2014龙岩3月份质检文数试卷(2)

2014龙岩3月份质检文数试卷(2)

福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文 科 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ，‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D. ‎ ‎2．复数（是虚数单位），则的值是 A． B．‎1 ‎C． D． ‎ ‎3．已知为第二象限角，，则的值为 A． B． C． D．‎ 开 始 输出 结 束 是 否 ‎（第4题图）‎ ‎4．如右图是一个算法的程序框图，则输出的结果为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5．高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽 样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31‎ 号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的 座号是 ‎ A．15 B．‎16 ‎C． 17 D． 18‎ ‎6．若函数，则函数的零点个数是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知变量、满足约束条件，则的最小值为 A．0 B． C． D． ‎ ‎8．在△中，“”是“△为钝角三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．若双曲线的渐近线方程式，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎10．向量，，则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎11．函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎12．已知，在区间上任取三个数，均存在以 为边长的三角形，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎13．圆的圆心到抛物线的准线的距离为 ．‎ ‎14．已知圆台的母线长为，俯视图是半径分别为和的同心圆，则其侧视图的面积为 ．‎ ‎15．在区间上随机取两个数和，则关于的方程有实根的概率为 ．‎ ‎16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过的最大整数，如，，已知，令，且，则 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在偶函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（第18题图）‎ 如图，在直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点，在棱上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况，对某班名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计，得到如下的频率分布表与直方图：‎ 组别 锻炼次数 频数（人）‎ 频率 ‎1‎ ‎2‎ ‎0．04‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎0．22‎ ‎3‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎15‎ ‎0．30‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎0．04‎ 合计 ‎1．00‎ ‎（Ⅰ）求频率分布表中、及频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）求参加锻炼次数的众数（直接写出答案，不要求计算过程）；‎ ‎（Ⅲ）从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人，求至少一人参加锻炼的次数在区间内的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求的值及图象的对称中心；‎ ‎（Ⅱ）在中，若，且，求面积的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的离心率为，过点任作一条弦交椭圆于、两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为直线上任意一点，分别为直线的斜率．是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（第21题图）‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）设，在函数的图象上取两定点，，设直线的斜率为，证明：存在，使成立．‎ 福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文科数学答案 一、选择题：1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD ‎ 二、填空题： 13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 考查意图：本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法，考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等．‎ 解：（Ⅰ）∵函数是偶函数，∴………………………………………2分 ‎∴‎ ‎∵点在函数的图象上，∴……………………………………3分 当时，………………………………………4分 当时，也符合上式 ………………………………………………………5分 所以 ……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）‎ 所以………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 考查意图：本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱中，平面 ‎∴，即……………………………………………………………2分 又∵，，∴平面…………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎∵，，∴‎ ‎∵、分别是棱、的中点，，‎ ‎∴，………………………………………………8分 又∵平面，∴‎ ‎∴三棱锥的体积为……………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 考查意图：本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识，考查运算求解能力、推理能力，考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法．满分12分．‎ 解：（I） ……………………………………………………………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又∵ ……………………………………………………………3分 ‎ ∴ ……………………………………………………………4分 ‎ （II）众数为12 ……………………………………………………………6分 ‎ （III）参加次数不少于18次的学生共有：人 ‎ 设在内的4人为：A、B、C、D，在内的2人为、，在这6人中 任取2人共有：AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种， 8分 其中至少一人参加锻炼的次数在区间内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种． ……………………………………………………………10分 ‎ ‎ 答：所求的概率为 ……………………………………………………………12分 ‎20． （本小题满分12分）‎ 考查意图：本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，的周期为， ………………………………………………1分 则 ………………………………………………………………………………2分 ‎∴‎ 令，得 ……………………………………………………4分 ‎∴的对称中心为 ………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）（法一）在中，由，得 ‎ ……………………………………6分 由正弦定理得 ‎，………………7分 ‎∴的面积为 ……………………………………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……11分 ‎ ∵，∴，∴当时，‎ ‎ ∴的面积的最大值为．…………………………………………12分 ‎（法二）在中，由，得 ‎ ……………………………………6分 由余弦定理得，……………………………………7分 ‎∴……………………………………………………………………8分 ‎∵（当且仅当时，等号成立）‎ ‎∴，∴…………………………………………………………10分 ‎∴ ……………………………11分 ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴的面积的最大值为．……………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 命题意图：本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．满分12分.‎ 解：（Ⅰ）依题意，，∴‎ ‎∴椭圆方程为．…………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）（法一）∵点在直线上，∴可设点 ‎①当直线垂直于轴时，可求 ‎∴，‎ ‎∴，此时…………………………………………………………6分 ‎②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得 设，，则，…………………………7分 ‎∴‎ ‎………10分 ‎∴，∴………………………………………………………………11分 综上知，存在实数，使恒成立。………………………………12分 ‎（法二）设过点的直线方程为，…………………………………………5分 ‎ 代入椭圆方程，整理得……………………6分 设，，则，……………………7分 设点，‎ 则 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………………10分 ‎ 又∵，……………………………………………………………………11分 ‎ ∴存在，使恒成立．……………………………………………12分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 考查意图：本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）当时， ，………………………………………………1分 ‎ ∵点在函数图象上 ‎ ∴在点的切线斜率为 ……………………………………………………2分 ‎ ∴所求切线方程为. ……………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎ ∴ ……………………4分 ‎ 令 当时，由，则，解得 ……………………5分 ‎ ① 当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；‎ ‎……………………6分 ‎②当时， ‎ 时，，此时，函数单调递减；‎ 时，，此时，函数单调递增；‎ 时，，此时，函数单调递减； ……………………7分 ‎③当时，由于 时，，此时，函数单调递增；‎ 时，，此时，函数单调递减； ‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递减；‎ 当时，函数在单调递减，在单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减． ……………………9分 ‎（Ⅲ）由已知得， ………………10分 令，‎ 则 ‎ ………………………………12分 令，则 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增 故当时，，即 ……………………………………13分 从而，，所以，‎ 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，使，所以成立． ………………………………………………………14分