三角恒等变换高考试题精选二

三角恒等变换高考试题精选二

三角恒等变换高考试题精选（二）‎ ‎　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若tanα=2tan，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）‎ A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=‎ ‎8．已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知sin2α=，则cos2（）=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎11．若，则cos2α+2sin2α=（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎12．若，则=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．设，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．已知，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　 　．‎ ‎17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　 　．‎ ‎18．已知，则=　 　．‎ ‎19．若，则=　 　．‎ ‎20．已知tanα=2，则=　 　．‎ ‎21．化简：﹣=　 　．‎ ‎22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　 　，tan2α=　 　．‎ ‎23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求b和sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A+）的值．‎ ‎25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．‎ ‎26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．‎ ‎（Ⅰ）证明：tan=；‎ ‎（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．‎ ‎28．已知 tanα=2．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求 的值．‎ ‎29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ ‎30．已知α∈（，π），sinα=．‎ ‎（1）求sin（+α）的值；‎ ‎（2）求cos（﹣2α）的值．‎ ‎　‎ 三角恒等变换高考试题精选（二）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【解答】解：∵sinα﹣cosα=，‎ ‎∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，‎ ‎∴sin2α=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，‎ ‎∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，‎ 法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，‎ ‎∴（1+sin2α）=，‎ ‎∴sin2α=2×﹣1=﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：∵tanα=，‎ ‎∴cos2α+2sin2α====．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ ‎==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：tanα=2tan，则==‎ ‎===========3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）‎ A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=‎ ‎【解答】解：由tanα=，得：‎ ‎，‎ 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，‎ sin（α﹣β）=cosα=sin（），‎ ‎∵α∈（0，），β∈（0，），‎ ‎∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•浙江）已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，‎ 联立解得，或 故tanα==，或tanα=3，‎ 代入可得tan2α===﹣，‎ 或tan2α===‎ 故选C ‎　‎ ‎9．（2017•自贡模拟）已知，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，∴sin（α+）==，‎ 而 cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，‎ ‎∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，‎ 则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【解答】解：==，‎ 由于：，‎ 所以：=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（2017•平罗县校级一模）若，则cos2α+2sin2α=（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【解答】解：由，得 ‎=﹣3，‎ 解得tanα=2，‎ 所以cos2α+2sin2α====．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．（2017•龙凤区校级模拟）若，则=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】解：，则==‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎13．（2017•潮州二模）已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（2017•龙凤区校级模拟）设，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．（2017•泸州模拟）已知，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由，‎ 可得：cos（）=sin[﹣（）]=．‎ 那么：=cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎16．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　　．‎ ‎【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，‎ 要使+=2，‎ ‎∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．‎ 则：，k1∈Z．‎ ‎，即，k2∈Z．‎ 那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．‎ ‎∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．（2017•新课标Ⅰ）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　　．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，‎ ‎∴sinα=2cosα，‎ ‎∵sin2α+cos2α=1，‎ 解得sinα=，cosα=，‎ ‎∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎18．（2017•黄石港区校级模拟）已知，则=　　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=+‎ ‎=‎ ‎=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎19．（2017•张家界一模）若，则=　　．‎ ‎【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎20．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=　1　．‎ ‎【解答】解：tanα=2，则===1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎21．（2017•厦门一模）化简：﹣=　4　．‎ ‎【解答】解：由﹣==‎ ‎．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎22．（2017•永康市模拟）若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　﹣　，tan2α=　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵sin（α+）=3sin（﹣α），∴sinα+cosα=3cosα，∴tanα=，‎ 则cos2α====﹣，‎ ‎∴tan2α===﹣，‎ 故答案为：﹣；．‎ ‎　‎ ‎23．（2017•重庆模拟）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　　．‎ ‎【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1‎ 解得：或，‎ ‎∵θ∈（0，π），‎ ‎∴，‎ 则==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎24．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求b和sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A+）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，‎ 故由sinB=，可得cosB=．‎ 由已知及余弦定理，有=13，‎ ‎∴b=．‎ 由正弦定理，得sinA=．‎ ‎∴b=，sinA=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，‎ cos2A=1﹣2sin2A=﹣．‎ 故sin（2A+）==．‎ ‎　‎ ‎25．（2017•嘉定区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．‎ ‎【解答】解：‎ 解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．‎ 又∵a﹣b=2，‎ ‎∴a=4，b=2． ‎ cosB===． ‎ sinB===． ‎ ‎∴S△ABC=acsinB==． ‎ ‎（II）cosA===．‎ sinA===． ‎ sin2A=2sinAcosA=2×．‎ cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣． ‎ ‎∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB ‎==． ‎ 解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．‎ 又∵a﹣b=2，‎ ‎∴a=4，b=2． ‎ 又c=4，可知△ABC为等腰三角形． ‎ 作BD⊥AC于D，则BD===． ‎ ‎∴S△ABC==．‎ ‎（II）cosB===． ‎ sinB===． ‎ 由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B． ‎ ‎∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B ‎=2sinBcosB ‎ ‎=2××=．‎ ‎　‎ ‎26．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：‎ ‎；‎ ‎∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；‎ ‎∴2sin（A+B）=sinA+sinB；‎ 即sinA+sinB=2sinC（1）；‎ 根据正弦定理，；‎ ‎∴，带入（1）得：；‎ ‎∴a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）a+b=2c；‎ ‎∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；‎ ‎∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；‎ 又a，b＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∴由余弦定理，=；‎ ‎∴cosC的最小值为．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．‎ ‎（Ⅰ）证明：tan=；‎ ‎（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan 的值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．‎ ‎（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，‎ 在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，‎ 所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，‎ 则：cosA===．‎ 于是sinA==，‎ 连结AC，同理可得：cosB===，‎ 于是sinB==．‎ 所以tan+tan+tan+tan===．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•广东）已知 tanα=2．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求 的值．‎ ‎【解答】解：tanα=2．‎ ‎（1）tan（α+）===﹣3；‎ ‎（2）====1．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，‎ 所以==．‎ ‎（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．‎ 又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，‎ 由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．‎ 设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．‎ ‎（1）求sin（+α）的值；‎ ‎（2）求cos（﹣2α）的值．‎ ‎【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=‎ ‎（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；‎ ‎∴sin（+α）的值为：﹣．‎ ‎（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣‎ ‎∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．‎ cos（﹣2α）的值为：﹣．‎ ‎　‎