【物理】2019届一轮复习人教版第五章第2讲动能定理学案
第2讲 动能定理
一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能．
2．公式：Ek＝mv2.
3．单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
4．动能是标量，没有负值．
5．动能是状态量，因为v为瞬时速度．
自测1 (多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总为非负值
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
答案 ABC
二、动能定理
1．内容
所有外力对物体做的总功(也叫合外力的功)等于物体动能的变化量．
2．表达式：W总＝Ek2－Ek1.
3．对定理的理解
当W总>0时，Ek2>Ek1，物体的动能增大．
当W总<0时，Ek2
0时动能增加，当W<0时，动能减少
D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
答案 BC
命题点一 对动能定理的理解
1．动能定理表明了合外力做的功与物体动能的变化间的关系
(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功．
(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因．
(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳．
2．标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题．当然动能定理也就不存在分量的表达式．例如，物体以相同大小的初速度不管以什么方向抛出，在最终落到地面速度大小相同的情况下，所列的动能定理的表达式都是一样的．
例1 人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离s后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与人手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( )
A．mgs B．0
C．μmgs＋mv2 D.mv2
答案 D
变式1 (多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
答案 AB
命题点二 动能定理的应用
1．应用动能定理的流程
简记为：“确定状态找动能，分析过程找力功，正功负功加一起，动能增量与它同”．
2．应用动能定理的注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系．
(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理，这样更简便．
(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验．
例2 如图2所示，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R＝0.4 m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图2
(1)滑块在C点的速度大小vC；
(2)滑块在B点的速度大小vB；
(3)A、B两点间的高度差h.
答案 (1)2 m/s (2)4.29 m/s (3)1.38 m
解析 (1)对C点，滑块竖直方向所受合力提供向心力
mg＝
vC＝＝2 m/s
(2)对B→C过程，由动能定理得
－mgR(1＋cos 37°)＝mvC2－mvB2
vB＝≈4.29 m/s
(3)滑块在A→B的过程，由动能定理得
mgh－mgμcos 37°·＝mv B2－0
代入数据解得h＝1.38 m
变式2 (多选)如图3所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
图3
A．a＝ B．a＝
C．N＝ D．N＝
答案 AC
解析 质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得mgR－W＝mv2，根据公式
a＝，联立可得a＝，A正确，B错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律可得，N－mg＝ma，代入可得，N＝，C正确，D错误．
命题点三 动能定理与图象的综合问题
1．解决物理图象问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．
2．图象所围“面积”的意义
(1)v－t图象：由公式x＝vt可知，v－t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移．
(2)a－t图象：由公式Δv＝at可知，a－t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．
(3)F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．
(4)P－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．
例3 如图4甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4 m．有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用．F只在水平面上按图乙所示的规律变化．滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
图4
(1)滑块运动到A处的速度大小；
(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
答案 (1)5 m/s (2)5 m
解析 (1)由题图乙知，在前2 m内，F1＝2mg做正功，在第3 m内，F2＝－0.5mg，做负功，在第4 m内，F3＝0.滑动摩擦力Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得
F1x1＋F2x2＋Ffx＝mvA2－0
代入数据，解得vA＝5 m/s.
(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得－mgLsin 30°＝0－mvA2
解得L＝5 m
所以滑块冲上斜面AB的长度为5 m.
变式3 (2017·江苏单科·3)一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处．物块初动能为Ek0，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能Ek与位移x关系的图线是( )
答案 C
解析 设斜面的倾角为θ，小物块沿斜面向上滑动过程，由动能定理得，Ek＝Ek0－(mgsin θ＋μmgcos θ)x；设小物块滑到最高点的距离为L，小物块沿斜面向下滑动过程，由动能定理得，Ek＝Ek0－mgxsin θ－μmgcos θ(2L－x)＝Ek0－2μmgLcos θ－(mgsin θ－μmgcos θ)x，故选项C正确．
命题点四 应用动能定理解决多过程问题
动能定理只涉及初、末状态的速率及过程中的位移，不涉及运动的加速度、时间等，而且与各过程运动性质无关，所以可以方便地将几个过程组合起来，列一个动能定理方程．
注意：(1)分清各过程中各力做功情况，求各力做功的代数和．
(2)根据题中条件与问题选择合适的过程，明确过程的初状态、末状态．
例4 (2017·苏州市期中)现代休闲观光业发展方兴未艾，如图5所示为一滑草场的侧面示意图．某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成．质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失和空气阻力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则：
图5
(1)求整个过程中载人滑草车克服摩擦力做的功以及滑草车与草地间的动摩擦因数μ；
(2)求载人滑草车运动过程中的最大速度；
(3)假如某次活动中载人滑草车从底端以一定的初速度冲上去，恰好在两段滑道交接处停住，求该初速度的大小．
答案 (1)2mgh (2) (3)
解析 (1)对整个过程，由动能定理得：2mgh－Wf＝0
载人滑草车克服摩擦力做功为：Wf＝2mgh.
Wf＝μmgcos 45°·＋μmgcos 37°·
解得：μ＝
(2)滑草车通过第一段滑道末端时速度最大，设为v，由动能定理得：mgh－μmgcos 45°·＝mv2
解得：v＝
(3)根据动能定理得：－mgh－μmgcos 37°·＝0－mv02
解得冲上滑道的初速度为：v0＝
1．(2018·泰州中学模拟)在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( )
A．mgh－mv2－mv02
B．mgh－mv2＋mv02
C．－mgh－mv2－mv02
D．mgh＋mv2－mv02
答案 B
2．(多选)如图6所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d，若木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是( )
图6
A．Ffl＝Mv2
B．Ffd＝Mv2
C．Ffd＝mv02－(M＋m)v2
D．Ff(l＋d)＝mv02－mv2
答案 ACD
解析 画出如图所示的运动过程示意图，从图中不难看出，当木块前进距离l，子弹进入木块的深度为d时，子弹相对于地面发生的位移为l＋d，由牛顿第三定律，子弹对木块的作用力大小也为Ff.
子弹对木块的作用力对木块做正功，由动能定理得：Ffl＝Mv2
木块对子弹的作用力对子弹做负功，由动能定理得：－Ff(l＋d)＝mv2－mv02
两式联立得：Ffd＝mv02－(M＋m)v2
所以，本题正确答案为A、C、D.
3．(多选)(2017·启东中学期中)如图7所示，轻质弹簧竖直放在地面上，物块P的质量为m，与弹簧连在一起保持静止．现用竖直向上的恒力F使P向上加速运动一小段距离L时，速度为v，下列说法中正确的是( )
图7
A．重力做的功是mgL
B．合外力做的功是
C．合外力做的功是FL－mgL
D．弹簧弹力做的功为mgL－FL＋
答案 BD
解析 物体上升L时，克服重力做功为mgL，重力做功为－mgL，故A错误；根据动能定理，合外力做功为：W合＝ΔEk＝mv2，故B正确，C错误；根据动能定理，有：－mgL＋FL＋
W弹＝mv2，解得：W弹＝mgL－FL＋mv2，故D正确．
4．某滑沙场，如图8所示，某旅游者乘滑沙橇从A点由静止开始滑下，最后停在水平沙面上的C点．设滑沙橇和沙面间的动摩擦因数处处相同(斜面和水平面连接处的能量损失和空气阻力忽略不计)，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙橇上不动，若测得AC间水平距离为x，A点高为h，求滑沙橇与沙面间的动摩擦因数μ.
图8
答案
解析 设斜面与水平面所成的夹角为θ，滑沙者和滑沙橇总质量为m，则滑沙者和滑沙橇从A点到最低点，重力做功WG＝mgh，摩擦力做功Wf＝－μmgcos θ·
滑沙者在水平面上运动时，只有滑动摩擦力做功
Wf′＝－μmg.
方法一：“隔离”过程，分段研究，设最低点物体的速度为v，
由A点到最低点根据动能定理得WG＋Wf＝mv2－0
在水平面上运动时，同理有Wf′＝0－mv2，解得μ＝.
方法二：从A到C全过程由动能定理得WG＋Wf＋Wf′＝0，解得μ＝.
1．(多选)质量不等，但有相同初动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则( )
A．质量大的物体滑行的距离大
B．质量小的物体滑行的距离大
C．它们滑行的距离一样大
D．它们克服摩擦力所做的功一样多
答案 BD
解析 根据动能定理－μmg·x＝0－Ek0，所以质量小的物体滑行的距离大，并且它们克服摩擦力所做的功在数值上都等于初动能的大小，B、D选项正确．
2．一个质量为25 kg的小孩从高度为3.0 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.g取10 m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )
A．合外力做功50 J B．阻力做功500 J
C．重力做功500 J D．支持力做功50 J
答案 A
3．一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍．该质点的加速度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 动能变为原来的9倍，则质点的速度变为原来的3倍，即v＝3v0，由s＝(v0＋v)t和a＝得a＝，故A项正确．
4．(2018·前黄中学检测)静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t＝4 s时停下，其v－t图象如图1所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是( )
图1
A．整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．整个过程中拉力做的功等于零
C．t＝2 s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大
D．t＝1 s到t＝3 s这段时间内拉力不做功
答案 A
5.(2017·东台市5月模拟)如图2所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做的功是( )
图2
A．mgh－mv2 B.mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋mv2)
答案 A
解析 小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与小球速度方向始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得WG＋W弹＝0－mv2，重力做功为WG＝－mgh，则弹簧的弹力对小球做的功为W弹＝mgh－mv2，所以正确选项为A.
6．(2018·仪征中学月考)如图3所示，小物块与水平轨道、倾斜轨道之间的动摩擦因数均相同，小物块从倾角为θ1的轨道上高度为h的A点由静止释放，运动至B点时速度为v1.现将倾斜轨道的倾角调为θ2，仍将物块从轨道上高度为h的A点静止释放，运动至B点时速度为v2.已知θ2<θ1，不计物块在轨道接触处的机械能损失．则( )
图3
A．v1v2
C．v1＝v2
D．由于不知道θ1、θ2的具体数值，v1、v2关系无法判定
答案 C
解析 设A点在水平轨道的竖直投影点为C，水平轨道与倾斜轨道的交点为D
，物体运动过程中摩擦力做负功，重力做正功，
由动能定理可得mv2＝mgh－μmgcos θ·－μmgxBD＝mgh－μmgh·－μmgxBD，
因为h·＝xCD，所以mv2＝mgh－μmgxBC，故物块到达B点的速度与倾斜轨道的倾角无关，所以v1＝v2，故C项正确．
7．(多选)质量为1 kg的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F的作用下运动，如图4甲所示，外力F对物体所做的功、物体克服摩擦力Ff做的功W与物体位移x的关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2.下列分析正确的是( )
图4
A．物体与地面之间的动摩擦因数为0.2
B．物体运动的位移为13 m
C．物体在前3 m运动过程中的加速度为3 m/s2
D．x＝9 m时，物体的速度为3 m/s
答案 ACD
解析 由物体克服摩擦力Ff做的功Wf＝Ffx结合题图乙可知，物体与地面之间的滑动摩擦力Ff＝2 N，由Ff＝μmg可得μ＝0.2，A正确；由WF＝Fx结合题图乙可知，前3 m内，拉力F1＝5 N，物体在前3 m内的加速度a1＝＝3 m/s2，C正确；由动能定理WF－Ffx＝mv2可得：x＝9 m时，物体的速度为v＝3 m/s，D正确；物体的最大位移xm＝＝13.5 m，B错误．
8．如图5所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物块，站在地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h.当人以速度v从平台的边缘处向右匀速运动位移x时，则( )
图5
A．在该过程中，物块的运动可能是匀速的
B．在该过程中，人对物块做的功为
C．在该过程中，人对物块做的功为mv2
D．人前进x时，物块的运动速率为
答案 B
解析 设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v物＝vcos θ，而cos θ＝，故v物＝＝，可见物块的速度随x的增大而增大，A、D均错误．人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W＝mv物2＝，B正确，C错误．
9．(多选)如图6所示，AC和BC是两个固定的斜面，斜面的顶端A、B在同一竖直线上，甲、乙两个小物块(可看成质点)在同一竖直线上，甲、乙两个小物块分别从斜面AC和BC顶端由静止开始下滑，质量分别是m1、m2(m1Ek2 B．v1>v2
C．W1
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