北京市中考数学试卷含答案解析

北京市中考数学试卷含答案解析

2016 年北京市中考数学试卷 　 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为（　　） A．45° B．55° C．125°D．135° 2．（3 分）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约 28000 公里， 将 28000 用科学记数法表示应为（　　） A．2.8×103B．28×103 C．2.8×104D．0.28×105 3．（3 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 4．（3 分）内角和为 540°的多边形是（　　） A． B． C． D． 5．（3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．圆柱 D．三棱柱 6．（3 分）如果 a+b=2，那么代数（a﹣ ）• 的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 7．（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中， 不是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 8．（3 分）在 1﹣7 月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售 该种水果每斤利润最大的月份是（　　） A．3 月份 B．4 月份 C．5 月份 D．6 月份 9．（3 分）如图，直线 m⊥n，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m，y 轴∥n，点 A 的坐标为（﹣4，2），点 B 的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 10．（3 分）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水 价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15%和 5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市 5 万户居民家庭 上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理 的是（　　） ①年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在 150﹣180 之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 　 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．（3 分）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是　 　． 12 ．（ 3 分 ） 如 图 中 的 四 边 形 均 为 矩 形 ， 根 据 图 形 ， 写 出 一 个 正 确 的 等 式　 　． 13．（3 分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种 幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵 数 n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵 数 m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　 　． 14．（3 分）如图，小军、小珠之间的距离为 2.7m，他们在同一盏路灯下的影长 分别为 1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为 1.8m，1.5m，则路灯的高为　 　 m． 15．（3 分）百子回归图是由 1，2，3…，100 无重复排列而成的正方形数表，它 是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最 后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行 10 个 数之和，每列 10 个数之和，每条对角线 10 个数之和均相等，则这个和 为　 　． 16．（3 分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P．（如图 1） 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P． 作法：如图 2 （1）在直线 l 上任取两点 A，B； （2）分别以点 A，B 为圆心，AP，BP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q； （3）作直线 PQ． 所以直线 PQ 就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是　 　． 　 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分），解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17．（5 分）计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣ +|1﹣ |． 18．（5 分）解不等式组： ． 19．（5 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交 DC 的延长线 于点 E．求证：DA=DE． 20．（5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数 根． （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根． 21．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣6，0）的直线 l1 与直 线 l2：y=2x 相交于点 B（m，4）． （1）求直线 l1 的表达式； （2）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围． 22．（5 分）调查作业：了解你所在小区家庭 5 月份用气量情况： 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有 300 户家庭，每户家 庭人数在 2﹣5 之间，这 300 户家庭的平均人数均为 3.4． 小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查，将 收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1，表 2 和表 3． 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题： 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭 5 月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 23．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD，AC=2，求 BN 的长． 24．（5 分）阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位， 深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市 文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长 的支柱产业． 2011 年，北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元，占地区生产总值的 12.2%．2012 年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值 2189.2 亿元，占地区生产总值的 12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零 售业的第三大支柱产业．2013 年，北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元，比 上年增长 9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014 年， 北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元，占地区生产总值的 13.1%，创历史 新高，2015 年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值 3072.3 亿 元，占地区生产总值的 13.4%． 根据以上材料解答下列问题： （1）用折线图将 2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在 图中标明相应数据； （2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016 年北京市文化创意产业实现增 加值约　 　亿元，你的预估理由　 　． 25．（5 分）如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交 于 点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路． 26．（5 分）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围 x＞0，下表是 y 与 x 的几 组对应值： x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对 该函数的图象与性质进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的 点，根据描出的点，画出该函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4 对应的函数值 y 约为　 　； ②该函数的一条性质：　 　． 27．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与 x 轴的交点为 A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围． 28．（7 分）在等边△ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧， 且 AP=AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ①依题意将图 2 补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA=PM，小 茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA=PM，只需证△APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP，要证明 PA=PM，只需证△ANP≌△ PCM； 想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK，PM=CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可）． 29．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为 （x2，y2），且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边 均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相 关矩形”示意图． （1）已知点 A 的坐标为（1，0）， ①若点 B 的坐标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为（m，3），若在⊙O 上存在一点 N，使得 点 M，N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围． 　 2016 年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为（　　） A．45° B．55° C．125°D．135° 【分析】由图形可直接得出． 【解答】解：由图形所示，∠AOB 的度数为 55°， 故选 B． 【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题 的关键． 　 2．（3 分）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约 28000 公里， 将 28000 用科学记数法表示应为（　　） A．2.8×103B．28×103 C．2.8×104D．0.28×105 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式．其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数 点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数． 【解答】解：28000=1.1×104． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数 n 法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 3．（3 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 【分析】利用数轴上 a，b 所在的位置，进而得出 a 以及﹣b 的取值范围，进而 比较得出答案． 【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误； B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误； C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故 a＜﹣b，故此选项错误； D、由选项 C 可得，此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出 a 以及﹣b 的取值范围是解题关 键． 　 4．（3 分）内角和为 540°的多边形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解． 【解答】解：设多边形的边数是 n，则 （n﹣2）•180°=540°， 解得 n=5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 　 5．（3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．圆柱 D．三棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形 状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可 判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选 D 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象 能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看， 所得到的图形． 　 6．（3 分）如果 a+b=2，那么代数（a﹣ ）• 的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简 结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a+b=2， ∴原式= • =a+b=2 故选：A． 【点评】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关 键． 　 7．（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中， 不是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合． 　 8．（3 分）在 1﹣7 月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售 该种水果每斤利润最大的月份是（　　） A．3 月份 B．4 月份 C．5 月份 D．6 月份 【分析】根据图象中的信息即可得到结论． 【解答】解：由图象中的信息可知，3 月份的利润=7.5﹣5=2.5 元， 4 月份的利润=6﹣3=3 元， 5 月份的利润=4.5﹣2=2.5 元， 6 月份的利润=3﹣1.2=1.8 元， 故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份， 故选 B． 【点评】本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息， 理解利润=售价﹣进价是解题的关键． 　 9．（3 分）如图，直线 m⊥n，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m，y 轴∥n，点 A 的坐标为（﹣4，2），点 B 的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【分析】先根据点 A、B 的坐标求得直线 AB 的解析式，再判断直线 AB 在坐标平 面内的位置，最后得出原点的位置． 【解答】解：设过 A、B 的直线解析式为 y=kx+b， ∵点 A 的坐标为（﹣4，2），点 B 的坐标为（2，﹣4）， ∴ ， 解得 ， ∴直线 AB 为 y=﹣x﹣2， ∴直线 AB 经过第二、三、四象限， 如图，由 A、B 的坐标可知，沿 CD 方向为 x 轴正方向，沿 CE 方向为 y 轴正方向， 故将点 A 沿着 CD 方向平移 4 个单位，再沿着 EC 方向平移 2 个单位，即可到达 原点位置，则原点为点 O1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握待定系数法以 及一次函数图象与系数的关系．在一次函数 y=kx+b 中，k 决定了直线的方向，b 决定了直线与 y 轴的交点位置． 　 10．（3 分）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水 价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15%和 5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市 5 万户居民家庭 上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理 的是（　　） ①年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在 150﹣180 之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：①由条形统计图可得：年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭一共 有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万）， ×100%=80%，故年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费， 正确； ②∵年用水量超过 240m3 的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.35（万）， ∴ ×100%=7%≠5%，故年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价 交费，故此选项错误； ③∵5 万个数数据的中间是第 25000 和 25001 的平均数， ∴该市居民家庭年用水量的中位数在 120﹣150 之间，故此选项错误； ④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180，正确， 故选：B． 【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数的定义，正确利用条形统计 图获取正确信息是解题关键． 　 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．（3 分）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是　x≠1　． 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣1≠0， 解得 x≠1， 故答案为：x≠1． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 　 12．（3 分）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式　 am+bm+cm=m（a+b+c）　． 【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可． 【解答】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）． 故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题 关键． 　 13．（3 分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种 幼树在移植过程中的一组数据： 移植的棵 数 n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵 数 m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频 率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　0.881　． 【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值， 即次数越多的频率越接近于概率． 【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计 值，即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.881． 故答案为：0.881； 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概 率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 　 14．（3 分）如图，小军、小珠之间的距离为 2.7m，他们在同一盏路灯下的影长 分别为 1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为 1.8m，1.5m，则路灯的高为　 3　m． 【分析】根据 CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三 角形的性质可知 ， ，即可得到结论． 【解答】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴ ， ， 即 ， ， 解得：AB=3m． 答：路灯的高为 3m． 【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键． 　 15．（3 分）百子回归图是由 1，2，3…，100 无重复排列而成的正方形数表，它 是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最 后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行 10 个 数之和，每列 10 个数之和，每条对角线 10 个数之和均相等，则这个和为　 505　． 【分析】根据已知得：百子回归图是由 1，2，3…，100 无重复排列而成，先计 算总和；又因为一共有 10 行，且每行 10 个数之和均相等，所以每行 10 个数之 和=总和÷10． 【解答】解：1～100 的总和为： =5050， 一共有 10 行，且每行 10 个数之和均相等，所以每行 10 个数之和为：5050÷ 10=505， 故答案为：505． 【点评】本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规 律从 1 开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的 规律，就是最后的答案；此题非常简单，跟百子碑简介没关系，只考虑行、列就 可以，同时，也可以利用列来计算． 　 16．（3 分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P．（如图 1） 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P． 作法：如图 2 （1）在直线 l 上任取两点 A，B； （2）分别以点 A，B 为圆心，AP，BP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q； （3）作直线 PQ． 所以直线 PQ 就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是　到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线 上（A、B 都在线段 PQ 的垂直平分线上）　． 【分析】只要证明直线 AB 是线段 PQ 的垂直平分线即可． 【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都 在线段 PQ 的垂直平分线上）， 理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB， ∴点 A、点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上， ∴直线 AB 垂直平分线段 PQ， ∴PQ⊥AB． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相 等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型． 　 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分），解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17．（5 分）计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣ +|1﹣ |． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次 计算，求出算式（3﹣π）0+4sin45°﹣ +|1﹣ |的值是多少即可． 【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣ +|1﹣ | =1+4× ﹣2 ﹣1 =1 ﹣2 + ﹣1 = 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开 方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左 到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① a0=1（a≠0）；②00≠1． （3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30°、45°、60°角的各种三角函 数值． 　 18．（5 分）解不等式组： ． 【分析】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大 中间找可得不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8， 解不等式 4x＞ ，得：x＞1， ∴不等式组的解集为：1＜x＜8． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键． 　 19．（5 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交 DC 的延长线 于点 E．求证：DA=DE． 【分析】由平行四边形的性质得出 AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由 角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠E=∠BAE， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠E=∠DAE， ∴DA=DE． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟 练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE 是解决问题的关键． 　 20．（5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数 根． （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出 关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）结合（1）结论，令 m=1，将 m=1 代入原方程，利用因式分解法解方程即 可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0 有两个不相 等的实数根， ∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0， 解得：m＞﹣ ． （2）m=1，此时原方程为 x2+3x=0， 即 x（x+3）=0， 解得：x1=0，x2=﹣3． 【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二 次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于 m 的一元 一次不等式；（2）选取 m 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目 时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 　 21．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣6，0）的直线 l1 与直 线 l2：y=2x 相交于点 B（m，4）． （1）求直线 l1 的表达式； （2）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围． 【分析】（1）先求出点 B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）由图象可知直线 l1 在直线 l2 上方即可，由此即可写出 n 的范围． 【解答】解：（1）∵点 B 在直线 l2 上， ∴4=2m， ∴m=2，点 B（2，4） 设直线 l1 的表达式为 y=kx+b， 由题意 ，解得 ， ∴直线 l1 的表达式为 y= x+3． （2）由图象可知 n＜2． 【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法， 学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． 　 22．（5 分）调查作业：了解你所在小区家庭 5 月份用气量情况： 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有 300 户家庭，每户家 庭人数在 2﹣5 之间，这 300 户家庭的平均人数均为 3.4． 小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查，将 收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1，表 2 和表 3． 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位：m3） 家庭人 数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题： 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭 5 月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 【分析】首先根据题意分析家庭平均人数，进而利用加权平均数求出答案，再利 用已知这 300 户家庭的平均人数均为 3.4 分析即可． 【解答】解：小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值 为： （2×3+3×11+4）÷15=2.87， 远远偏离了平均人数的 3.4，所以他的数据抽样有明显的问题， 小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：（2×2+3×7+4×4+5×2）÷ 15=3.4， 说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区 家庭 5 月份用气量情况． 【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性以及加权平均数，正确理解抽样调查 的随机性是解题关键． 　 23．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD，AC=2，求 BN 的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得 MN= AD，根据直角三角形斜边中线定 理得 BM= AC，由此即可证明． （2）首先证明∠BMN=90°，根据 BN2=BM2+MN2 即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△CAD 中，∵M、N 分别是 AC、CD 的中点， ∴MN∥AD，MN= AD， 在 RT△ABC 中，∵M 是 AC 中点， ∴BM= AC， ∵AC=AD， ∴MN=BM． （2）解：∵∠BAD=60°，AC 平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）可知，BM= AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， ∵MN∥AD， ∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴BN2=BM2+MN2， 由（1）可知 MN=BM= AC=1， ∴BN= 【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知 识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 　 24．（5 分）阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位， 深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市 文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长 的支柱产业． 2011 年，北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元，占地区生产总值的 12.2%．2012 年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值 2189.2 亿元，占地区生产总值的 12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零 售业的第三大支柱产业．2013 年，北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元，比 上年增长 9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014 年， 北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元，占地区生产总值的 13.1%，创历史 新高，2015 年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值 3072.3 亿 元，占地区生产总值的 13.4%． 根据以上材料解答下列问题： （1）用折线图将 2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在 图中标明相应数据； （2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016 年北京市文化创意产业实现增 加值约　3471.7　亿元，你的预估理由　用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的 增长率　． 【分析】（1）画出 2011﹣2015 的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可． （2）设 2013 到 2015 的平均增长率为 x，列出方程求出 x，用近 3 年的平均增长 率估计 2016 年的增长率即可解决问题． 【解答】解：（1）2011﹣2015 年北京市文化创意产业实现增加值如图所示， （2）设 2013 到 2015 的平均增长率为 x， 则 2406.7（1+x）2=3072.3， 解得 x≈13%， 用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的增长率， ∴2016 年的增长率为 3072.3×（1+13%）≈3471.7 亿元． 故答案分别为 3471.7，用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的增长率． 【点评】本题考查折线图、样本估计总体的思想，解题的关键是用近 3 年的平均 增长率估计 2016 年的增长率，属于中考常考题型． 　 25．（5 分）如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交 于 点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路． 【分析】（1）欲证明 AC∥DE，只要证明 AC⊥OD，ED⊥OD 即可． （2）作 DM⊥OA 于 M，连接 CD，CO，AD，首先证明四边形 ACDE 是平行四边 形，根据 S 平行四边形 ACDE=AE•DM，只要求出 DM 即可． 【解答】（1）证明：∵ED 与⊙O 相切于 D， ∴OD⊥DE， ∵F 为弦 AC 中点， ∴OD⊥AC， ∴AC∥DE． （2）解：作 DM⊥OA 于 M，连接 CD，CO，AD． 首先证明四边形 ACDE 是平行四边形，根据 S 平行四边形 ACDE=AE•DM，只要求出 DM 即可．（方法二：证明△ADE 的面积等于四边形 ACDE 的面积的一半） ∵AC∥DE，AE=AO， ∴OF=DF， ∵AF⊥DO， ∴AD=AO， ∴AD=AO=OD， ∴△ADO 是等边三角形，同理△CDO 也是等边三角形， ∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a， ∴AO∥CD，又 AE=CD， ∴四边形 ACDE 是平行四边形，易知 DM= a， ∴平行四边形 ACDE 面积= a2． 【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 　 26．（5 分）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围 x＞0，下表是 y 与 x 的几 组对应值： x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对 该函数的图象与性质进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的 点，根据描出的点，画出该函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4 对应的函数值 y 约为　2　； ②该函数的一条性质：　该函数有最大值　． 【分析】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； （2）①在所画的函数图象上找出自变量为 4 所对应的函数值即可； ②利用函数图象有最高点求解． 【解答】解：（1）如图， （2）①x=4 对应的函数值 y 约为 2.0； ②该函数有最大值． 故答案为 2，该函数有最大值． 【点评】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个 变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确 定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 　 27．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与 x 轴的交点为 A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法即可解决问题． （2）①m=1 代入抛物线解析式，求出 A、B 两点坐标即可解决问题． ②根据题意判断出点 A 的位置，利用待定系数法确定 m 的范围． 【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）． （2）①∵m=1， ∴抛物线为 y=x2﹣2x， 令 y=0，得 x=0 或 2，不妨设 A（0，0），B（2，0）， ∴线段 AB 上整点的个数为 3 个． ②如图所示，抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边 界）恰有 6 个整点， ∴点 A 在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0））， 当抛物线经过（﹣1，0）时，m= ， 当抛物线经过点（﹣2，0）时，m= ， ∴m 的取值范围为 ＜m≤ ． 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知 识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 　 28．（7 分）在等边△ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧， 且 AP=AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ①依题意将图 2 补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA=PM，小 茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA=PM，只需证△APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP，要证明 PA=PM，只需证△ANP≌△ PCM； 想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK，PM=CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠ APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）如图 2 根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠ APB=∠AQC，由点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，得到 AQ=AM，∠OAC=∠MAC， 等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM 是等边三角形，根据等边三角形的性 质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ=20°， ∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°； （2）如图 2，∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴∠APB=∠AQC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP=∠CAQ，（将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA=PM， 只需证 PA=CK，PM=CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM） ∵点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， ∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC， ∴∠MAC=∠BAP， ∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°， ∴∠PAM=60°， ∵AP=AQ， ∴AP=AM， ∴△APM 是等边三角形， ∴AP=PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外 角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 　 29．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为 （x2，y2），且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边 均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相 关矩形”示意图． （1）已知点 A 的坐标为（1，0）， ①若点 B 的坐标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为（m，3），若在⊙O 上存在一点 N，使得 点 M，N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围． 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必 为对角线，利用 A、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出 该矩形的面积； ②由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45，设直 线 AC 的解析式为；y=kx+b，由此可知 k=±1，再（1，0）代入 y=kx+b，即可求 出 b 的值； （2）由定义可知，MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即 直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°，由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 MN 与圆 O 一 定要有交点，由此可以求出 m 的范围． 【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1） 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， ∴点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2； ②由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又∵点 A，C 的“相关矩形”为正方形 ∴直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°， 设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=﹣x+n 把（1，0）分别 y=x+m， ∴m=﹣1， ∴直线 AC 的解析为：y=x﹣1， 把（1，0）代入 y=﹣x+n， ∴n=1， ∴y=﹣x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1； （2）设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， ∵点 M，N 的“相关矩形”为正方形， ∴由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°， ∴k=±1， ∵点 N 在⊙O 上， ∴当直线 MN 与⊙O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作⊙O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、C 为⊙O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA，OC， 把 M（m，3）代入 y=x+b， ∴b=3﹣m， ∴直线 MN 的解析式为：y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD= OA=2， ∴D（0，2） 同理可得：B（0，﹣2）， ∴令 x=0 代入 y=x+3﹣m， ∴y=3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5， 当 k=﹣1 时，把 M（m，3）代入 y=﹣x+b， ∴b=3+m， ∴直线 MN 的解析式为：y=﹣x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1≤m≤5 或 ﹣5≤m≤﹣1 【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质， 解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注 意将新旧知识贯穿起来．