 秒。‎ ‎∴当t为4时,∠AMN=∠ANM。 ‎ ‎ (2)如图作NH⊥AC于H,‎ ‎∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。‎ ‎∴△ANH∽△ABC。‎ ‎∴,即。∴NH=。‎ ‎∴。‎ ‎∴当t=6时,△AMN的面积最大,最大值为。‎ ‎【考点】动点问题,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)用t表示出AM和AN的值,根据AM=AN,得到关于t的方程求得t值即可。‎ ‎ (2)作NH⊥AC于H,证得△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出NH,从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。‎ 例10.(2012湖南衡阳10分)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.解答如下问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BO?‎ ‎(2)设△AQP的面积为S,‎ ‎①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.‎ ‎【答案】解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8。‎ ‎∴。‎ 如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t。‎ ‎∵PQ∥BO,∴,即,解得t=。‎ ‎∴当t=秒时,PQ∥BO。‎ ‎(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.‎ ‎①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO。‎ ‎∴△APD∽△ABO。‎ ‎∴,即,解得PD=6﹣t。‎ ‎∴。‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为:S=(0<t<)。‎ ‎∴当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位)。‎ ‎②如图②所示,当S取最大值时,t=,‎ ‎∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO。‎ 又PD∥BO,∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4。∴P(4,3)。‎ 又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0)。‎ 依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).‎ ‎∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3)。‎ ‎【考点】动点问题,平行线分线段成比例,二次函数的最值,勾股定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值。‎ ‎(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由△APD∽△ABO得 求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。‎ ‎②求出点P、Q的坐标:当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解。‎ 例11.(2012贵州六盘水16分)如图1,已知△ABC中,AB=‎10cm,AC=‎8cm,BC=‎6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为‎2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BC.‎ ‎(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.‎ ‎(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:∵AB=‎10cm,AC=‎8cm,BC=‎6cm,‎ ‎∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角。‎ ‎(1)BP=2t,则AP=10﹣2t.‎ 若PQ∥BC,则,即,解得。‎ ‎∴当s时,PQ∥BC。‎ ‎(2)如图1所示,过P点作PD⊥AC于点D。‎ 则PD∥BC,∴△APD∽△ABC。‎ ‎∴,即,解得。‎ ‎∴S=×AQ×PD=×2t×()‎ ‎。‎ ‎∴当t=s时,S取得最大值,最大值为cm2。‎ ‎(3)不存在。理由如下:‎ 假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,‎ 则有S△AQP=S△ABC,而S△ABC=AC•BC=24,∴此时S△AQP=12。‎ 由(2)可知,S△AQP=,∴=12,化简得:t2﹣5t+10=0。‎ ‎∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解,‎ ‎∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。‎ ‎(4)存在。‎ 假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,‎ 则有AQ=PQ=BP=2t。‎ 如图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,‎ ‎∴△APD∽△ABC。‎ ‎∴,即。‎ 解得:PD=,AD=,‎ ‎∴QD=AD﹣AQ=。‎ 在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即()2+()2=(2t)2,‎ 化简得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5,t2=。‎ ‎∵t=5s时,AQ=‎10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=。‎ 由(2)可知,S△AQP=‎ ‎∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×()=2×[﹣×()2+6×]=。‎ ‎∴存在时刻t=,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为cm2。‎ ‎【考点】动点问题,勾股定理和逆定理,平行的判定,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程和一元二次方程根的判别式,二次函数的最值,菱形的性质。‎ ‎【分析】(1)由PQ∥BC时的比例线段关系,列一元一次方程求解。‎ ‎(2)如图1所示,过P点作PD⊥AC于点D,得△APD∽△ABC,由比例线段,求得PD,从而可以得到S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的最大值。‎ ‎(3)利用(2)中求得的△AQP的面积表达式,再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判别式小于0,则可以得出结论:不存在这样的某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。‎ ‎(4)根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ、QD和PD的长度;然后在Rt△PQD中,求得时间t的值;最后求菱形的面积,值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍,从而可以利用(2)中△AQP面积的表达式,这样可以化简计算。‎ 例12.(2012山东日照9分)如图,矩形ABCD的两边长AB=‎18cm,AD=‎4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒‎2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒‎1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(2)求△PBQ的面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(1)∵, PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,‎ ‎∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(00,∴y>x。‎ ‎ ∵z-y=>0 ∴ z>y。‎ ‎∴ z>y>x。 ∴⊙P的面积S的最大值为。 ‎ ‎【考点】尺规作图,切线的性质,角平分线的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解一元一次方程,二次根式化简,实数的大小比较。‎ ‎【分析】(1)作出∠B的角平分线BD,再过X作OX⊥AB,交BD于点O,则O点即为⊙O的圆心。‎ ‎(2)由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定,故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切;⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时;⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论。‎ 例10.(2011山东潍坊3分)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是.‎ 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 ‎140m ‎100m ‎95m ‎90m 线与地面夹角 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),特殊角的三角函数,无理数的大小比较。‎ ‎【分析】根据题意画出图形,分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可:如图,‎ 甲中,AC=140,∠C=30°,AB=140×sin30°=70=;乙中,DF=100,∠C=45°,DE=100×sin45°=50‎ ‎=;丙中,GI=95,∠I=45°,GH=95×sin45°==;丁中,JL=90,∠C=60°,JK=90‎ ‎×sin60°=45=。∵<<<,∴GH<AB<DE<JK。可见丁同学所放的风筝最高。故选D。‎ 例11.(2011安徽省12分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,‎ 旋转角为(0°<<180°),得到△A1B‎1C.‎ ‎(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;‎ ‎ (2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3;‎ (3) 如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当= °时,EP的长 度最大,最大值为 .‎ ‎【答案】解:(1)证:∵△A1B‎1C是△ABC旋转得到,‎ ‎ ∴∠A1B‎1C=∠ABC=30°,∠A1CB1=∠ACB=90°,∠CA1B1=∠CAB=60°。‎ ‎ 又∵AB∥CB1,∴∠BCB1=∠ABC=30°。∴∠A1CD=60°。∴∠A1DC=60°。‎ ‎ ∴△A1CD是等边三角形。‎ ‎ (2)证:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,‎ ‎ ∴AC:CB=tan∠ABC=‎ ‎ 又∵在△ACA1和△BCB1中,∠ACA1=∠BCB1,AC:CB=A‎1C:CB1=,‎ ‎ ∴△ACA1∽△BCB1。∴S1∶S2=。‎ ‎ (3)120,。‎ ‎【考点】旋转的性质,平行的性质,三角形内角和定理,等边三角形的判定,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质。‎ ‎【分析】(1)易求得△A1CD的三内角都等于600, 因此得证。‎ ‎ (2) 易证得△ACA1∽△BCB1,且相似比为,应用相似三角形面积的比等于对应边的比的平方的性质,得证。‎ ‎ (3)连接CP,则EP≤CE+CP,当E、C、P共线时,EP最大。由直角三角形斜边上的中线性质可知,CP=,故EP的最大值为。没有旋转时∠ACP=60°,从而当E、C、P共线时,旋转了1200。‎ 例12.(黑龙江大庆3分)已知⊙O的半径为1,圆心O到直线l的距离为2,过l上的点A作⊙O的切线,‎ 切点为B,则线段AB的长度的最小值为【 】‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】点到直线的距离的定义,切线的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】先连接OB,易知△AOB是直角三角形,再利用勾股定理即可求出AB:‎ AB。故选C。‎ 例13.(四川资阳9分)在一次机器人测试中,要求机器人从A出发到达B处.如图1,已知点A在O的正西方‎600cm处,B在O的正北方‎300cm处,且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为‎20cm/秒,在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为‎10cm/秒.‎ ‎(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);(3分)‎ ‎(2) 若∠OCB=45°,求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);(3分)‎ ‎(3) 如图2,作∠OAD=30°,再作BE⊥AD于E,交OA于P.试说明:从A出发到达B处,机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短.(3分)‎ ‎(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236,≈2.449)‎ ‎【答案】解:(1) 沿A→O→B路线行进所用时间为:600÷20+300÷10=60(秒),‎ 在Rt△OBA中,由勾股定理,得AB==300(cm)。‎ ‎∴沿A→B路线行进所用时间为:300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。‎ ‎(2) 在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°,∴OC= OB=‎300cm,BC==300(cm)。‎ ‎∴AC=600-300=300(cm)。‎ ‎∴沿A→C→B路线行进所用时间为:AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。‎ ‎ (3) 在AO上任取异于点P的一点P′,作P′E′⊥AD于E′,连结P′B,‎ 在Rt△APE和Rt△AP′E′中,sin30°=, ‎ ‎∴EP=,E′P′=。 ‎ ‎∴沿A→P→B路线行进所用时间为:‎ AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒);‎ 沿A→P′→B路线行进所用时间为:‎ AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10= (E′P′+P′B)(秒)。‎ 连结BE′,则E′P′+P′B > BE′>BE,∴BE < (E′P′+P′B)。‎ ‎∴ 沿A→P→B路线行进所用时间,小于沿A→P′→B路线行进所用时间,‎ 即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短。‎ ‎【考点】动态型问题,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,垂线段的性质。‎ ‎【分析】(1)直接由速度、路程和时间的关系可求沿A→O→B路线行进所用时间;由勾股定理求出AB的长即可求得沿A→B路线到达B处所用的时间。‎ ‎ (2)由锐角三角函数求出BC的长,即可求出沿A→C→B路线行进所用时间。‎ ‎ (3)根据垂线段最短的性质即可求得。‎ 例14.(2011江西南昌7分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).‎ ‎(1)求∠BAC的度数;‎ ‎(2)求△ABC面积的最大值.‎ ‎(参考数据: ,,.)‎ ‎【答案】解:(1)连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD。‎ ‎ ∵BD是直径,∴BD=4,。‎ ‎ 在Rt△DBC中,,‎ ‎ ∴,∴。 ‎ ‎(2) 因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处。‎ ‎ 过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,‎ 则AB=AC,。‎ ‎ 在Rt△ABE中,∵,‎ ‎ ∴。 ∴S△ABC=。‎ ‎ 答:△ABC面积的最大值是。‎ ‎【考点】垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】(1)连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质,,在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出的度数,再由圆周角定理即可求解。‎ ‎ (2))因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A应落在优弧BC的中点处,过OE⊥BC与点E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点,连接AB,AC,则AB=AC,由圆周角定理可求出∠BAE的度数,在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长,由三角形的面积公式即可解答。‎
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