【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理、概率、随机变量及其分布列课时作业
一、选择题
1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.
2．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A＝4×3×2×1＝24种，∴P(A|B)＝＝.
3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)
0.5，所以p＝0.6.
4．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
解析：选D 令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，5的展开式中项的系数为(－1)3C
22，x项的系数为C23，∴5的展开式中的常数项为(－1)3C22＋C23＝40.故选D.
5．(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．60 B．180
C．520 D．540
解析：选D (x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有C种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有C·C种选法，所以x5y2的系数为32C·C·2·C＝540.
6．在平面区域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤x2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不等式组表示的平面区域如图中长方形OABC，其面积为2×4＝8，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为x2dx＝x3＝，因此所求的概率P＝＝.
二、填空题
7．在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．
解析：因为(x2－4)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，
令10－2r＝6，解得r＝2，
所以含x6的项为T3＝(－4)2Cx6＝160x6.
答案：160x6
8．已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为________．
解析：当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，
则有×22×h＝，解得h＝.
如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率为P＝＝3＝3＝.
答案：
9．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．
解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝＝，P(B)＝P(C)＝＝.
某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝2××＝，
P(ξ＝2)＝×＋2××＝，
P(ξ＝3)＝2××＝，
P(ξ＝4)＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案：
三、解答题
10．(2019届高三·贵阳摸底考试)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图，
(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；
(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望．
解：(1)男生打分的平均分为
×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69.
由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．
(2)∵打分在80分以上的毕业生有3女2男，
∴X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：
微信群数量
0至5个
6至10个
11至15个
16至20个
20个以上
合计
频数
0
90
90
x
15
300
频率
0
0.3
0.3
y
z
1
(1)求x，y，z的值；
(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X
的分布列、数学期望和方差．
解：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300，
解得x＝105，
所以y＝＝0.35，z＝＝0.05.
(2)依题意可知，微信群个数超过15的概率为P＝＝.
X的所有可能取值为0,1,2,3.依题意得，X～B.
所以P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝3×＝，
D(X)＝3××＝.
12．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为C，
从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，
那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，
“恰好取出2件一等品”为事件A2，
“恰好取出3件一等品”为事件A3，
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3而P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
B组——大题专攻补短练
1．(2019届高三·阜阳质检)从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；
(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2)．
①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率；
②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列及E(Y)．
解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.
(2)①∵X～N(57，σ2)，
由(1)知P(X>60)＝，
∴P(X<54)＝，
∴P(54>，
所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机．
