2018年广东省广州市中考数学试卷

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2018年广东省广州市中考数学试卷

‎2018年广东省广州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(3分)四个数0,1,,中,无理数的是(  )‎ A. B.1 C. D.0‎ ‎2.(3分)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有(  )‎ A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 ‎3.(3分)如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的,它的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.(a+b)2=a2+b2 B.a2+2a2=3a4 C.x2y÷=x2(y≠0) D.(﹣2x2)3=﹣8x6‎ ‎5.(3分)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是(  )‎ A.∠4,∠2 B.∠2,∠6 C.∠5,∠4 D.∠2,∠4‎ ‎6.(3分)甲袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2:乙袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出1个小球,取出的两个小球上都写有数字2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(3分)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是(  )‎ A.40° B.50° C.70° D.80°‎ ‎8.(3分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?”.意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.(3分)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,…,第n次移动到An.则△OA2A2018的面积是(  )‎ A.504m2 B.m2 C.m2 D.1009m2‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)‎ ‎11.(3分)已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而   (填“增大”或“减小”).‎ ‎12.(3分)如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=   .‎ ‎13.(3分)方程=的解是   .‎ ‎14.(3分)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是   .‎ ‎15.(3分)如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a+=   .‎ ‎16.(3分)如图,CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:‎ ‎①四边形ACBE是菱形;‎ ‎②∠ACD=∠BAE;‎ ‎③AF:BE=2:3;‎ ‎④S四边形AFOE:S△COD=2:3.‎ 其中正确的结论有   .(填写所有正确结论的序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(9分)解不等式组:.‎ ‎18.(9分)如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C.‎ ‎19.(10分)已知T=+.‎ ‎(1)化简T;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为a,且它的面积为9,求T的值.‎ ‎20.(10分)随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.‎ ‎(1)这组数据的中位数是   ,众数是   ;‎ ‎(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;‎ ‎(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.‎ ‎21.(12分)友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.‎ ‎(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元?‎ ‎(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.‎ ‎22.(12分)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.‎ ‎(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;‎ ‎(2)若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.‎ ‎①求k的值;‎ ‎②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.‎ ‎23.(12分)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.‎ ‎(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,‎ ‎①证明:AE⊥DE;‎ ‎②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.‎ ‎24.(14分)已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4(m>0).‎ ‎(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;‎ ‎(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在⊙P上.‎ ‎①试判断:不论m取任何正数,⊙P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,⊙P的半径记为r,求的值.‎ ‎25.(14分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.‎ ‎(1)求∠A+∠C的度数;‎ ‎(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.‎ ‎ ‎ ‎2018年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(3分)四个数0,1,,中,无理数的是(  )‎ A. B.1 C. D.0‎ ‎【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.‎ ‎【解答】解:0,1,是有理数,‎ 是无理数,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有(  )‎ A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 ‎【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.‎ ‎【解答】解:五角星的对称轴共有5条,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的,它的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从正面看第一层是三个小正方形,第二层右边一个小正方形,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.(a+b)2=a2+b2 B.a2+2a2=3a4 C.x2y÷=x2(y≠0) D.(﹣2x2)3=﹣8x6‎ ‎【分析】根据相关的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:(A)原式=a2+2ab+b2,故A错误;‎ ‎(B)原式=3a2,故B错误;‎ ‎(C)原式=x2y2,故C错误;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是(  )‎ A.∠4,∠2 B.∠2,∠6 C.∠5,∠4 D.∠2,∠4‎ ‎【分析】根据同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角进行分析即可.‎ 根据内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角进行分析即可.‎ ‎【解答】解:∠1的同位角是∠2,∠5的内错角是∠6,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)甲袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2:乙袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出1个小球,取出的两个小球上都写有数字2的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】直接根据题意画出树状图,再利用概率公式求出答案.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎,‎ 一共有4种可能,取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况,‎ 故取出的两个小球上都写有数字2的概率是:.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是(  )‎ A.40° B.50° C.70° D.80°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°,进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可.‎ ‎【解答】解:∵∠ABC=20°,‎ ‎∴∠AOC=40°,‎ ‎∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=40°,‎ ‎∴∠AOB=80°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?”.意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【分析】根据题意可得等量关系:①9枚黄金的重量=11枚白银的重量;②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)﹣(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两,根据等量关系列出方程组即可.‎ ‎【解答】解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:‎ ‎,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负,再根据a﹣b判断双曲线所在的象限.能统一的是正确的,矛盾的是错误的.‎ ‎【解答】解:图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限,‎ ‎∴a>0、b>0,‎ ‎∵y=0时,x=﹣,即直线y=ax+b与x轴的交点为(﹣,0)‎ 由图A、B的直线和x轴的交点知:﹣>﹣1,‎ 即b<a,‎ 所以b﹣a<0‎ ‎∴a﹣b>0,‎ 此时双曲线在第一、三象限.‎ 故选项B不成立,选项A正确.‎ 图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限,‎ ‎∴a<0,b>0,‎ 此时a﹣b<0,双曲线位于第二、四象限,‎ 故选项C、D均不成立;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,…,第n次移动到An.则△OA2A2018的面积是(  )‎ A.504m2 B.m2 C.m2 D.1009m2‎ ‎【分析】由OA4n=2n知OA2018=+1=1009,据此得出A2A2018=1009﹣1=1008,据此利用三角形的面积公式计算可得.‎ ‎【解答】解:由题意知OA4n=2n,‎ ‎∵2018÷4=504…2,‎ ‎∴OA2018=+1=1009,‎ ‎∴A2A2018=1009﹣1=1008,‎ 则△OA2A2018的面积是×1×1008=504m2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)‎ ‎11.(3分)已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而 增大 (填“增大”或“减小”).‎ ‎【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=x2,开口向上,对称轴为y轴,‎ ‎∴当x>0时,y随x的增大而增大.‎ 故答案为:增大.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=  .‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质解答即可.‎ ‎【解答】解:∵旗杆高AB=8m,旗杆影子长BC=16m,‎ ‎∴tanC=,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)方程=的解是 x=2 .‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:x+6=4x,‎ 解得:x=2,‎ 经检验x=2是分式方程的解,‎ 故答案为:x=2‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (﹣5,4) .‎ ‎【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.‎ ‎【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∴AD=5,‎ ‎∴由勾股定理知:OD===4,‎ ‎∴点C的坐标是:(﹣5,4).‎ 故答案为:(﹣5,4).‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a+= 2 .‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.‎ ‎【解答】解:由数轴可得:‎ ‎0<a<2,‎ 则a+‎ ‎=a+‎ ‎=a+(2﹣a)‎ ‎=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:‎ ‎①四边形ACBE是菱形;‎ ‎②∠ACD=∠BAE;‎ ‎③AF:BE=2:3;‎ ‎④S四边形AFOE:S△COD=2:3.‎ 其中正确的结论有 ①②④ .(填写所有正确结论的序号)‎ ‎【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可;‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD,‎ ‎∵EC垂直平分AB,‎ ‎∴OA=OB=AB=DC,CD⊥CE,‎ ‎∵OA∥DC,‎ ‎∴===,‎ ‎∴AE=AD,OE=OC,‎ ‎∵OA=OB,OE=OC,‎ ‎∴四边形ACBE是平行四边形,‎ ‎∵AB⊥EC,‎ ‎∴四边形ACBE是菱形,故①正确,‎ ‎∵∠DCE=90°,DA=AE,‎ ‎∴AC=AD=AE,‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=∠BAE,故②正确,‎ ‎∵OA∥CD,‎ ‎∴==,‎ ‎∴==,故③错误,‎ 设△AOF的面积为a,则△OFC的面积为2a,△CDF的面积为4a,△AOC的面积=△AOE的面积=3a,‎ ‎∴四边形AFOE的面积为4a,△ODC的面积为6a ‎∴S四边形AFOE:S△COD=2:3.故④正确,‎ 故答案为①②④.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(9分)解不等式组:.‎ ‎【分析】根据不等式组的解集的表示方法:大小小大中间找,可得答案.‎ ‎【解答】解:,‎ 解不等式①,得x>﹣1,‎ 解不等式②,得x<2,‎ 不等式①,不等式②的解集在数轴上表示,如图 ‎,‎ 原不等式组的解集为﹣1<x<2.‎ ‎ ‎ ‎18.(9分)如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C.‎ ‎【分析】根据AE=EC,DE=BE,∠AED和∠CEB是对顶角,利用SAS证明△ADE≌△CBE即可.‎ ‎【解答】证明:在△AED和△CEB中,‎ ‎,‎ ‎∴△AED≌△CEB(SAS),‎ ‎∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).‎ ‎ ‎ ‎19.(10分)已知T=+.‎ ‎(1)化简T;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为a,且它的面积为9,求T的值.‎ ‎【分析】(1)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值;‎ ‎(2)由正方形的面积求出边长a的值,代入计算即可求出T的值.‎ ‎【解答】解:(1)T=+==;‎ ‎(2)由正方形的面积为9,得到a=3,‎ 则T=.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.‎ ‎(1)这组数据的中位数是 16 ,众数是 17 ;‎ ‎(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;‎ ‎(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.‎ ‎【分析】(1)将数据按照大小顺序重新排列,计算出中间两个数的平均数即是中位数,出现次数最多的即为众数;‎ ‎(2)根据平均数的概念,将所有数的和除以10即可;‎ ‎(3)用样本平均数估算总体的平均数.‎ ‎【解答】解:(1)按照大小顺序重新排列后,第5、第6个数分别是15和17,所以中位数是(15+17)÷2=16,17出现3次最多,所以众数是17,‎ 故答案是16,17;‎ ‎(2)=14,‎ 答:这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次;‎ ‎(3)200×14=2800‎ 答:该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.‎ ‎(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元?‎ ‎(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)根据两个方案的优惠政策,分别求出购买8台所需费用,比较后即可得出结论;‎ ‎(2)根据购买x台时,该公司采用方案二购买更合算,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元,‎ ‎(1)当x=8时,‎ 方案一:w=90%a×8=7.2a,‎ 方案二:w=5a+(8﹣5)a×80%=7.4a,‎ ‎∴当x=8时,应选择方案一,该公司购买费用最少,最少费用是7.2a元;‎ ‎(2)∵若该公司采用方案二购买更合算,‎ ‎∴x>5,‎ 方案一:w=90%ax=0.9ax,‎ 方案二:当x>5时,w=5a+(x﹣5)a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax,‎ 则0.9ax>a+0.8ax,‎ x>10,‎ ‎∴x的取值范围是x>10.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.‎ ‎(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;‎ ‎(2)若反比例函数y2=的图象与函数y1‎ 的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.‎ ‎①求k的值;‎ ‎②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)写出函数解析式,画出图象即可;‎ ‎(2)①分两种情形考虑,求出点A坐标,利用待定系数法即可解决问题;‎ ‎②利用图象法分两种情形即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)由题意y1=|x|.‎ 函数图象如图所示:‎ ‎(2)①当点A在第一象限时,由题意A(2,2),‎ ‎∴2=,‎ ‎∴k=4.‎ 同法当点A在第二象限时,k=﹣4,‎ ‎②观察图象可知:当k>0时,x>2时,y1>y2或x<0时,y1>y2.‎ 当k<0时,x<﹣2时,y1>y2或x>0时,y1>y2.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.‎ ‎(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,‎ ‎①证明:AE⊥DE;‎ ‎②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.‎ ‎【分析】(1)利用尺规作出∠ADC的角平分线即可;‎ ‎(2)①延长DE交AB的延长线于F.只要证明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题;‎ ‎②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.连接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根据垂线段最短可知:当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长;‎ ‎【解答】解:(1)如图,∠ADC的平分线DE如图所示.‎ ‎(2)①延长DE交AB的延长线于F.‎ ‎∵CD∥AF,‎ ‎∴∠CDE=∠F,∵∠CDE=∠ADE,‎ ‎∴∠ADF=∠F,‎ ‎∴AD=AF,‎ ‎∵AD=AB+CD=AB+BF,‎ ‎∴CD=BF,‎ ‎∵∠DEC=∠BEF,‎ ‎∴△DEC≌△FEB,‎ ‎∴DE=EF,‎ ‎∵AD=AF,‎ ‎∴AE⊥DE.‎ ‎②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.连接MK.‎ ‎∵AD=AF,DE=EF,‎ ‎∴AE平分∠DAF,则△AEK≌△AEB,‎ ‎∴AK=AB=4,‎ 在Rt△ADG中,DG==4,‎ ‎∵KH∥DG,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴KH=,‎ ‎∵MB=MK,‎ ‎∴MB+MN=KM+MN,‎ ‎∴当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长,‎ ‎∴BM+MN的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎24.(14分)已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4(m>0).‎ ‎(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;‎ ‎(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在⊙P上.‎ ‎①试判断:不论m取任何正数,⊙P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,⊙P的半径记为r,求的值.‎ ‎【分析】(1)令y=0,再求出判别式,判断即可得出结论;‎ ‎(2)先求出OA=2,OB=m+2,OC=2(m+2),‎ ‎①判断出∠OCB=∠OAF,求出tan∠OCB=,即可求出OF=1,即可得出结论;‎ ‎②先设出BD=n,再判断出∠DCE=90°,得出DE是⊙P的直径,进而求出BE=2n,DE=n,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)令y=0,‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0,‎ ‎∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16,‎ ‎∵m>0,‎ ‎∴△>0,‎ ‎∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点;‎ ‎(2)‎ 令y=0,‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0,‎ ‎∴(x﹣2)[x+(m+2)]=0,‎ ‎∴x=2或x=﹣(m+2),‎ ‎∴A(2,0),B(﹣(m+2),0),‎ ‎∴OA=2,OB=m+2,‎ 令x=0,‎ ‎∴y=﹣2(m+2),‎ ‎∴C(0,﹣2(m+2)),‎ ‎∴OC=2(m+2),‎ ‎①通过定点(0,1)理由:如图,‎ ‎∵点A,B,C在⊙P上,‎ ‎∴∠OCB=∠OAF,‎ 在Rt△BOC中,tan∠OCB===,‎ 在Rt△AOF中,tan∠OAF===,‎ ‎∴OF=1,‎ ‎∴点F的坐标为(0,1);‎ ‎②如图1,由①知,点F(0,1),‎ ‎∵D(0,1),‎ ‎∴点D在⊙P上,‎ ‎∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点,‎ ‎∴∠DCE=90°,‎ ‎∴DE是⊙P的直径,‎ ‎∴∠DBE=90°,‎ ‎∵∠BED=∠OCB,‎ ‎∴tan∠BED=,‎ 设BD=n,‎ 在Rt△BDE中,tan∠BED===,‎ ‎∴BE=2n,‎ 根据勾股定理得,DE==n,‎ ‎∴l=BD+BE+DE=(3+)n,r=DE=n,‎ ‎∴==.‎ ‎ ‎ ‎25.(14分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.‎ ‎(1)求∠A+∠C的度数;‎ ‎(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.‎ ‎【分析】(1)利用四边形内角和定理计算即可;‎ ‎(2)连接BD.以BD为边向下作等边三角形△BDQ.想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题;‎ ‎(3)如图3中,连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR,连接RE.想办法证明∠BEC=150°即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ 在四边形ABCD中,∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B=60°,∠C=30°,‎ ‎∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°.‎ ‎(2)如图2中,结论:DB2=DA2+DC2.‎ 理由:连接BD.以BD为边向下作等边三角形△BDQ.‎ ‎∵∠ABC=∠DBQ=60°,‎ ‎∴∠ABD=∠CBQ,‎ ‎∵AB=BC,DB=BQ,‎ ‎∴△ABD≌△CBQ,‎ ‎∴AD=CQ,∠A=∠BCQ,‎ ‎∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°,‎ ‎∴∠DCQ=90°,‎ ‎∴DQ2=DC2+CQ2,‎ ‎∵CQ=DA,DQ=DB,‎ ‎∴DB2=DA2+DC2.‎ ‎(3)如图3中,连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR,连接RE.‎ 则△AER是等边三角形,∵EA2=EB2+EC2,EA=RE,EC=RB,‎ ‎∴RE2=RB2+EB2,‎ ‎∴∠EBR=90°,‎ ‎∴∠RAE+∠RBE=150°,‎ ‎∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°,‎ ‎∴∠BEC=150°,‎ ‎∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上,在⊙O上取一点K,连接KB,KC,OB,OC,‎ ‎∵∠K+∠BEC=180°,‎ ‎∴∠K=30°,∠BOC=60°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴△OBC是等边三角形,‎ ‎∴点E的运动路径==.‎ ‎ ‎
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