中考二次函数动点综合题型精讲含答案

中考二次函数动点综合题型精讲含答案

二次函数综合题型精讲 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．‎ ‎ ‎ 解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得 ‎ 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0‎ 所以解析式为y=﹣x2+x．‎ ‎（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N，‎ 在Rt△ABN中，AB===4， 因此OM+AM最小值为． ‎ 方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。‎ ‎ A A ‎ B B ‎ M 或者 M ‎ A’ B’‎ 例2：已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。‎ ‎（1）求抛物线的顶点坐标.‎ ‎（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.‎ ‎（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。‎ 解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３ ∴a＝１ ‎ ‎　　　　　∴ｙ＝x2＋bx－３‎ ‎　　　　　∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４‎ ‎∴＝４且b＜０ ∴b＝－２ ‎ ‎∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４ ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） ‎ ‎（2）∵x＞０，∴‎ ‎∴显然当x＝１时，才有 ‎ ‎（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2 ∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）‎ ‎∵ΔAOB为RtΔ ∴OA２+OB２=AB２‎ ‎∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２ 化简得：m n＝－１ ‎ ‎∵ＳΔAOB==‎ ‎∵m n＝－１‎ ‎∴ＳΔAOB＝‎ ‎＝‎ ‎∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)　　　‎ ‎∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x　　　　　　　‎ 方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=‎ ‎②‎ 例3：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．‎ 解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：‎ ‎， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3．‎ 已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；‎ ‎∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．‎ ‎（3）如图；‎ ‎∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB，‎ ‎∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；‎ ‎∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．‎ 方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。‎ 题型二：二次函数与三角形的综合问题 例4：如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式;‎ ‎（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 ‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，‎ 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1=AD=4 ,‎ ‎∴P1‎ 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ‎ ‎∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，‎ 即点M与点C重合 ∴P2（1，2）‎ ‎（3）如图设点E ，则 ‎ ‎①当P1(-1,4)时，‎ S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE = ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴‎ 代入得： ,即 ‎ ‎∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解 ‎②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴ 代入得：‎ 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。‎ 方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。‎ 例5：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解析：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，‎ ‎∵∠AOB=120° ∴∠BOC=60°，‎ 又∵OA=OB=4， ∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，‎ 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ‎， 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x ‎（3）存在，‎ 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），‎ ‎①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，‎ 当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，‎ ‎∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上，‎ ‎∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2）‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），‎ 方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。‎ 题型三：二次函数与四边形的综合问题 例6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ 解析：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．‎ ‎∵点A在点B的左侧， ∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．‎ 当x=0时，y=3． ∴C点的坐标为（0，3）‎ 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），‎ 则， 解得， ∴直线AC的解析式为y=3x+3．‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． ‎ ‎（2）抛物线上有三个这样的点Q，‎ ‎①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3， 代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；‎ ‎②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3， 代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；‎ ‎③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3， 代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；‎ 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为： Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）． ‎ （3） 点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．‎ 连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求， 过点B′作B′E⊥x轴于点E．‎ ‎∵∠1和∠2都是∠3的余角， ∴∠1=∠2．‎ ‎∴Rt△AOC～Rt△AFB， ∴，‎ 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=，AB=4．‎ ‎∴， ∴BF=， ∴BB′=2BF=，‎ 由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，‎ ‎∴， ∴，即．‎ ‎∴B′E=，BE=， ∴OE=BE﹣OB=﹣3=． ∴B′点的坐标为（﹣，）．‎ 设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．‎ ‎∴， 解得， ∴直线B'D的解析式为：y=x+，‎ 联立B'D与AC的直线解析式可得：， 解得， ∴M点的坐标为（，）．‎ 方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。‎ 题型四：二次函数与圆的综合问题 例7：如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ 解析：（1）如答图1，连接OB．‎ ‎∵BC=2，OC=1 ∴OB= ∴B（0，）‎ 将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式 得 ，解得： ， ∴．‎ ‎（2）存在．‎ 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．‎ ‎∵B（0，），O（0，0）， ∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，‎ 得； 解得， ∴P（）．‎ ‎（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．‎ 设M（ ），‎ 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB ‎= = ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎= ‎ ‎∴当时，取得最大值，最大值为．‎ 题型五：二次函数中的证明问题 例8：如图11，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4).‎ ‎ （1）求二次函数的解析式：‎ ‎ （2）求证：△ACB是直角三角形；‎ ‎ （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎ 解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人中，整理得：‎ ‎ 解得 ‎ ∴二次函数的解析式为： ，‎ ‎ 整理得： ‎ ‎ ‎ ‎ （2）由 整理 ‎ ‎ ∴C （-2，0） D ‎ ‎ 从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65‎ ‎ AB2=64+1=65 ∴ AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形 ‎ （3）设 （X<0）‎ ‎ PH= HD= AC= BC=‎ ‎ ①当△PHD∽△ACB时有：‎ ‎ 即： 整理 ‎ ‎ ∴ （舍去）此时， ∴ ‎ ‎ ②当△DHP∽△ACB时有：‎ ‎ 即： 整理 ‎ ‎ ∴ （舍去）此时， ∴ ‎ ‎ 综上所述，满足条件的点有两个即 ‎ 例9： 在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图1，当m=时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．‎ 解析：（1）①把x=代入 y=x2，得 y=2，∴P（，2），∴OP=‎ ‎∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．‎ ‎②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM， ∴．∴n=‎ ‎∴Q（，），∴OQ=．‎ 当 OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，）；‎ 当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）．‎ ‎（2）①∵P（m，m2），设 Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴‎ ‎∴，得n=，∴Q（，）．‎ ‎②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：‎ 解得b=1，∴M（0，1）‎ ‎∵，∠QBO=∠MOA=90 ∴△QBO∽△MOA ‎∴∠MAO=∠QOB ∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90° ∴四边形ODME是矩形．‎ 题型六：自变量取值范围问题 ‎ 例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．‎ ‎（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．‎ 解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；‎ Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3； OA=AD﹣OD=2，即：‎ A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：‎ ‎2×（﹣3）a=4，a=﹣； ∴抛物线：y=﹣x2+x+4．‎ ‎（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；‎ 由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：‎ ‎， 解得：，；‎ 由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．‎ ‎（3）∵S△APE=AE•h， ∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；‎ 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；‎ 设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，‎ ‎﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；‎ 求得：b=，即直线L：y=﹣x+； 可得点P（，）．‎ 由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；‎ 则点F（，0），AF=OA+OF=；‎ ‎∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．‎ 综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．‎ ‎【提高训练】 ‎ ‎1. （2012广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求m、n的值；‎ ‎（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．‎ ‎【答案】（1）证明：∵二次函数图象的顶点横坐标是2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+‎4m=0。‎ ‎（2）解：∵二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，‎ ‎∴OA=－x1，OB=x2；。‎ 令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。‎ 由三角函数定义得：。‎ ‎∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化简得：。‎ 将 代入得：，化简得：。‎ 由（1）知n+‎4m=0，‎ ‎∴当n=1时，；当n=－1时，。‎ ‎∴m、n的值为： ，n=－1（此时抛物线开口向上）或 ，n=1（此时抛物线开口向下）。‎ ‎（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1， ，‎ ‎∴抛物线解析式为：。‎ 联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，‎ 化简得： ＊。‎ ‎∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，‎ ‎∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。‎ ‎∴抛物线解析式为：。‎ 当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。‎ ‎∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+‎4m=0。‎ ‎（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。‎ ‎（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。 ‎ ‎2. （2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ ‎【答案】解：（1）在中，‎ 令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；‎ 令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。‎ ‎∴AB=9，OC=9。‎ ‎（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。‎ ‎∴s=m2（0＜m＜9）。‎ ‎（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，‎ ‎∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED ‎=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。‎ ‎∴△CDE的最大面积为，‎ 此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。‎ 又，‎ 过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。‎ ‎∴。‎ ‎∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。‎ ‎（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。‎ ‎ （3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。‎ ‎②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。‎ ‎3. （2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？‎ ‎ 请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。‎ 又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。‎ ‎ ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。‎ ‎（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，‎ 由题意得： ，解得：。‎ ‎∴直线BC的解析式为y=－2x+2．‎ ‎∴点E的坐标为（0，2）。‎ ‎∴。 ‎ ‎∴AE=CE。‎ ‎（3）相似。理由如下：‎ 设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。‎ ‎∴直线AD的解析式为y=x+4。‎ 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。‎ ‎∴点F的坐标为（ ）。‎ 则。‎ 又∵AB=5，，‎ ‎∴。∴。‎ 又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。‎ ‎∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。‎ ‎（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。‎ ‎（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出；由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。‎ ‎4.（2011广州24. 14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）求a的取值范围；‎ ‎（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0

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