上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期 高二数学期中试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）‎ ‎1.若，，，，则直线与平面有_____个公共点；‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件判断出直线与平面相交，由此确定直线与平面的公共点个数.‎ ‎【详解】由于，，所以直线与平面有公共点，而，，所以直线与平面相交，故直线与平面的公共点个数为个.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.‎ ‎2.给出下列命题：‎ ‎①任意三点确定一个平面；‎ ‎②三条平行直线最多可以确定三个个平面；‎ ‎③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；‎ ‎④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；‎ 其中说法正确有_____（填序号）.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；‎ 对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；‎ 对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；‎ 对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.‎ 综上所述，正确的有②③.‎ 故答案为：②③.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.‎ - 26 -‎ ‎3.若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有______条.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，当时，有1条直线，当时，有2条直线满足，得到答案.‎ ‎【详解】将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，‎ 当时，有1条直线满足所成的角为.‎ 当时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为.‎ 故共有3条直线满足条件.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎4.平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，平方得到，计算得到答案.‎ - 26 -‎ ‎【详解】，‎ 故 ‎，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎5.如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，且，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，则PF∥AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值.‎ ‎【详解】解：因为三棱锥A−BCD中，底面是边长为2的正三角形，AB＝AC＝AD＝4， 所以三棱锥A−BCD为正三棱锥；‎ 连结DE，取DE中点P，连结PF、PC，‎ ‎ ‎ - 26 -‎ ‎∵正三棱锥A−BCD的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2， 点E、F分别是棱BC、AD的中点， ∴PF∥AE， ∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值， ， ， ， ， . ∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.‎ ‎6.在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.‎ ‎【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，‎ - 26 -‎ 则平面即为平面．证明如下：‎ 由正方体的性质可知，，则，四点共面，‎ 记的中点为，连接，易证．连接，则，‎ 所以平面，则．‎ 同理可证，，，则平面，‎ 所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．‎ 因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，‎ 其对角线，，所以其面积．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎7.如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：，‎ 计算，，得到答案.‎ ‎【详解】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：，‎ 在中，，，，当时，根据等面积法，‎ 故，‎ 易知，故为异面直线与所成角，‎ ‎，故.‎ 故答案为：.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎8.如图所示的几何体中，是平行四边形且，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是__________．‎ ‎【答案】39‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C64﹣2）＝39．‎ ‎【详解】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，‎ 所以异面直线的对数是3（C64﹣2）＝39．‎ 故答案为39．‎ ‎【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．‎ ‎9.直线在平面上，直线平行于平面，并与直线异面，动点在平面上，且到直线、距离相等，则点的轨迹为______（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）‎ - 26 -‎ ‎【答案】双曲线 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：设直线在平面内的投影为，和的距离为，得到，‎ 以和的交点为原点，以和的角平分线为轴建立直角坐标系，化简得到，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：设直线在平面内的投影为，和的距离为，‎ 作于，于，于，故，‎ 即，‎ 以和的交点为原点，以和的角平分线为轴建立直角坐标系，‎ 设，，，，故，‎ 化简得到：，故为双曲线.‎ 故答案为：双曲线.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎10.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的范围是_______.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系,根据在内可设出点坐标，作,连接,可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围.‎ ‎【详解】根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：‎ 作交于M,连接，则 作交于N，则即为点P到平面距离.‎ 设,则 ‎ ‎∵点到平面距离等于线段的长 ‎∴‎ - 26 -‎ 由两点间距离公式可得，化简得,则解不等式可得 综上可得 则在中 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.‎ ‎11.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：，分别为和的中心，易知球心为中点，，，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：，分别为和的中心，易知球心为中点，‎ 在中：，，故，‎ 故，‎ 故该球的表面积的最小值为.‎ - 26 -‎ 当，时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎12.已知异面直线，所成角为，直线与，均垂直，且垂足分别是点，,若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 线段的中垂面为，易知，在平面的投影为，在平面的投影为，设相交于点，为中点，以为原点，为轴建立直角坐标系，得到，讨论得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：线段的中垂面为，易知，‎ 在平面的投影为，在平面的投影为，设相交于点.‎ 在平面的投影为，在平面内的投影为，连接，‎ 则为中点，以为原点，为轴建立直角坐标系，‎ - 26 -‎ 设，，，则，解得，‎ 故，‎ 当，时，；当，时，；‎ 当，时，；当，时，.‎ 如图所示，解得，，，，‎ 故面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角，轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）‎ ‎13.下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形有（ ）个 - 26 -‎ ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图，连接，易知，，,故平面平面，平面，故平面，（1）正确；‎ ‎（2）如图，连接，易知，由线面平行的判定定理可得平面，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（2）错误；‎ - 26 -‎ ‎（3）如图，易知，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（3）错误；‎ ‎（4）如图，连接，易知，，故，故由线面平行的判定定理可得平面，故（4）正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.‎ ‎14.如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与所成角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可证得，故，，当沿着直线旋转一周，，且，结合线线角的取值范围即得解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】如下图所示，‎ 连接，因为正方形和，则，，又因为面面，面面，‎ 则面，‎ 因此.‎ 因此，，，‎ 则，‎ 因此 因为，‎ 则当沿着直线旋转一周，‎ ‎，‎ 当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 当为钝角时，直线和所成的角等于的补角 因此直线和所成的角的取值范围是 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎15.如图，N，S是球O直径的两个端点，圆是经过N和S点的大圆，圆和圆分别是所在平面与垂直的大圆和小圆，圆，交于点A，B，圆，交于点C，D．设a，b，‎ - 26 -‎ c分别表示圆上劣弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，则a，b，c的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为，求出，可得再根据球面距离的定义可得，得出结论.‎ ‎【详解】设球的半径为，‎ 则，则 是圆上劣弧的弧长，‎ 而圆是大圆，是在球面上距离，是圆上半圆弧的弧长， ‎ 由球面距离的定义可知，所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.‎ ‎16.三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（ ）‎ A. 一条 B. 两条 C. 无数条 D. 没有 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：正方体中，，，两两异面，取上一点 - 26 -‎ ‎，则确定平面，使平面与交于，则与必相交，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：正方体中，，，两两异面，‎ 取上一点，则确定平面，使平面与交于，‎ 则与必相交，有无穷多个点满足条件，故有无穷多条直线.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ 三、解答题（本大题共5题，满分76分，12’+14’+16’+16’+18’=76’）‎ ‎17.现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是，高是；2号容器的底面边长是，高是；3号容器的底面边长是，高是；4号容器的底面边长是，高是.假设，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.‎ ‎【答案】存在，选择3号和4号容器.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出四个容器的体积，可求得，从而得到必胜方案，即选择号和号容器.‎ ‎【详解】号容器体积为：；号容器体积为：；‎ 号容器体积为：；号容器体积为：‎ - 26 -‎ 存在必胜方案，即选择号和号容器 ‎【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.‎ ‎18.如图，在长方体中，，，分别为与中点.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）经过，作平面，平面与长方体六个表面所截的截面可能是边形，请根据的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；‎ ‎（2）若为直线上的一点，且，求过截面图形的周长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画出截面图得到答案.‎ ‎（2）画出截面图，计算线段长度得到周长.‎ ‎【详解】（1）‎ - 26 -‎ ‎ ‎ ‎（2）如图所示：分别为的中点，易知，确定平面，‎ 易知，，，，，，故，.‎ ‎，，故周长为.‎ ‎【点睛】本题考查了长方体的截面问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19.如图，圆锥的顶点是，底面中心为，是与底面直径垂直的一条半径，是母线的中点.‎ - 26 -‎ ‎（1）求证：与不可能垂直；‎ ‎（2）设圆锥的高为4，异面直线与所成角的余弦值为，求圆锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）假设，得到，不成立，得到证明.‎ ‎（2）如图所示：延长与圆交于点，连接，在底面的投影为中点，‎ 易知，故为异面直线与所成角，根据余弦定理解得，计算得到体积.‎ ‎【详解】（1）假设，易知平面，平面，故，‎ 故平面，平面，故，不成立，故假设不成立.‎ 与不可能垂直.‎ ‎（2）如图所示：延长与圆交于点，连接，在底面的投影为中点，‎ 易知，故为异面直线与所成角，设底面半径为，‎ 在中：，，.‎ 根据余弦定理：，计算得到.‎ 故体积.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直底面，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得 - 26 -‎ ‎（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得，即得平面.同理，得平面，最后根据线面平行证得面面平行平面平面，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由底面，所以底面，所以 试题解析：（1）证明：在平行四边形中，因为，，‎ 所以.‎ 由分别为的中点，得，‎ 所以.‎ 因为侧面底面，且，‎ 所以底面.‎ 又因为底面，所以.‎ 又因为，平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）证明：因为为的中点，分别为的中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 同理，得平面，又因为，‎ 平面，‎ 平面，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面.‎ ‎（3）在中，过作交于点，‎ 由，得，‎ 又因为，所以，‎ 因为底面，所以底面，‎ 所以四棱锥的体积 - 26 -‎ ‎.‎ 考点：线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21.已知梯形中，，，是中点.，、分别是、上的动点，且，设（），沿将梯形翻折，使平面平面，如图.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；‎ ‎（3）当取得最大值时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）如图所示：于，连接，证明，得到平面，得到证明.‎ ‎（2）计算得到，根据二次函数性质得到答案.‎ ‎（3）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算向量夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：于，连接，‎ 平面平面，，故平面，平面，‎ 故，易知为正方形，故，，‎ 故平面，平面，故.‎ ‎（2），‎ 故.‎ ‎（3）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设平面一个法向量为，则，即，‎ 取，得到，故，‎ 观察知二面角的平面角为钝角，故余弦值为.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，体积的最值，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ - 26 -‎ - 26 -‎