新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练36 简单的三角恒等变换

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第三章 第6讲 ‎(时间：45分钟　分值：100分)‎ 一、选择题 ‎1. [2012·重庆高考]设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A. －3　　　　　　　　　 B. －1‎ C. 1　　　 D. 3‎ 答案：A 解析：因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.‎ ‎2. [2013·吉林五校联考]等于 (　　)‎ A. 　　　 B. C. 2　　　 D. 答案：C 解析：＝ ‎＝ ‎＝＝2.故选C.‎ ‎3. [2013·威海模拟]已知α∈(π，)，cosα＝－，tan2α＝(　　)‎ A. 　　　 B. － C. －2　　　 D. 2‎ 答案：B 解析：∵cosα＝－，α∈(π，)，‎ ‎∴sinα＝－＝－.‎ ‎∴tanα＝2.‎ tan2α＝＝＝－，故选B.‎ ‎4. [2013·大同模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为(　　)‎ A. 　　　 B. C. ±　　　 D. ± 答案：C 解析：∵θ为第二象限角，‎ ‎∴为第一、三象限角．‎ ‎∴cos的值有两个，‎ 由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，‎ ‎∴cosθ＝－，∴2cos2＝.‎ ‎∴cos＝±.‎ ‎5. [2013·湖南郴州]函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的最大值和最小正周期分别是(　　)‎ A. 2，π　　　 B. ＋1，π C. 2,2π　　　 D. ＋1,2π 答案：B 解析：y＝2cosxsinx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝‎ sin(2x＋)＋1，所以当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时取得最大值＋1，最小正周期T＝＝π.‎ ‎6. [2013·上海模拟]函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x－m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. [－1,1]　　　 B. [1，]‎ C. [－1，]　　　 D. [－，1]‎ 答案：C 解析：f(x)＝1＋2sinxcosx－2cos2x－m＝0有解，‎ x∈[0，]，‎ 即sin2x－cos2x＝m有解，‎ sin(2x－)＝m有解，‎ ‎∵x∈[0，]，2x－∈[－，π]，‎ ‎∴sin(2x－)∈[－1，]．‎ 二、填空题 ‎7. [2013·烟台四校联考]已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________.‎ 答案：－1‎ 解析：∵＝1，∴2tanα＝1，即tanα＝.‎ ‎∴tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.‎ ‎8. [2013·金版原创]若＝2013，则＋tan2θ＝________.‎ 答案：2013‎ 解析：＋tan2θ＝＋tan2θ＝＋tan2θ＝＋＝＝＝2013.‎ ‎9. [2013·宁夏模拟]在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝，则sinA的值为________．‎ 答案： 解析：由题意知，C－A＝，且C＋A＝π－B，‎ ‎∴A＝－，‎ ‎∴sinA＝sin(－)＝(cos－sin)，∴sin‎2A＝‎ (1－sinB)＝，又sinA>0，∴sinA＝.‎ 三、解答题 ‎10. [2013·西安质检]已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x＋＋1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈[－，]时，求f(x)的值域．‎ 解：f(x)＝sin2x＋(1－2sin2x)＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，‎ 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋)为单调递增函数，∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)∵x∈[－，]，∴2x＋∈[0，]，∴sin(2x＋)∈[0,1]，‎ ‎∴f(x)＝2sin(2x＋)＋1∈[1,3]．‎ ‎∴f(x)的值域为[1,3]．‎ ‎11. [2013·东北三校联考]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.‎ 解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，‎ ‎∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，‎ ‎∵|a－b|＝，‎ ‎∴＝，‎ 即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.‎ ‎(2)∵0<α<，－<β<0，‎ ‎∴0<α－β<π，‎ ‎∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，‎ ‎∵sinβ＝－，∴cosβ＝，‎ ‎∴sinα＝sin[(α－β)＋β]‎ ‎＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×(－)＝.‎ ‎12. [2013·海淀模考]已知函数f(x)＝cos(＋x)·cos(－x)，g(x)＝sin2x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．‎ 解：(1)因为f(x)＝cos(＋x)cos(－x)‎ ‎＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)‎ ‎＝cos2x－sin2x＝－ ‎＝cos2x－，‎ 所以f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x ‎＝cos(2x＋)，‎ 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.‎ h(x)取得最大值时，对应的x的集合为 ‎{x|x＝kπ－，k∈Z}．‎