江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考（数学）Word版

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高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数 学 ‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi；‎ 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；‎ 圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知集合，集合，则= ▲ ． ‎ ‎2．双曲线的渐近线方程是 ▲ ． ‎ ‎3．复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是 ▲ ．‎ 第6题图 ‎4. 若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的 方差s2＝ ▲ ．‎ ‎5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取 ‎2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．‎ ‎6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． ‎ ‎7．若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积 是____▲____． ‎ ‎8．设直线是曲线的切线，则直线的斜率 ‎ 的最小值是 ▲ ．‎ ‎9．已知，则的值是 ▲ ．‎ ‎10．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若 f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是 ▲ ． ‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎11．中，，为边AC中点，，则的值为 ▲ ．‎ ‎12．已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎13．已知n∈N*,，， ，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是 ▲ ． ‎ ‎14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 ▲ _.‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分）‎ 在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角； ‎ ‎（2）若，，求，．‎ ‎　 ‎ ‎16．(本小题满分14分）‎ 题16图 A B C D P O E 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，‎ PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点．‎ 求证：(1) PD∥平面ACE；‎ ‎(2) 平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎17. (本小题满分14分）‎ 已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程. ‎ ‎18．(本小题满分16分）‎ ‎ 如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．‎ ‎ (1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值； ‎ ‎ (2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．‎ A B M C D O N G F H E 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎19．(本小题满分16分）‎ 已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（i）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．‎ ‎20．(本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的极大值；‎ ‎(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；‎ ‎(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学参考答案及评分标准 2018.12‎ 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． ‎ ‎8． 4 9． 10． 11． 12． 或 ‎13． 14 ． ‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15．【解析】（1）在中，‎ 由正弦定理，得． ………………2分 又因为在中．‎ 所以． ………………………………………………………4分 法一：因为，所以，因而．‎ 所以，‎ 所以． ……………………………………………………6分 ‎　 法二：即， …………………………4分 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 所以，因为，‎ 所以． …………………………………6分 ‎（2）由正弦定理得，‎ 而，‎ 所以　，① 　 …………………………………9分 由余弦定理，得，‎ 即， ② …………………………………12分 把①代入②得，. …………………………………14分 题16图 A B C D P O E ‎16．【解析】证明：(1) 连接OE．‎ ‎ 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，‎ ‎ 所以O为BD中点． ……………………2分 ‎ 因为E为PB的中点，所以PD∥OE． …………4分 ‎ 又因为OE⊂面ACE，PB平面ACE，‎ ‎ 所以PD∥平面ACE． …………………………6分 ‎ (2) 在四棱锥P－ABCD中，．．．．．．．‎ ‎ 因为PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，‎ ‎ 所以BD⊥PC． …………………………………8分 ‎ 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，‎ ‎ 所以BD⊥AC． ………………………………………………10分 ‎ 又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，‎ ‎ 所以BD⊥平面PAC． …………………………………12分 ‎ 因为BD⊂平面PBD，‎ ‎ 所以平面PAC⊥平面PBD． ………………………………14分 ‎17. 【解析】（1）由题设得，又，解得,∴.…2分 故椭圆的方程为. …………………………………………4分 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，‎ 设，则. …………………………………6分 ‎ ， ……8分 到直线PQ的距离为，‎ 到直线PQ的距离为， ………………………………10分 又因为在第一象限, 所以，‎ 所以，‎ 所以， ……………………………12分 解得，‎ 所以直线方程为． …………………………………………14分 ‎18．解： (1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，‎ 则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，……………………2分 ‎ 则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ ‎＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋) ……………………4分 ‎ 因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以当θ＋＝，即θ＝时，‎ ‎ (FG＋FH)max＝5． ………………………………………………6分 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 x y E A B M C D O G F H N ‎ (2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy．由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，‎ ‎ ‎ 圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，………………………………………………8分 ‎ 设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，‎ ‎ 即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)‎ ‎ 则 ……………………10分 ‎ 由①得t＝5， …………………………12分 ‎ 代入②得，解得k2>． ………………………13分 ‎ 又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．‎ ‎ 在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．‎ ‎………………………15分 答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是5百米；‎ ‎ (2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分 ‎ ‎ ‎19.解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以. ………………………4分 ‎（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，‎ 得 ， ‎ 令k＝1, ，……………①‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 k＝2，，……………② …………………6分 由①得，……………③‎ ‎②+③得，……………④ ……………………8分 ‎①+④得，‎ 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以． ……………………10分 ‎（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．‎ 因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，‎ 所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k， ………………………12分 所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．‎ 由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．‎ 当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ………………………14分 当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，‎ 所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．‎ 综上，k＝2，t＝3． ………………………16分 ‎20．（1），令，得. …………………………………2分 当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．………………………4分 ‎（2）不等式恒成立，即恒成立，‎ 记，则， ‎ 当时，令，得，………………………………………………6分 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，…8分 则， 记，则，令，得 当时，，此时单调递减，当时，，此时 单调递增，，故的最小值为. ………………………10分 ‎（3）记，由，……12分 故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：‎ ① ‎ 当时，，故，在上无解 ‎…………………………………………………………………14分 ‎②当时，，而，‎ 此时，单调递减，‎ 所以当符合题意． ……………………………16分 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学Ⅱ(附加题)‎ 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ ‎21．【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学 A．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵.‎ B．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的 极坐标方程为．求直线l被曲线C截得的弦长．‎ C．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习． ‎ ‎（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；‎ ‎（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎23.（本小题满分10分）‎ 设且，集合的所有个元素的子集记为．‎ ‎（1）当时，求集合中所有元素之和；‎ ‎（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．‎ ‎ ‎ 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学附加题参考答案 ‎21．【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．‎ A．解：（1）因为 ， ……………………2分 所以 所以 ． ……………………4分 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎（2） ， ……………………6分 ‎ ． ……………………10分 B．解：消去参数，得直线的普通方程为， ……………………2分 即，两边同乘以得， ‎ 所以， ……………………4分 圆心到直线的距离， ……………………6分 所以弦长为． ……………………10分 C．解：由柯西不等式，得．……………2分 因为，所以， …………………6分 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4． ……………………10分 ‎22．解：（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．‎ 记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，‎ 事件A共包含个基本事件，‎ 所以，‎ 所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率．………………………… 3分 ‎（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，，，‎ ‎，． ‎ 所以X的分布列为：‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎………………………………………………………… 8分 所以X的数学期望为：‎ ‎．……………… 10分 ‎ 方法2：每个同学分到B公司的概率为，．…… 5分 根据题意～，所以，4，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……………………………………………… 8分 所以X的数学期望为． ……………………………… 10分 ‎23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为； ……………………………… 3分 ‎ （2）集合的所有个元素的子集中：‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ ‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ ‎ ‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．……… 5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ……………………………… 8分 ‎ ‎ 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