【数学】2020届一轮复习人教B版直线的倾斜角与斜率直线的方程作业
41 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a，b满足
( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
【解析】选D.因为sin α+cos α=0，
所以tan α=-1.
又因为α为倾斜角，所以斜率k=-1.
而直线ax+by+c=0的斜率k=-，
所以-=-1，即a-b=0.
2.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ( )
A.[- ，1]
B.(-∞，- ]∪[1，+∞)
C.-，1
D.-∞，-∪[1，+∞)
【解析】选B.因为kAP==1，
kBP==-，所以k的取值范围是(-∞，-]∪[1，+∞).
3.(2018·榆林模拟)过点A(-1，-3)，斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为 ( )
A.3x+4y+15=0 B.4x+3y+6=0
C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0
【解析】选A.设所求直线的斜率为k，依题意k=-，又直线经过点A(-1，-3)，因此所求直线方程为y+3=-(x+1)，即3x+4y+15=0.
4.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)，则其斜率的取值范围是 ( )
A.-1
1或k<
C.k>1或k< D.k>或k<-1
【解析】选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y-2=k(x-1)，
令y=0，得直线l在x轴上的截距为1-，
则-3<1-<3，解得k>或k<-1.
5.一次函数y=-x+的图象同时经过第一、第二、第四象限的必要不充分条件是( )
A.m>1,且n>1 B.mn>0
C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0
答案B
解析因为y=-x+经过第一、二、四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.
6.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
答案A
解析易知A(-1,0).
∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0).
∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.
∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
答案16
解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.
8.一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是 .
答案x-y-3=0
解析因为直线y=x的倾斜角为30°,
所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan60°=.
又该直线过点A(2,-),
故所求直线为y-(-)=(x-2),
即x-y-3=0.
9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.
(1)直线l经过定点P(2,-1);
(2)直线l在y轴上的截距为6;
(3)直线l与y轴平行;
(4)直线l与y轴垂直.
解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,
把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.
(2)令x=0,得y=,
根据题意可知=6,
解得m=-或m=0.
(3)直线与y轴平行,
则有解得m=.
(4)直线与y轴垂直,
则有解得m=3.
10.
已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.
解∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,
∴可设点B的坐标为(a,8-2a).
∵点P(0,1)是线段AB的中点,
∴点A的坐标为(-a,2a-6).
又点A在直线l1:x-3y+10=0上,
∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,
得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.
∴点B的坐标是(4,0).
因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,即x+4y-4=0.
11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案C
解析∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),
∴a+b=ab,即=1,
∴直线在x轴、y轴上的截距之和
a+b=(a+b)=2+
≥2+2=4,
当且仅当a=b=2时等号成立.
∴该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
12.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为 .
答案2x+3y-12=0
解析方法1:易知直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
则A,B(0,2-3k),
所以S△AOB=(2-3k)
=
=×(12+2×6)=12,
当且仅当-9k=,即k=-时等号成立.
所以当k=-时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.
方法2:设直线l的方程为=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得=1≥2,即ab≥24,当且仅当,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=ab,
所以当a=6,b=4时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为=1,
即2x+3y-12=0.
13.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.
解设直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A,B(0,1-k),
所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2
=2+k2+≥2+2=4,
当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.
三、高考预测
14.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.
解(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,
则a=1-,b=4-k.
故a+b=5+≥5+4=9,
当且仅当k=-2时等号成立.
此时直线l的方程为y=-2x+6.
(方法二)设l:=1(a>0,b>0).
由于l经过点A(1,4),故=1,
则a+b=(a+b)·=5+≥9,
当且仅当,即b=2a时等号成立,
此时a=3,b=6.
故所求直线l的方程为=1,
即y=-2x+6.
