广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

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广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试(数学理)‎ 考试时间:120分钟 满分:150分 ‎ 一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“若,则”的逆否命题为( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎2.抛物线=4的焦点坐标是( )‎ A. (1,0) B. (0,1) C. (0,) D. (‎ ‎3.已知,,,则的值为( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎‎ C. 5 D. 6‎ ‎4.“”是方程表示双曲线的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 以下四个命题中正确的是 ( )‎ A.若,则、、三点共线;  ‎ B.若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底; ‎ C.; D.为直角三角形的充要条件是.‎ ‎6. 在棱长为1的正方体中,和分别为和的中点,那么直线与所成角的余弦值是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设双曲线的一条渐近线与抛物线有公共点,则双曲线的离心率e的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若椭圆或双曲线上存在点,使得点到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”,则下列曲线中是“倍分曲线”的是( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .‎ ‎10.已知向量且∥,则= . ‎ ‎11.点平分双曲线的一条弦,则这条弦所在的直线方程是 ‎ ‎12.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为______________‎ ‎13.已知,,则的取值范围是 . ‎ ‎14.给出下列命题:①椭圆的离心率,长轴长为;②抛物线的准线方程为③双曲线的渐近线方程为;④方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.‎ 其中所有正确命题的序号是 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎15. (本小题满分12分)在平行六面体中,是的中点,.‎ ‎ (1)化简:;‎ ‎(2) 设,,,若,求.‎ ‎16. (本小题满分12分)如图,设圆:,过原点作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,正方体的棱长为,‎ 为的中点. ‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)求点到平面的距离. ‎ ‎18.(本小题满分14分)设椭圆方程 (),为椭圆右焦点,为椭圆在短轴上的一个顶点,的面积为6,(为坐标原点);‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)在椭圆上是否存在一点,使的中垂线过点?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎19.(本题满分14分)‎ 如图,平面,四边形是矩形,,与平面所成角是,点是的中点,点在矩形的边上移动.‎ ‎(1)证明:无论点在边的何处,都有;‎ ‎(2)当等于何值时,二面角的大小为.‎ ‎20.(本题满分14分)已知椭圆经过点,为坐标原点,平行于的直线在轴上的截距为.‎ ‎ (1)当时,判断直线与椭圆的位置关系(写出结论,不需证明);‎ ‎(2)当时,为椭圆上的动点,求点到直线 距离的最小值;‎ ‎ (3)如图,当交椭圆于、两个不同点时,求证:直线、与轴始终围成一个等腰三角形.‎ 湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试 高二级(理科)数学科试卷(参考)答案 一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ D C C B B D A D 二、填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。)‎ ‎9. 或 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. ②④‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 解:设,--------------------------------------------------------------------------------2分 ‎∵点是弦的中点,∴ ---------------------------------------------------4分 ‎∵点在圆C:上,‎ ‎∴,----------------------------------------------------------------------8分 即, ----------------------------------------------------------------------10分 由圆的范围知,.‎ 故点的轨迹方程为().‎ ‎ -------------------------------12分 ‎(此题其它解法可酌情给分)‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 解法一:(1)证明:连接交于,连. -------------------------------------2分 因为为正方形对角线的交点,‎ ‎(2)解:设到平面的距离为.‎ 在中,,且,,‎ 所以, ----------------------------------------------------9分 于是. ----------------------------------------------------10分 因为. --------------------------12分 又,即, --------------------------------------------13分 解得, ‎ 故点到平面的距离为. ‎ ‎ ----------------------------------------------------14分 即 ,令,则 ‎∴ -----------------------------4分 ‎∵,∴, ------------------------6分 又∵平面,所以//平面. ----------------------------7分 ‎(2), ---------------------------------------------------------------9分 是平面的一个法向量.‎ ‎∴点到平面的距离.--------------------------------------14分 ‎18. (本小题满分14分)‎ 解:(1)设 ‎∵为椭圆在短轴上的一个顶点,且的面积为6,‎ ‎∴. ----------------------------------------------------------- 1分 又∵ ‎ ‎ ----------------------------------------------------------2分 ‎∴或 ---------------------------------------------------------4分 ‎∴椭圆方程为或 ---------------------------------------6分 ‎(2)假设存在点,使的中垂线过点.‎ 若椭圆方程为,则,由题意,‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心,以3为半径的圆. ‎ 设,则其轨迹方程为 -------------------------------------------8分 显然与椭圆无交点.‎ 即假设不成立,点不存在. -----------------------------------------------9分 若椭圆方程为,‎ 则,‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆. ‎ 则其轨迹方程为 -----------------------------------------1 1分 则,∴,-------------------------------------------- 13分 故满足题意的点坐标分别为,,,‎ ‎---------------------------------------------------------- 14分 ‎(2)过作于,连,又∵,‎ 则平面,‎ 则是二面角的平面角, ‎ ‎∴ -------------------------------------------------------------------------- 9分 ‎∵与平面所成角是,∴,-------------------------------- 10分 ‎∴,. ∴,, -------------------------- 11分 设,则,,‎ A 在中,,‎ 得.故。 ------------------ 14分 法二:(1)建立如图所示空间直角坐标系,则, ‎ ‎∵与平面所成角是,∴,‎ ‎∴,‎ ‎ ,,. -------------------------------- 3分 设,则 ‎ . --------------------------------6分 ‎ ‎ ‎ 而平面的法向量为,---------------------------------------------- 9分 ‎∵二面角的大小是,‎ 所以=,‎ ‎∴, ------------------- 11分 得 或 (舍).‎ ‎∴ , 故。 --------------------------------- 14分 ‎20. 解:(1)当时,直线与椭圆相离. ……2分 ‎(2)可知直线的斜率为 ‎ 设直线与直线平行,且直线与椭圆相切,‎ 设直线的方程为 --------------------------------- 3分 联立,得 --------------------------------- 4分 ‎,解得 --------------------------------- 5分 直线的方程为.‎ 所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离 ‎ ‎. ------------------------------ 7分 而 ----------- 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ----------- 12分 ‎∴+‎ 直线、与轴始终围成一个等腰三角形 ---------------------------------------14分 ‎ ‎ ‎
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