南平市2013年中考数学卷

南平市2013年中考数学卷

福建省南平市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）‎ ‎1．（4分）（2013•南平）﹣的倒数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ 考点：‎ 倒数．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案．‎ 解答：‎ 解：﹣的倒数为﹣2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2013•南平）如图是由六个棱长为1的正方体组成的一个几何体，其主视图的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 首先根据题意画出主视图，再计算出一个小正方体一个面的面积，再乘以4即可．‎ 解答：‎ 解：此几何体的主视图如图所示：‎ ‎∵小正方体的棱长为1，‎ ‎∴主视图的面积为1×1×4=4，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何体的主视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2013•南平）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 平行四边形 B．‎ 矩形 C．‎ 菱形 D．‎ 等边三角形 考点：‎ 中心对称图形 分析：‎ 根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、矩形是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、菱形是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2013•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠B=48°‎ B．‎ ‎∠AED=66°‎ C．‎ ‎∠A=84°‎ D．‎ ‎∠B+∠C=96°‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；平行线的性质 分析：‎ 根据等腰三角形两底角相等，两直线平行，同位角相等分别求出各角的度数即可进行选择．‎ 解答：‎ 解：A、∵DE∥BC，∠ADE=48°，‎ ‎∴∠B=∠ADE=48°正确，不符合题意；‎ B、∵AB=AC，‎ ‎∴∠C=∠B=48°，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠AED=∠C=48°，符合题意；‎ C、∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣48°﹣48°=84°正确，不符合题意；‎ D、∠B+∠C=48°+48°=96°正确，不符合题意．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2013•南平）以下事件中，必然发生的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 打开电视机，正在播放体育节目 B．‎ 正五边形的外角和为180°‎ ‎　‎ C．‎ 通常情况下，水加热到100℃沸腾 D．‎ 掷一次骰子，向上一面是5点 考点：‎ 随机事件 分析：‎ 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．‎ 解答：‎ 解：A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故本选项错误；‎ B、任何正多边形的外角和是360°，故本选项错误；‎ C、通常情况下，水加热到100℃沸腾，符合物理学原理，故本选项正确；‎ D、掷一次骰子，向上一面可能是1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故本选项错误．[来源:学。科。网]‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2013•南平）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ AD=AB B．‎ ‎∠BOC=2∠D C．‎ ‎∠D+∠BOC=90°‎ D．‎ ‎∠D=∠B 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理．‎ 分析：‎ 根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故本选项错误；‎ B、∵直径CD⊥弦AB，‎ ‎∴弧BC=弧AC，‎ ‎∵弧AC对的圆周角是∠ADC，弧BC对的圆心角是∠BOC，‎ ‎∴∠BOC=2∠ADC，故本选项正确；‎ C、根据已知推出∠BOC=2∠ADC，不能推出3∠ADC=90°，故本选项错误；‎ D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故本选项错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2013•南平）今年6月某日南平市各区县的最高气温（℃）如下表：‎ 区县 延平 建瓯 建阳 武夷山 浦城 松溪 政和 顺昌 邵武 光泽 气温（℃）‎ ‎33‎ ‎32‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎29‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎28‎ 则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎32，32‎ B．‎ ‎32，30‎ C．‎ ‎30，30‎ D．‎ ‎30，32‎ 考点：‎ 众数；中位数 分析：‎ 先把10个数按从小到的顺序排列得28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，然后根据众数和中位数的定义求解．‎ 解答：‎ 解：把10个数按从小到的顺序排列得28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，‎ ‎30出现次数最多，所以这10个区县该日最高气温的众数是30；‎ 第5个数和第6个数分别为30，30，所以中位数为=30．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2013•南平）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 有两个不相等的实数根 B．‎ 有两个相等的实数根 ‎　‎ C．‎ 没有实数根 D．‎ 无法确定 考点：‎ 根的判别式 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先计算判别式得到△=22﹣4（2+m2）=﹣4﹣m2，根据非负数的性质得﹣m2≤0，所以△＜0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．‎ 解答：‎ 解：△=22﹣4（2+m2）=﹣4﹣m2，‎ ‎∵﹣m2≤0，‎ ‎∴﹣4﹣m2＜0，即△＜0，‎ ‎∴方程没有实数根．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2013•南平）给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类1‎ 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ 根据已知的四个数可得排列规律：分子是从1开始的自然数列，分母每次递增3、5、7、9、11；据此解答．‎ 解答：‎ 解：∵一列按规律排列的数：‎ ‎∴这列数的第5个数是：=，‎ 这列数的第6个数是：=，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了数字变化规律，关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2013•南平）如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数系数k的几何意义；含30度角的直角三角形；勾股定理．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 先由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4，则OA=4﹣3．设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出=，求得OD=4﹣，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．‎ 解答：‎ 解：∵∠ACB=90°，BC=4，‎ ‎∴B点纵坐标为4，‎ ‎∵点B在反比例函数的图象上，‎ ‎∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），‎ ‎∴OC=3．‎ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，‎ ‎∴AB=2BC=8，AC=BC=4，OA=AC﹣OC=4﹣3．‎ 设AB与y轴交于点D．‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得OD=4﹣，‎ ‎∴阴影部分的面积是：（OD+BC）•OC=（4﹣+4）×3=12﹣．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，梯形的面积公式，难度适中，求出B点坐标及OD 的长度是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）‎ ‎11．（3分）（2013•南平）计算：=　3　．‎ 考点：‎ 立方根．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵3的立方等于27，‎ ‎∴27的立方根等于3．‎ 故答案为3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了立方根的定义和性质．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•南平）甲、乙、丙、丁四位同学在5次数学测验中，他们成绩的平均数相同，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是　丁　．‎ 考点：‎ 方差 分析：‎ 根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵，，，，‎ ‎∴最小，‎ ‎∴成绩最稳定的同学是丁；‎ 故答案为：丁．‎ 点评：‎ 本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•南平）写出一个第二象限内的点的坐标：（　﹣1　，　1　）．‎ 考点：‎ 点的坐标 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．‎ 解答：‎ 解：（﹣1，1）为第二象限的点的坐标．‎ 故答案为：﹣1，1（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•南平）分解因式：3a2+6a+3=　3（a+1）2　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：3a2+6a+3，‎ ‎=3（a2+2a+1），‎ ‎=3（a+1）2．‎ 故答案为：3（a+1）2．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•南平）计算：（a2b）3=　a6b3　．‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方 分析：‎ 根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．‎ 解答：‎ 解：（a2b）3=（a2）3b3=a6b3．‎ 点评：‎ 本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•南平）长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是　（或0.25）　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．‎ 分析：‎ 根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ 解答：‎ 解：长度为3cm、4cm、5cm、9cm的四条线段，从中任取三条线段共有3，4，5；4，5，9；3，5，9；3，4，9四种情况，‎ 而能组成三角形的有3、4、5；共有1种情况，‎ 所以能组成三角形的概率是．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•南平）分式方程的解是　x=9　．‎ 考点：‎ 解分式方程 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是x（x﹣3‎ ‎），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：方程的两边同乘x（x﹣3），得 ‎3x﹣9=2x，‎ 解得x=9．‎ 检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0．‎ ‎∴原方程的解为：x=9．‎ 点评：‎ 本题考查了解分式方程，注：‎ ‎（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•南平）设点P是△ABC内任意一点．现给出如下结论：‎ ‎①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分；‎ ‎②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；‎ ‎③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分；‎ ‎④△ABC内存在点Q，过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分．‎ 其中结论正确的是　①②④　．（写出所有正确结论的序号）‎ 考点：‎ 命题与定理；三角形的面积；三角形的重心；相似三角形的判定与性质．3891921‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 对于结论①②，根据图形周长、面积的连续性变化，判定其为真命题；‎ 对于结论③，举出反例判定其为假命题；‎ 对于结论④，构造一个满足条件的点Q出来，判定其为真命题．‎ 解答：‎ 解：结论①正确．理由如下：‎ 如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的周长分别为C1，C2（C1，C2中不含线段DE）．‎ 在直线l绕点P连续的旋转过程中，周长由C1＜C2（或C1＞C2）的情形，逐渐变为C1＞C2（或C1＜C2）的情形．在此过程中，一定存在C1=C2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的周长．故结论①正确；‎ 结论②正确．理由如下：‎ 如答图1所示，设点P为△ABC内部的任意一点，经过点P的直线l将△ABC分割后，两侧图形的面积分别为S1，S2．‎ 在直线l绕点P连续的旋转过程中，面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形．在此过程中，一定存在S1=S2的时刻．因此经过点P至少存在一条直线平分△ABC的面积．故结论②正确；‎ 结论③错误．理由如下：‎ 如答图2所示，AD、BE、CF为三边的中线，则AD、BE、CF分别平分△ABC的面积，而三条中线交于重心G，则经过重心G至少有三条直线可以平分△ABC的面积．故结论③错误；‎ 结论④正确．理由如下：‎ 如答图3所示，AD为△ABC的中线，点M、N分别在边AB、AC上，MN∥BC，且=，MN与AD交于点Q．‎ ‎∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，‎ ‎∴===，即MN平分△ABC的面积．‎ 又∵AD为中线，‎ ‎∴过点Q的两条直线AD、MN将△ABC的面积四等分．‎ 故结论④正确．‎ 综上所述，正确的结论是：①②④．‎ 故答案为：①②④．‎ 点评：‎ 本题考查命题真假的判断，难度很大．解题关键是正确理解题干各命题中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，对于结论①②，我们只需要判定其存在性的真假即可，不需要严格作出几何图形来验证（结论①②的几何作图超出了新课标的范围，仅供学有余力的同学研究）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）‎ ‎19．（14分）（2013•南平）（1）计算：．‎ ‎（2）化简：．‎ 考点：‎ 分式的加减法；实数的运算 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）原式先计算乘方运算及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算，即可得到结果；‎ ‎（2）原式通分并利用同分母分式的加减运算法则计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=4×5+（π﹣1）﹣3‎ ‎=20+π﹣1﹣3‎ ‎=16+π；‎ ‎（2）原式=+﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•南平）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组 分析：‎ 求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．‎ 解答：‎ 解：∵由①得：2x＜5，‎ ‎，‎ 由②得：，‎ ‎，‎ x＞﹣3，‎ ‎∴不等式组的解集为　．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•南平）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定与性质．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据“▱ABCD的对边平行且相等”的性质推知AD=BC且AD∥BC；然后由图形中相关线段间的和差关系求得AF=CE，则四边形AECF的对边AFCE，故四边形AECF是平行四边形．‎ 解答：‎ 证明：在□ABCD中，AD=BC且AD∥BC ‎∵BE=FD，∴AF=CE ‎∴四边形AECF是平行四边形 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•南平）初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：‎ 请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）这次抽查的样本容量是　160　；‎ ‎（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；‎ ‎（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图；概率公式．‎ 分析：‎ ‎（1）根据条形图知道常用计算器的人数有100人，从扇形图知道常用计算器的占62.5%，从而可求出解；‎ ‎（2）用样本容量减去常用计算器的人数和不用计算器的人数求出不常用计算器的人数，再算出各部分的百分比补全条形图和扇形图；‎ ‎（3）学生恰好抽到“不常用”计算器的概率是“不常用”计算器的学生数除以抽查的学生人数．‎ 解答：‎ 解：（1）100÷62.5%=160．‎ 即这次抽查的样本容量是160．‎ 故答案为160；‎ ‎（2）不常用计算器的人数为：160﹣100﹣20=40；‎ 不常用计算器的百分比为：40÷160=25%，‎ 不用计算器的百分比为：20÷160=12.5%．‎ 条形统计图和扇形统计图补全如下：‎ ‎（3）∵“不常用”计算器的学生数为40，抽查的学生人数为160，‎ ‎∴从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是：．‎ 答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是．‎ 点评：‎ 本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图考查每组里面具体的人数，扇形统计图考查部分占整体的百分比，以及概率概念的考查等．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•南平）某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根．已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳绳10元．设购买篮球x个，购买篮球、排球和跳绳的总费用为y元．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若购买上述体育用品的总费用为4 700元，问篮球、排球各买多少个？‎ 考点：‎ 一次函数的应用；一元一次方程的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据总费用=购买篮球的费用+购买排球的费用+购买跳绳的费用就可以求出结论；‎ ‎（2）把y=4700代入（1）的解析式就可以求出篮球的个数，从而求出排球的个数．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，得 y=70x+50（60﹣x）+10×120‎ ‎=20x+4200；‎ ‎（2）当 y=4700时，‎ ‎4700=20x+4200（7分）‎ 解得：x=25‎ ‎∴排球购买：60﹣25=35（个）‎ 答：篮球购买25个、排球购买35个．‎ 点评：‎ 本题考查了总价=单价×数量的运用，一次函数的解析式的运用，根据函数值求自变量的值的运用．解答本题时求出函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•南平）‎2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O）表面约350km 的圆形轨道上运行．当飞船运行到某地（P点）的正上方（F点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q（FQ是⊙O的切线）．已知地球的半径约为6 400km．求：‎ ‎（1）∠QFO的度数；（结果精确到0.01°）‎ ‎（2）地面上P，Q两点间的距离（PQ的长）．‎ ‎（π取3.142，结果保留整数）‎ 考点：‎ 切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的应用．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据切线的性质得OQ⊥FQ，则在Rt△OQF中，根据正弦的定义得到sin∠QFO=frac{OQ}{FQ}=≈0.9481，然后求出∠QFO；‎ ‎（2）先计算出∠FOQ，然后根据弧长公式计算弧PQ的长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵FQ是⊙O的切线，‎ ‎∴OQ⊥FQ，‎ ‎∴∠OQF=90°，‎ ‎∴在Rt△OQF中，OQ=6400，OF=OP+PF=6400+350=6750，‎ ‎∴sin∠QFO=frac{OQ}{FQ}=≈0.9481，‎ ‎∴∠QFO≈71.46°；‎ 答：∠QFO的度数约为71.46°；‎ ‎（2）∵∠QFO=71.46°，‎ ‎∴∠FOQ=90°﹣71.46°=18.14°，‎ ‎∴widehat{PQ}的长=≈2071，‎ 答：地面上PP、Q两点间的距离约为2 071 km．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了弧长公式和解直角三角形的应用．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设=k．‎ ‎（1）证明：△BGF是等腰三角形；‎ ‎（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？‎ ‎（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．‎ 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．‎ 考点：‎ 四边形综合题 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出BG=FG，从而得出结论；‎ ‎（2）当△BGF为等边三角形时由等边三角形的性质可以得出∠BAC=30°，根据锐角三角函数值就可以求出k的值；‎ ‎（3）根据（1）（2）的结论课得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=∠BGF，根据∠BGF的大小分三种情况讨论就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，‎ ‎∴∠AFE=90°‎ ‎∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，‎ ‎∴，‎ 在Rt△ABE中，同理可得，‎ ‎∴GF=GB，‎ ‎∴△BGF为等腰三角形；‎ ‎（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°‎ ‎∵GF=GB=AG，‎ ‎∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE ‎∴∠BGF=2∠BAC，‎ ‎∴∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ACB=60°，‎ ‎∴，‎ ‎∴当k=时，△BGF为等边三角形；‎ ‎（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，‎ ‎∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，‎ ‎∴∠BAC＜45°，‎ ‎∴AB＞BC，‎ ‎∴k=＞1；‎ 当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，‎ ‎∴∠BAC=45°‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴k==1；‎ 当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，‎ ‎∴∠BAC＞45°‎ ‎∴AB＜BC，‎ ‎∴k=＜1；‎ ‎∴0＜k＜1．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用，等腰三角形的判定定理的运用，外角与内角的关系的运用，分类讨论思想在实际问题的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．‎ ‎（1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．‎ ‎①求线段AC的长；（用含m的式子表示）‎ ‎②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）①先由抛物线的顶点式为y=（x﹣m）2+n得出顶点M的坐标为（m，n），由点M是线段AB上一动点，得出n=﹣2m+4，则y=（x﹣m）2﹣2m+4，再求出抛物线y=（x﹣m）2+n与y轴交点C的坐标，然后根据AC=OA﹣OC即可求解；‎ ‎②过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM与△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以当△ACM与△AMO相似时，只能是△ACM∽△AMO，根据相似三角形对应边成比例得出，即，解方程求出m的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b．‎ ‎∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0），‎ ‎∴，解得：，‎ 即直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4；‎ ‎（2）①∵以M为顶点的抛物线为y=（x﹣m）2+n，‎ ‎∴抛物线顶点M的坐标为（m，n）．‎ ‎∵点M在线段AB上，∴n=﹣2m+4，‎ ‎∴y=（x﹣m）2﹣2m+4．‎ 把x=0代入y=（x﹣m）2﹣2m+4，‎ 得y=m2﹣2m+4，即C点坐标为（0，m2﹣2m+4），‎ ‎∴AC=OA﹣OC=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m；‎ ‎②存在某一时刻，能够使得△ACM与△AMO相似．理由如下：‎ 过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），‎ ‎∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m．‎ ‎∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2，‎ 又∵MD=m，∴AM==m．‎ ‎∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，‎ ‎∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO，‎ ‎∴，即，‎ 整理，得 9m2﹣8m=0，解得m=或m=0（舍去），‎ ‎∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，且此时m=．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．利用数形结合及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎