2020高中数学 章末综合测评3 导数及其应用 新人教A版选修1-1
章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于( )
A．sin α B．cos α
C．2α＋sin α D．2α－sin α
A [f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.]
2．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是( )
A. B.或
C. D.
B [y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得P点的坐标为，2或－，－2.]
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
【导学号：97792179】
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D [f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数递增，所以a＝2.]
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由f′(x)>0，得x>2，故选D.]
5．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
D [y′＝′＝＝，
10
∴y′|x＝3＝－，故与切线垂直的直线斜率为2，
所求直线方程为y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0.故选D.]
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1)
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D [①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，
在(－∞，1)内单调递减．
所以f(2)>f(1)，f(1)
2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．]
7．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
A [y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.
当x>e时，y′<0；当00.
故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]
8．如图1，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为( )
图1
A. B．－
C. D．－或
B [f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象为开口向上的抛物线，故不是图①，图②中，a
10
＝0，f′(x)＝x2－1，与已知矛盾；故f′(x)的图象为图③，∴f′(0)＝0，a＝±1，又其对称轴在y轴右边，故a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.]
9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
C [设内接矩形的长为x，
则宽为，
∴S2＝x2·＝y，
∴y′＝50x－x3.
令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，
∴S＝625，即Smax＝25.]
10．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
A [f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．]
11．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图2所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集为 ( )
【导学号：97792180】
图2
A.∪[0,1]∪[2,3)
B.∪[1,2]∪
C.∪[2,3)
10
D.∪∪
A [对于不等式xf′(x)≤0，当－即af(b)0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是__________．
[f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝－，
由题意知－＝4，解得k＝.]
16．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．
[3，＋∞) [f′(x)＝－3x2＋a，由题意知f′(x)≥0在x∈(－1,1)时恒成立，
即a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立，又x∈(－1,1)时，3x2<3，则a≥3.]
10
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．
(2)直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求实数a的值.
【导学号：97792181】
[解] (1)f′(x)＝－－，由题意知f′(4)＝－－＝－，
解得a＝1，
∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－.
即切点为.
∵在切线5x＋16y＋b＝0上，
∴5×4＋16×＋b＝0，即b＝8，
从而a＝1，b＝8.
(2)设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)，
由y′＝3x2－2x得y′|x＝x0＝3x－2x0，
由题意知3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1，
于是切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，＝－＋a，即a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，即a＝0(舍去)．
∴实数a的值为.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知
10
f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．
19．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1处有极值．
(1)写出函数的解析式．
(2)指出函数的单调区间．
(3)求f(x)在[－1,2]上的最值．
[解] (1)y′＝12x2＋2ax＋b，由题设知当x＝与x＝－1时函数有极值，则x＝与x＝－1满足y′＝0，
即解得
所以y＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)y′＝12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，列表如下：
x
(－∞，
－1)
－1
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
y极大值
＝16
↘
y极小值
＝－
↗
由上表可知(－∞，－1)和为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间．
(3)因为f(－1)＝16，f＝－，f(2)＝－11，
所以f(x)在[－1,2]上的最小值是－，最大值为16.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数
10
f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：b2>3a；
(3)若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．
[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝32＋b－.
当x＝－时，f′(x)有极小值b－.
因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，
所以f＝－＋－＋1＝0.
又a>0，故b＝＋.
因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，
从而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.
当a＝3时，f′(x)>0(x≠－1)，
故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；
当a>3时，f′(x)＝0有两个相异的实根
x1＝，x2＝.
列表如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f(x)的极值点是x1，x2.
从而a>3.
因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．
(2)证明：由(1)知，＝＋.
设g(t)＝＋，则g′(t)＝－＝.
当t∈时，g′(t)>0，
10
从而g(t)在上单调递增．
因为a>3，所以a>3，
故g(a)>g(3)＝，即>.
因此b2>3a.
(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1＋x2＝－a，
x＋x＝.
从而f(x1)＋f(x2)＝x＋ax＋bx1＋1＋x＋ax＋bx2＋1
＝(3x＋2ax1＋b)＋(3x＋2ax2＋b)＋a(x＋x)＋b(x1＋x2)＋2
＝－＋2＝0.
记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，
因为f′(x)的极值为b－＝－a2＋，
所以h(a)＝－a2＋，a>3.
因为h′(a)＝－a－<0，
于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．
因为h(6)＝－，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.
因此a的取值范围为(3,6]．
21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3ax2－b，由题意知
即，解得
故f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4
＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
10
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
－
↗
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－
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