2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 函数的定义域解析式及分段函数
高考达标检测（四） 函数的定义域、解析式及分段函数
一、选择题
1．(2018·广东模拟)设函数 f(x)满足 f
1－x
1＋x ＝1＋x，则 f(x)的表达式为( )
A. 2
1＋x B. 2
1＋x2
C.1－x2
1＋x2 D.1－x
1＋x
解析：选 A 令1－x
1＋x
＝t，则 x＝1－t
1＋t
，代入 f
1－x
1＋x ＝1＋x，
得 f(t)＝1＋1－t
1＋t
＝ 2
1＋t
，即 f(x)＝ 2
1＋x
，故选 A.
2．函数 f(x)＝ 1
ln2x＋1
的定义域是( )
A.
－1
2
，＋∞
B.
－1
2
，0 ∪(0，＋∞)
C.
－1
2
，＋∞
D．[0，＋∞)
解析：选 B 由题意，得 2x＋1>0，
2x＋1≠1，
解得－1
2
0.
3．(2018·福建调研)设函数 f：R→R 满足 f(0)＝1，且对任意 x，y∈R 都有 f(xy＋1)＝f(x)f(y)
－f(y)－x＋2，则 f(2 017)＝( )
A．0 B．1
C．2 017 D．2 018
解析：选 D 令 x＝y＝0，则 f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，
令 y＝0，则 f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，
将 f(0)＝1，f(1)＝2 代入，可得 f(x)＝1＋x，
所以 f(2 017)＝2 018.
4．若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则 f(1)＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
解析：选 A 令 x＝1，得 2f(1)－f(－1)＝4，①
令 x＝－1，得 2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得 f(1)＝2.
5．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选 B 设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴
a＋b＋c＝1，
a－b＋c＝5，
c＝0，
解得
a＝3，
b＝－2，
c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
6．(2018·青岛模拟)已知函数 f(x)＝ 2x，x≤0，
|log2x|，x>0，
则使 f(x)＝2 的 x 的集合是( )
A.
1
4
，4 B.{1，4}
C. 1，1
4 D. 1，1
4
，4
解析：选 A 由题意可知，f(x)＝2，即 2x＝2，
x≤0
或 |log2x|＝2，
x>0，
解得 x＝1
4
或 4，故选 A.
7．(2018·莱芜模拟)已知函数 f(x)的定义域为[3,6]，则函数 y＝ f2x
log
1
2 2－x
的定义域
为( )
A.
3
2
，＋∞
B.
3
2
，2
C.
3
2
，＋∞
D.
1
2
，2
解析：选 B 要使函数 y＝ f2x
log
1
2 2－x
有意义，需满足
3≤2x≤6，
log
1
2 2－x>0，
2－x>0
⇒
3
2
≤x≤3，
2－x<1，
2－x>0
⇒3
2
≤x<2.故选 B.
8．(2018·武汉调研)函数 f(x)＝ sinπx2，－10 对任意实数 x 恒成立，
若 k＝0，不等式化为 4x＋3>0，即 x>－3
4
，不合题意；
若 k≠0，则 k>0，
16－4kk＋3<0，
解得 k>1.
∴实数 k 的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
11．具有性质：f
1
x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①f(x)＝x－1
x
；②f(x)＝x＋1
x
；③f(x)＝
x，01.
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
解析：对于①，f(x)＝x－1
x
，f
1
x ＝1
x
－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，f
1
x ＝1
x
＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；
对于③，f
1
x ＝
1
x
，0<1
x<1，
0，1
x
＝1，
－x，1
x>1，
即 f
1
x ＝
1
x
，x>1，
0，x＝1，
－x，0a.
①若 a＝0，则 f(x)的最大值为________；
②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 x≤a 时，由 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1.
如图是函数 y＝x3－3x 与 y＝－2x 在没有限制条件时的图象．
①若 a＝0，则 f(x)max＝f(－1)＝2.
②当 a≥－1 时，f(x)有最大值；
当 a<－1 时，y＝－2x 在 x>a 时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，
所以 a<－1.
答案：①2 ②(－∞，－1)
三、解答题
13．已知 f(x)＝x2－1，g(x)＝ x－1，x>0，
2－x，x<0.
(1)求 f(g(2))与 g(f(2))；
(2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式．
解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
因此 f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当 x>0 时，g(x)＝x－1，
故 f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当 x<0 时，g(x)＝2－x，
故 f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以 f(g(x))＝ x2－2x，x>0，
x2－4x＋3，x<0.
当 x>1 或 x<－1 时，f(x)>0，
故 g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
当－11 或 x<－1，
3－x2，－10.
解得 t>15＋ 21
2
或 t<15－ 21
2
，
从而 00，v(t)单调递增；
当 t∈(9,10)时，v′(t)<0，v(t)单调递减．
所以当 t＝9 时，v(t)的最大值 v(9)＝ 1
240
×3×e9＋50＝150(亿立方米)，
故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米．
1．已知函数 f(x)＝ 2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意
a≥0，方程 f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数 g(x)＝f(x)－x 在区间[0,2n](n∈N*)
上的所有零点的和为( )
A.nn＋1
2
B．22n－1＋2n－1
C.1＋2n2
2
D．2n－1
解析：选 B 因为函数 f(x)＝ 2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，所
以 m≥1.
又因为对于任意 a≥0，方程 f(x)＝a 有且只有一个实数解，且函数 f(x)
＝ 2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，
所以 m＝1.
如图所示，函数 g(x)＝f(x)－x 在区间
[0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为 0,1,2,3，…，2n，
所以所有的零点的和等于2n1＋2n
2
＝22n－1＋2n－1.
2．设函数 f(x)＝ x－[x]，x≥0，
fx＋1，x<0，
其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[－1.5]＝－
2，[2.5]＝2，若直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则 k 的取
值范围为( )
A.
－1
2
，－1
3 B.
－1
2
，－1
3
C.
－1，－1
2 D.
－1，－1
2
解析：选 C 作出函数 f(x)＝ x－[x]，x≥0，
fx＋1，x<0
的图象如图所示．
因为直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，
所以 k0－1<1，
k－1－1≥1，
解得－1
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