高考导数专题复习

高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数 目录 一、有关切线的相关问题 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布 ‎1、判断零点个数 ‎2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明 ‎1、作差证明不等式 ‎2、变形构造函数证明不等式 ‎3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围 ‎1、恒成立之最值的直接应用 ‎2、恒成立之分离常数 ‎3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用 导数运用中常见结论 ‎(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为 ‎。‎ ‎(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。‎ ‎(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。‎ ‎(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.‎ ‎(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。‎ ‎(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立 ‎(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 ‎(8)若，使得，则；若，使得，则.‎ ‎(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有 ‎.‎ ‎(10)若对、 ，恒成立，则.‎ 若对，，使得,则.‎ ‎ 若对，，使得，则.‎ ‎（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，‎ 若对,，使得=成立，则。‎ ‎(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.‎ ‎(13)证题中常用的不等式:‎ ‎① ② ‎1‎ ‎ x x ‎+‎ ≤‎ ‎③ ④ ‎ ‎⑤ ⑥ ‎ ‎⑦ sinx0)‎ 一、 有关切线的相关问题 例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ 跟踪练习：‎ ‎1、【2011高考新课标1，理21】已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值；‎ 解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.‎ 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，‎ 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.‎ 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.‎ ‎3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求；‎ ‎【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为，‎ 由题意可得()，故 ……………6分 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 ‎（一）单调性 ‎1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015高考江苏，19】‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （1）试讨论的单调性；‎ ‎【答案】（1）当时， 在上单调递增；‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减．‎ 当时，时，，时，，‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ 练习：1、已知函数.‎ ‎⑴当时，讨论的单调性；‎ 答案：⑴，‎ 令 ‎①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.‎ ‎②当时，由，即，解得.‎ 当时，恒成立，此时，函数单调递减；‎ 当时，,时，函数单调递减；‎ 时，，函数单调递增；‎ 时，，函数单调递减.‎ 当时，当,函数单调递减；‎ 当，函数单调递增.‎ 综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；‎ 当时,恒成立,此时，函数在单调递减；‎ 当时,函数在递减,递增,递减.‎ ‎2、已知为实数，函数，函数，令函数．‎ 当时，求函数的单调区间．‎ 解：函数，定义域为．‎ 当时，．‎ 令，得． ……………………………………9分 ‎①当，即时，．‎ ‎∴当时，函数的单调减区间为，．………………11分 ‎ ②当时，解得．‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴令，得，，；‎ 令，得． ……………………………13分 ‎ ∴当时，函数的单调减区间为，，；函数单调增区间为． …………15分 ‎ ③当，即时，由（2）知，函数的单调减区间为及 2、 根据判别式进行讨论 例题：【2015高考四川，理21】已知函数，其中.‎ ‎（1）设是的导函数，评论的单调性；‎ ‎【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.‎ ‎【解析】（1）由已知，函数的定义域为，‎ ‎，‎ 所以.‎ 当时，在区间上单调递增， ‎ 在区间上单调递减；‎ 当时，在区间上单调递增.‎ 练习： 已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ 解：函数的定义域为．‎ ‎ ．‎ 令，得，记． ‎ ‎ （ⅰ）当时，，所以单调减区间为； …………5分 ‎ （ⅱ）当时，由得，‎ ‎ ①若，则，‎ 由，得，；由，得．‎ ‎ 所以，的单调减区间为，，单调增区间为； …………………………………………………………7分 ‎②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； ‎ ‎ ③若，则，‎ ‎ 由，得；由，得．‎ ‎ 的单调减区间为，单调增区间为． ……9分 综上所述：当时，的单调减区间为；‎ ‎ 当时，的单调减区间为，，单调增区间为；‎ ‎ 当时，单调减区间为，单调增区间为． ………………………………………………………10分 ‎2. 已知函数．‎ 求函数的单调区间；‎ 解：函数的定义域为，． ……………1分 ‎（1）当时，在上恒成立，‎ 则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分 ‎（2）当时，，‎ ‎（ⅰ）若，‎ 由，即，得或； ………………5分 由，即，得．………………………6分 所以函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为． ……………………………………7分 ‎（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ……………………………………………………………‎ 2、 含绝对值的函数单调性讨论 例题：已知函数.‎ ‎（1）若a=1，求函数在区间的最大值;‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若恒成立，求的取值范围 解：（1）若a=1, 则．‎ ‎ 当时, ,，‎ ‎ 所以在上单调增, . ……………2分 ‎ （2）由于，．‎ ‎ （ⅰ）当时，则，，‎ ‎ 令，得（负根舍去），‎ ‎ 且当时，；当时，，‎ ‎ 所以在上单调减，在上单调增.……4分 ‎（ⅱ）当时，‎ ‎①当时， ,‎ ‎ 令，得（舍），‎ 若，即, 则，所以在上单调增；‎ 若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增. ……………………………………………6分 ‎②当时, ,‎ 令，得，记，‎ 若，即, 则，故在上单调减；‎ 若，即, ‎ 则由得，且，‎ 当时，；当时，；当 时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. …………………………………………8分 综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间 是；‎ 当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是 ‎；‎ 当时, 单调递减区间是(0, )和，‎ 单调的递增区间是和. ………………10分 ‎（3）函数的定义域为．‎ ‎ 由，得． *‎ ‎（ⅰ）当时，，，不等式*恒成立，所以；‎ ‎（ⅱ）当时，，，所以； ………………12分 ‎（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．‎ 令，则．‎ 因为，所以，从而．‎ 因为恒成立等价于，所以．‎ 令，则．‎ 再令，则在上恒成立，在上无最大值．‎ 综上所述，满足条件的的取值范围是． …………………………16分 ‎2．设为实数，函数 ‎（2）求函数的单调区间 2、 分奇数还是偶数进行讨论 例题：【2015高考天津，理20已知函数，其中.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.‎ ‎ ‎ ‎(2)当为偶数时，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减.‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减.‎ 2、 已知单调区间求参数范围 例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.‎ 解：（1），的判别式△=36（1-a）.‎ ‎（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.‎ ‎（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，‎ 若00，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.‎ 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.‎ 综上，a的取值范围是.‎ 二、极值 ‎（一）判断有无极值以及极值点个数问题 例题：【2015高考山东，理21】设函数，其中.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（2）当 时， ‎ ‎①当时， ， ‎ 所以，，函数在上单调递增无极值；‎ ‎②当 时， ‎ 设方程的两根为 ‎ 因为 ‎ 所以， ‎ 由可得：‎ 所以，当时， ，函数单调递增；‎ 当时， ，函数单调递减；‎ 当时， ，函数单调递增；‎ 因此函数有两个极值点．‎ ‎（3）当 时，‎ 由可得：‎ 当时， ，函数单调递增；‎ 当时， ，函数单调递减；‎ 因此函数有一个极值点．‎ 综上：‎ 当 时，函数在上有唯一极值点；‎ 当时，函数在上无极值点；‎ 当时，函数在上有两个极值点；‎ 例题：【2015高考安徽，理21】设函数.‎ ‎ （Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），.‎ ‎ ，.‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎ ①当时，函数单调递增，无极值.‎ ‎ ②当时，函数单调递减，无极值.‎ ‎ ③当，在内存在唯一的，使得.‎ ‎ 时，函数单调递减；时，函数单调递增.‎ ‎ 因此，，时，函数在处有极小值.‎ （二） 已知极值点个数求参数范围 例题：【14年山东卷（理）】 设函数（为常数，是自然对数的底数）‎ ‎（I）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。‎ 练习：1、【2014年天津卷（理）】‎ ‎2、（2014湖南）（本小题满分13分）‎ 已知常数，函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）,（*）‎ 因为,所以当时,‎ 当时,,此时，函数在单调递增,‎ 当时, （舍去），‎ 当时，；当时，.‎ 故在区间单调递减,在单调递增的.‎ 综上所述 当时,,此时，函数在单调递增,‎ 当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. ‎ ‎（Ⅱ）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得 有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，‎ 且由的定义可知，且，所以，，解得，此时，（*）式知,分别是的极小值点和极大值点，而 ‎ 令，由且知 当时, 当时,记 ‎ ‎ （ⅰ）当时，，所以 因此，在上单调递减，从而，‎ 故当时，‎ ‎ （ⅱ）当时，，所以 因此，在上单调递减，从而，‎ 故当时，‎ ‎ 综上所述，满足条件的的取值范围是为.‎ ‎【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. ‎ ‎（三）最值