【数学】2020届一轮复习人教A版 概率课时作业
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若随机变量 ξ 的分布列如下表所示,则 p1=( )
ξ -1 2 4
P
1
5
2
3 p1
A.0 B. 2
15 C. 1
15 D.1
解析:由分布列性质
푛
∑
푖 = 1
pi=1,n=1,2,3,…,n,得1
5 + 2
3+p1=1.所以 p1= 2
15.
答案:B
2.已知事件 A,B 发生的概率都大于零,则( )
A.如果 A,B 是互斥事件,那么 A 与퐵也是互斥事件
B.如果 A,B 不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件
C.如果 A,B 是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件
D.如果 A∪B 是必然事件,那么它们一定是对立事件
解析:对 A,若 A,B 互斥,则 A 与퐵不互斥;对 B,若 A,B 不相互独立,则它们可能互斥,也可能不互斥;对 C,
是正确的.对 D,当 A∪B 是必然事件,A∩B 是不可能事件时,A,B 才是对立事件.
答案:C
3.(2016·山东青岛教学质量调研)某校高考的数学成绩近似服从正态分布 N(100,100),则该校成绩位于
(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )
A.22.8% B.45.6%
C.95.4% D.97.22%
解析:设该校高考数学成绩为 X,由 X~N(100,100)知,正态分布的两个参数为 μ=100,σ=10,
所以 P(80
Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1Dξ2.
答案:A
12.(2016·甘肃天水一中高二段考)一袋中有大小、形状、质地相同的 4 个红球和 2 个白球,给出下列
结论:
①从中任取 3 球,恰有一个白球的概率是3
5;
②从中有放回的取球 6 次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为4
3;
③现从中不放回的取球 2 次,每次任取 1 球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为2
5;
④从中有放回的取球 3 次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为26
27.
其中所有正确的结论是( )
A.①②④ B.①③④
C.②③④ D.①②③④
解析:①恰有一个白球的概率 P=
C1
2C2
4
C3
6
= 3
5,故①正确;
②每次任取一球,取到红球次数 X~B(6,2
3),其方差为 6×2
3 × (1 - 2
3) = 4
3,故②正确;
③设 A={第一次取到红球},B={第二次取到红球},则 P(A)=2
3,P(AB)=4 × 3
6 × 5 = 2
5,
所以 P(B|A)=푃(퐴퐵)
푃(퐴) = 3
5,故③错;
④每次取到红球的概率 P=2
3,所以至少有一次取到红球的概率为 1-(1 - 2
3)3
= 26
27,故④正确.
答案:A
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.(2016·湖北省孝感高中高二上学期期中考试)已知离散型随机变量 X 的分布列为:
X 0 1 2
P 0.5 1-2q q2
则常数 q= .
解析:由离散型随机变量的分布列意义得{0.5 + 1 - 2푞 + 푞2 = 1,
0 < 1 - 2푞 < 1,
0 < 푞2 < 1,
得 q=1-
2
2 .
答案:1-
2
2
14.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前 10 项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽
取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为
(用数字作答).
解析:由 a4=2,a7=-4 可得等差数列{an}的通项公式为 an=10-2n(n=1,2,…,10).由题意,三次取数相当于
三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为2
5,取得负数的概率为1
2,在三次取数中,取出的数恰
好为两个正数和一个负数的概率为C23(2
5)2(1
2)1
= 6
25.
答案: 6
25
15.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知 ξ 的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为 .
解析:依题意得{푥 + 0.1 + 0.3 + 푦 = 1,
7푥 + 0.8 + 2.7 + 10푦 = 8.9,
即{푥 + 푦 = 0.6,
7푥 + 10푦 = 5.4,解得{푥 = 0.2,
푦 = 0.4.
答案:0.4
16.甲、乙两人进行一场比赛,已知甲在一局中获胜的概率为 0.6,无平局,比赛有 3 种方案:
①比赛 3 局,先胜 2 局者为胜者;
②比赛 5 局,先胜 3 局者为胜者;
③比赛 7 局,先胜 4 局者为胜者.
则方案 对乙最有利.
解析:设三种方案中乙获胜的概率分别为 P1,P2,P3,每种方案都可以看成独立重复试验,则
P1=C22×0.42+C12×0.6×0.42=0.352,
P2=C33×0.43+C23×0.6×0.43+C24×0.62×0.43≈0.317,
P3=C44×0.44+C34×0.44×0.6+C35×0.44×0.62+C36×0.44×0.63≈0.290.
由于 P1>P2>P3,所以方案①对乙最有利.
答案:①
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本小题满分 10 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片
上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片.
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与均值.
(注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数.)
解(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P=
C3
4 + C3
3
C3
9
= 5
84.
(2)X 的所有可能值为 1,2,3,且
P(X=1)=
C2
4C1
5 + C3
4
C3
9
= 17
42,
P(X=2)=
C1
3C1
4C1
2 + C2
3C1
6 + C3
3
C3
9
= 43
84,
P(X=3)=
C2
2C1
7
C3
9
= 1
12,
故 X 的分布列为
X 1 2 3
P
17
42
43
84
1
12
从而 EX=1×17
42+2×43
84+3× 1
12 = 47
28.
18.(本小题满分 12 分)某高校设计了某实验学科的考核方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3
题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题才可提交通过.已知 6 道备选题
中,考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是2
3,且每题正确
完成与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 道题的概率分析比较两位考生的实验
操作能力.
解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ξ,η,则 ξ 的所有可能取值为 1,2,3,η 的所有可能取
值为 0,1,2,3.
∵P(ξ=1)=
C1
4C2
2
C3
6
= 1
5,P(ξ=2)=
C2
4C1
2
C3
6
= 3
5,
P(ξ=3)=
C3
4C0
2
C3
6
= 1
5,
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
ξ 1 2 3
P
1
5
3
5
1
5
Eξ=1×1
5+2×3
5+3×1
5=2.
∵P(η=0)=C03(1 - 2
3)3
= 1
27,
P(η=1)=C13 × 2
3 × (1 - 2
3)2
= 6
27 = 2
9,
P(η=2)=C23(2
3)2
× (1 - 2
3) = 12
27 = 4
9,
P(η=3)=C33(2
3)3
= 8
27,
∴考生乙正确完成题数的分布列为
η 0 1 2 3
P
1
27
2
9
4
9
8
27
Eη=0× 1
27+1×2
9+2×4
9+3× 8
27=2.
(2)∵P(ξ≥2)=3
5 + 1
5=0.8,
P(η≥2)=4
9 + 8
27≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).
从做对题数的数学期望考核,两人水平相当;从至少正确完成 2 道题的概率考核,甲获得通过的可
能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.
19.(本小题满分 12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加学校的义务劳动.
(1)设所选 3 人中女生人数为 X,求 X 的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B)和 P(A|B).
解(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得
P(X=0)=
C3
4
C3
6
= 1
5,P(X=1)=
C2
4C1
2
C3
6
= 3
5,
P(X=2)=
C1
4C2
2
C3
6
= 1
5.∴X 的分布列为
X 0 1 2
P
1
5
3
5
1
5
(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件 C,
则 P(C)=
C3
4
C3
6
= 4
20 = 1
5,
∴所求概率为 P(퐶)=1-P(C)=1-1
5 = 4
5.
(3)由题意得 P(B)=
C2
5
C3
6
= 10
20 = 1
2,又∵P(AB)=
C1
4
C3
6
= 1
5,∴P(A|B)=푃(퐴퐵)
푃(퐵) = 2
5.
20.导学号 43944048(本小题满分 12 分)某球类总决赛采取 7 局 4 胜制,预计本次比赛两队的实力相当
(各队在一场比赛中获胜的可能性均为1
2),每场比赛组织者可获利 200 万元.
(1)求组织者在本次比赛中获利不低于 1 200 万元的概率;
(2)组织者在本次比赛中获利的期望为多少万元?
解设本次比赛组织者获利为 X 万元,
当 X=800 时,这两队只进行四场比赛,两队有一队全胜,P(X=800)=2×(1
2)4
=0.125;
当 X=1 000 时,这两队进行五场比赛,两队中有一队前四场比赛是胜三场,败一场,第五场胜,
P(X=1 000)=2C14 × (1
2)4
× 1
2=0.25;
当 X=1 200 时,这两队进行六场比赛,
P(X=1 200)=2C25 × (1
2)5
× 1
2=0.312 5;
当 X=1 400 时,这两队比赛满七场,
P(X=1 400)=2C36 × (1
2)6
× 1
2=0.312 5.
所以 X 的分布列为
X 800 1 000 1 200 1 400
P 0.125 0.25 0.312 5 0.312 5
(1)组织者在本次比赛中获利不低于 1 200 万元的概率是 0.312 5×2=0.625.
(2)EX=800×0.125+1 000×0.25+1 200×0.312 5+1 400×0.312 5=1 162.5.
故组织者在本次比赛中获利的期望为 1 162.5 万元.
21.导学号 43944049(本小题满分 12 分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的
频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概
率;
(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,均值 EX 及方差
DX.
解(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来
连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”,因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=C03×(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=C13×0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=C23×0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=C33×0.63=0.216.
分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为 X~B(3,0.6),所以 EX=3×0.6=1.8,方差 DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
22.导学号 43944050(本小题满分 12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品,生产 1 吨 A
产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1 000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小
时,获利 1 200 元,要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A,B 两种产品时间
之和不超过 12 小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随
机变量.
(1)求 Z 的分布列和均值;
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率.
解(1)设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z,则有{2푥 + 1.5푦 ≤ 푊,
푥 + 1.5푦 ≤ 12,
2푥 - 푦 ≥ 0,
푥 ≥ 0,푦 ≥ 0.
①
目标函数为 z=1 000x+1 200y.
当 W=12 时,①表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).
将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-5
6x+ 푧
1 200,
当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l:y=-5
6x+ 푧
1 200在 y 轴上的截距最大,最大获利 Z=zmax=2.4×1 000+4.8×1
200=8 160.
当 W=15 时,①表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).
图 1
图 2
将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-5
6x+ 푧
1 200,
当 x=3,y=6 时,直线 l:y=-5
6x+ 푧
1 200在 y 轴上的截距最大,
最大获利 Z=zmax=3×1 000+6×1 200=10 200.
当 W=18 时,①表示的平面区域如图 3.
图 3
四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).
将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-5
6x+ 푧
1 200,
当 x=6,y=4 时,直线 l:y=-5
6x+ 푧
1 200在 y 轴上的截距最大,
最大获利 Z=zmax=6×1 000+4×1 200=10 800.
故最大获利 Z 的分布列为
Z 8 160 10 200 10 800
P 0.3 0.5 0.2
因此,EZ=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708.
(2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000 元的概率 p1=P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,得 3
天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.
