【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第2讲 空间图形的基本关系与公理作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第2讲 空间图形的基本关系与公理作业

第2讲 空间图形的基本关系与公理 ‎[基础题组练]‎ ‎1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(  )‎ A.与a,b都相交 B.只能与a,b中的一条相交 C.至少与a,b中的一条相交 D.与a,b都平行 解析:选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾.‎ ‎2.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,aα,aβ,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(  )‎ A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 解析:选D.依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.故选D.‎ ‎3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是(  )‎ A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:选B.如图所示,易证四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为E,F分别为AB,BC的中点,‎ 所以EF∥AC.‎ 又FG∥BD,‎ 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.‎ 而AC与BD所成的角为90°,‎ 所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.‎ ‎4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又aα,bβ,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ ‎5.(2020·内蒙古集宁一中四模)如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD 的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选A.取CB的中点G,连接EG,FG.则EG∥AB,FG∥CD.所以EF与CD所成的角为∠EFG(或其补角),因为EF⊥AB,所以EF⊥EG.‎ EG=AB=1,FG=CD=2,‎ 所以在Rt△EFG中,sin∠EFG=,所以EF与CD所成的角为30°.故选A.‎ ‎6.已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是 .‎ 解析:如图,由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′,‎ 所以MN∥A′C′.‎ 答案:平行 ‎7.给出下列四个命题:‎ ‎①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;‎ ‎②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;‎ ‎③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;‎ ‎④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.‎ 其中真命题的序号是 .‎ 解析:①正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,‎ 所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.④错误,这三条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.‎ 答案:①②③‎ ‎8.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为 .‎ 解析:如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,连接AG,GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,‎ 在△AGP中,AG=GP=AP,‎ 所以∠APG=.‎ 答案: ‎9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1,H,O三点共线.‎ 证明:如图,连接BD,B1D1,‎ 则BD∩AC=O,‎ 因为BB1DD1,‎ 所以四边形BB1D1D为平行四边形,‎ 又H∈B1D,‎ B1D平面BB1D1D,‎ 则H∈平面BB1D1D,‎ 因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,‎ 所以H∈OD1.即D1,H,O三点共线.‎ ‎10.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积;‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.‎ 解:(1)S△ABC=×2×2=2,‎ 三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.‎ ‎(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.‎ 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(  )‎ A.直线AC    B.直线AB C.直线CD     D.直线BC 解析:选C.由题意知,D∈l,lβ,所以D∈β,‎ 又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上.‎ 又因为C∈平面ABC,C∈β,‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上,‎ 所以平面ABC∩平面β=CD.‎ ‎2.如图,已知线段AB垂直于定圆所在的平面,B,C是圆上的两点,H是点B在AC上的射影,当点C运动时,点H运动的轨迹(  )‎ A.是圆 B.是椭圆 C.是抛物线 D.不是平面图形 解析:选A.如图,过点B作圆的直径BD,连接CD,AD,则BC⊥CD,再过点B作BE⊥AD于点E,连接HE,因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又BC⊥CD,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥BH.‎ 又BH⊥AC,且AC∩CD=C,所以BH⊥平面ACD,所以BH⊥AD,BH⊥HE.‎ 又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内,于是结合点B,E位置,可知,当点C运动时,点H运动的轨迹是以BE为直径的圆.故选A.‎ ‎3.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.‎ ‎(1)求证:直线EF与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.‎ 解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.‎ ‎(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.‎ 又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,‎ 求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎4.(综合型)如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.‎ ‎(1)证明:E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?‎ ‎(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:EG=FH.‎ 解:(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.‎ 又CF∶FB=CG∶GD,‎ 所以FG∥BD.所以EH∥FG.‎ 所以E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为==,所以EH=BD.‎ 同理可得FG=BD,由EH=FG,得m=n.‎ 故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.‎ ‎(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,‎ 所以EF∥AC,‎ 又EH∥BD,‎ 所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),‎ 因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°,‎ 从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.‎
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