山东省聊城市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量抽测数学试题

山东省聊城市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量抽测数学试题

‎2019—2020学年度第二学期期末教学质量抽测 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数在复平面内对应的点为,进而得到该点所在象限即可 ‎【详解】由题,在复平面内对应的点为,在第二象限,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查复数在复平面中的位置,考查复数的坐标表示,属于基础题 ‎2. 向量，，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算与，再利用向量夹角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】设为与的夹角，，，‎ - 27 -‎ 则，‎ ‎，‎ 又，.‎ ‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了坐标计算向量夹角.‎ ‎3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）‎ A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数 B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩 C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定 D. 甲班不及格率高于乙班不及格率 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条形统计图和扇形图，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.‎ - 27 -‎ ‎【详解】：因为每个班的总人数不确定，故无法比较；‎ ‎：甲班及格人数占比，乙班及格人数占比，‎ 故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；‎ ‎：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；‎ ‎：甲班不及格率为，乙班不及格率为，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查条形统计图和扇形图，属简单题.‎ ‎4. 已知α为第二象限角，，则tan2α＝（ ）‎ A. ﹣ B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数关系中的平方关系，结合已知条件求得，再用倍角公式即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，结合，‎ 即可得，‎ 解得或，‎ 又是第二象限角，故，则，.‎ 故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系和倍角公式的应用，属综合基础题.‎ - 27 -‎ ‎5. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与BC1所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平移直线至，设出正方体棱长，再解三角形即可.‎ ‎【详解】因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，故可得//，‎ 连接，如下图所示：‎ 则即为异面直线AE与BC1所成角或其补角，‎ 不妨设正方体棱长为，‎ 三角形中，，‎ - 27 -‎ ‎.‎ 故可得.‎ 又异面直线夹角的范围为，‎ 故异面直线AE与BC1所成角的余弦值为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属基础题.‎ ‎6. 角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的正余弦三角函数，再求的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】由角的终边经过点，得，‎ 因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，‎ - 27 -‎ 所以 ‎，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式.‎ ‎7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosA＝bcosB，且c2＝a2+b2﹣ab，则△ABC的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理将边化角转化acosA＝bcosB，逆用余弦定理转化c2＝a2+b2﹣ab，即可判断三角形形状.‎ ‎【详解】因为acosA＝bcosB，故可得，即，‎ 又，故可得或；‎ 又c2＝a2+b2﹣ab，即，又，故可得.‎ 综上所述，.‎ 故三角形是等边三角形.‎ - 27 -‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题.‎ ‎8. 用五点法作函数的图象时，得到如下表格：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎0‎ 则，，的值分别为（ ）‎ A. 4，2， B. 4，， C. 4，2， D. 4，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据求出、的值，利用周期公式可求的值，根据图象过，，即可求得的值．‎ ‎【详解】解：由表中的最大值为4，最小值为，可得，‎ 由，则，，‎ ‎，图象过，，‎ - 27 -‎ ‎，，，解得，‎ ‎，当时，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了由的部分点确定其解析式，三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 为了得到函数的图象，可作如下变换（ ）‎ A. 将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到 B. 将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C. 将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 D. 将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.‎ ‎【详解】为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，‎ 然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；‎ 也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的变换，属简单题.‎ ‎10. 下列命题不正确的是（ ）‎ A. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直 B. 如果平面平面，平面平面，那么平面平面 C. 已知，为直线，为平面，若，，则 D. ，，为直线，为平面，，.“”的充要条件是“，且”‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，由线面垂直的定义即可判定；‎ 在中，平面与平面相交或平行．‎ 在中，根据线面平行的性质，可得、可能异面，可能相交；‎ - 27 -‎ 在中，根据线面垂直的判定定理，即可判断．‎ ‎【详解】解：对于，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，‎ 有且仅有一条．由此可得正确；‎ 在中，如果平面平面，平面平面，那么平面与平面相交或平行，故错误；‎ 在中，若，，则与可能平行，可能异面，可能相交，故错误；‎ 在中，，，“”可得到“，且”， ，，“，且”‎ 不能得到“”，故错．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系等知识点，属于中档题．‎ ‎11. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 已知是非零向量，，若，则⊥（）‎ B. 向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影向量为 C. 点P在△ABC所在的平面内，满足，则点P是△ABC的外心 D. 以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.‎ - 27 -‎ ‎【详解】对：因为，又，故可得，‎ 故，故选项正确；‎ 对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为60°，故可得.‎ 故在上的投影向量为，故选项正确；‎ 对：点P在△ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，‎ 故选项错误；‎ 对：不妨设，‎ 则，故四边形是平行四边形；‎ 又，则，故四边形是矩形.‎ 故选项正确；‎ 综上所述，正确的有：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.‎ ‎12. 如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为达BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（ ）‎ A. AP⊥EF - 27 -‎ B. 点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心 C. 二面角A﹣EF﹣P的余弦值为 D. 若四面体P﹣AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直的判定和性质、垂心的定义，二面角的定义，以及棱锥外接球表面积的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.‎ 详解】根据题意，平面，故平面；‎ 因为平面，故平面；‎ 故可得两两垂直.‎ 对：由平面平面，故，故正确；‎ 对：过作平面的垂线，连接，延长交于，如下所示：‎ - 27 -‎ 由可知，，又平面平面，故，‎ 又平面，故可得：平面，‎ 又平面，故可得，即点在三角形底边的垂线上；‎ 同理可证，点在三角形底边的垂线上.‎ 故点在平面的投影即为三角形的垂心，故正确；‎ 对：根据中所求，为三角形的垂线，‎ 又，根据三线合一故可得点为中点.‎ 又，故三角形为等腰三角形，连接，则 根据二面角定义，显然即为所求二面角.‎ 在三角形中，，‎ ‎，又，‎ - 27 -‎ 故.‎ 故二面角A﹣EF﹣P的余弦值为，则正确；‎ 对：因为两两垂直，‎ 故三棱锥P﹣AEF的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等.‎ 故其外接球半径，‎ 故外接球表面积，故错误.‎ 综上所述，正确的为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题综合考查线面垂直的证明以及线面垂直的性质，二面角的角球，棱锥外接球的求解，属综合中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 复数2+i为一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则复数|a+bi|＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算，将方程的根代入即可求得，再求复数模长即可.‎ ‎【详解】因为2+i为一元二次方程x2+ax+b＝0，‎ 故可得，‎ - 27 -‎ 则，又，‎ 故，‎ 解得 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.‎ ‎14. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：‎ ‎495 500 503 508 498 500 493 500 503 500‎ 质量落在区间[﹣s，+s]（表示质量的平均值，s为标准差）内的产品件数为_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数和标准差的计算公式，结合数据，即可求得结果.‎ ‎【详解】由题可得：‎ ‎；‎ ‎，‎ 故可得.‎ 则区间[﹣s，+s]即为.‎ 故落在该区间的产品件数为：.‎ - 27 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平均数和标准差的计算，属综合简单题.‎ ‎15. 直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，AD＝2，AB＝1，BC＝3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为_____，表面积为_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). （7+）π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据旋转后几何体的特征，结合圆柱和圆锥表面积和体积计算公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥后的几何体.‎ 其中圆柱体的母线长，底面半径，‎ 圆锥体的底面半径，圆锥的高 则该旋转体的体积；‎ 该旋转体的表面积.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱体和圆锥体体积和表面积的计算，属综合基础题.‎ ‎16. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点P．若，则λ的值为_____．‎ - 27 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 因为三点共线，故可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，涉及向量的线性运算，属综合基础题.‎ 四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：‎ 甲 乙 丙 月销售额 ‎[20，25]‎ ‎[15，20）‎ ‎[10，15）‎ 人数 ‎120‎ ‎240‎ ‎90‎ ‎（1）为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？‎ ‎（2‎ - 27 -‎ ‎）确定销售日标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额（单位：千元）：‎ ‎14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.6‎ ‎23.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.2‎ ‎17.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8‎ 公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？‎ ‎【答案】（1），，；（2）元，理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据求得抽样比，即可据此求得每层抽取的人数；‎ ‎（2）将数据从小到大进行排序，求得第百分位数即可.‎ ‎【详解】（1）根据表中数据可得，三层共有人，抽样比为，‎ 故应该从甲层抽取人；‎ 从乙层抽取人；‎ 从丙层抽取人.‎ ‎（2）将个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 为使得的销售员完成目标，只需求出第百分位数即可.‎ - 27 -‎ 由可知样本数据的第百分位数为第项与第项数据的平均数，‎ 即.‎ 则应该将销售目标定位元比较合理.‎ ‎【点睛】本题考查分抽抽样，以及百分位数的计算，属综合基础题.‎ ‎18. 已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．‎ ‎（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；‎ ‎（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量共线定理，结合已知条件，列出方程，则问题得解；‎ ‎（2）根据题意求得，结合数量积运算，即可求得向量之间的夹角.‎ ‎【详解】（1）因为向量+k与k+2为方向相反的向量，‎ 故可设，‎ 则，又与不共线，‎ 故可得，解得.‎ ‎（2）向量与的夹角为60°，故可得.‎ 故，‎ - 27 -‎ ‎，‎ ‎.‎ 故 又，则.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线定理的应用，以及向量夹角的求解，属综合基础题.‎ ‎19. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间[225，525]内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间[275，325）内的有16个．‎ ‎（1）求n的值和质量落在区间[425，475）內的黄桃个数；‎ ‎（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入．‎ ‎【答案】（1），个（2）元 - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图结合频率的计算公式，即可容易求得结果；‎ ‎（2）根据频率分布直方图计算黄桃质量的平均数，即可容易估算销售收入.‎ ‎【详解】（1）因为质量分布在区间[275，325）内的黄桃有16个，‎ 故可得，故可得；‎ ‎，解得，‎ 则质量落在区间[425，475）內的黄桃个数为个.‎ ‎（2）该村黄桃的单个质量的平均数为：‎ ‎（克），‎ 故该村黄桃的总质量大约为：（千克）‎ 故该村黄桃销售收入的预测值为元.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率表的计算，以及平均数的计算，属综合基础题.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，，，且为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，且，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连结，，推导出四边形是平行四边形，得到，由线面平行的判定定理，即可证明平面． ‎ ‎（2）由面面垂直的性质定理可证平面，，，得到平面，由面面垂直的判定定理，可证明平面平面．‎ ‎【详解】证明：（1）取的中点，连接，.‎ 因为是的中点，‎ 所以为的中位线，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，且平面平面，，‎ - 27 -‎ 平面，所以平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ 又因为，为的中点，所以，‎ ‎∵平面，平面，且，‎ 所以平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.‎ - 27 -‎ ‎【详解】根据题意，‎ ‎.‎ 又.‎ 选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：‎ ‎，‎ 故可得，又，‎ 故可得，又，故.‎ 选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：‎ ‎，由余弦定理得，‎ 有，故.‎ 选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：‎ ‎，解得，‎ 又，故可得.‎ 故不论选择哪个条件，都有.又.则.‎ 故 - 27 -‎ ‎，‎ 又，故，‎ 故，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.‎ ‎22. 亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标．‎ ‎（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点距地面的高度，选取了与点在地面上的射影在同一水平面内的两个测量基点（如图所示）；现测得，BC两点间的距离是米，求最高点距地面的高度；‎ ‎（2）若摩天轮最低点距地面的距离米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要分钟．‎ ‎①从游客进人摩天轮位于最低点处的轿厢开始计时，转动分钟后距离地面的高度为 - 27 -‎ 米，求在转动一周的过程中，（单位：米）关于（单位：分钟）的函数解析式；‎ ‎②若只有当轿厢的高度超过米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景．‎ ‎【答案】（1）；（2）①，②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，利用正弦定理可以求长，利用，可以求得 ‎（2）①建立坐标系，求出摩天轮的半径，然后根据周期性和三角函数的定义，可求出游客距离地面的高度关于的函数解析式.‎ ‎②令，即可得的范围，再利用，可得的范围.‎ ‎【详解】（1）由题意得： ，‎ 在中，由正弦定理得： ，‎ 即 ，‎ 又 ，‎ 所以 ，即 ，‎ 所以最高点距地面的高度米.‎ ‎（2）①以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，‎ - 27 -‎ 所以摩天轮的半径为米，所以米，‎ 由题意知：分钟转一周，所以每分钟转弧度，‎ 设从点开始计时，转动分钟后轿厢运到到点，则转过的弧度，‎ 所以 ，‎ 设 ，由三角函数的定义可得： ，‎ 又因为 ‎ 所以游客距地面的高度关于的函数解析式为.‎ ‎②当轿厢的高度超过米时，即，‎ 所以，即，‎ 所以，解得 ，‎ 因为，所以只有当时，符合题意，‎ 即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖的美景.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角，求三角函数解析式，解三角函数不等式等用数学知识解决实际问题，属于中档题.‎ - 27 -‎