2018年广东省广州市中考数学试卷

2018年广东省广州市中考数学试卷

‎2018年广东省广州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎2．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）‎ A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 ‎3．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6‎ ‎5．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）‎ A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4‎ ‎6．（3分）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．70° D．80°‎ ‎8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）‎ A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11．（3分）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．‎ ‎12．（3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　 　．‎ ‎13．（3分）方程=的解是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　 　．‎ ‎16．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：‎ ‎①四边形ACBE是菱形；‎ ‎②∠ACD=∠BAE；‎ ‎③AF：BE=2：3；‎ ‎④S四边形AFOE：S△COD=2：3．‎ 其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（9分）解不等式组：．‎ ‎18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．‎ ‎19．（10分）已知T=+．‎ ‎（1）化简T；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．‎ ‎20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．‎ ‎（1）这组数据的中位数是　 　，众数是　 　；‎ ‎（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；‎ ‎（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．‎ ‎21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．‎ ‎（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？‎ ‎（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．‎ ‎22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．‎ ‎（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；‎ ‎（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．‎ ‎23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．‎ ‎（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，‎ ‎①证明：AE⊥DE；‎ ‎②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．‎ ‎24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．‎ ‎（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．‎ ‎①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．‎ ‎25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．‎ ‎（1）求∠A+∠C的度数；‎ ‎（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．‎ ‎　‎ ‎2018年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：0，1，是有理数，‎ 是无理数，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）‎ A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 ‎【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．‎ ‎【解答】解：五角星的对称轴共有5条，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6‎ ‎【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；‎ ‎（B）原式=3a2，故B错误；‎ ‎（C）原式=x2y2，故C错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）‎ A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4‎ ‎【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．‎ 根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．‎ ‎【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎，‎ 一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，‎ 故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．70° D．80°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=20°，‎ ‎∴∠AOC=40°，‎ ‎∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=40°，‎ ‎∴∠AOB=80°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．‎ ‎【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a﹣b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．‎ ‎【解答】解：图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限，‎ ‎∴a＞0、b＞0，‎ ‎∵y=0时，x=﹣，即直线y=ax+b与x轴的交点为（﹣，0）‎ 由图A、B的直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，‎ 即b＜a，‎ 所以b﹣a＜0‎ ‎∴a﹣b＞0，‎ 此时双曲线在第一、三象限．‎ 故选项B不成立，选项A正确．‎ 图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限，‎ ‎∴a＜0，b＞0，‎ 此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，‎ 故选项C、D均不成立；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）‎ A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2‎ ‎【分析】由OA4n=2n知OA2018=+1=1009，据此得出A2A2018=1009﹣1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：由题意知OA4n=2n，‎ ‎∵2018÷4=504…2，‎ ‎∴OA2018=+1=1009，‎ ‎∴A2A2018=1009﹣1=1008，‎ 则△OA2A2018的面积是×1×1008=504m2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）‎ ‎11．（3分）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而　增大　（填“增大”或“减小”）．‎ ‎【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，‎ ‎∴当x＞0时，y随x的增大而增大．‎ 故答案为：增大．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　　．‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，‎ ‎∴tanC=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．（3分）方程=的解是　x=2　．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x+6=4x，‎ 解得：x=2，‎ 经检验x=2是分式方程的解，‎ 故答案为：x=2‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（﹣5，4）　．‎ ‎【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴由勾股定理知：OD===4，‎ ‎∴点C的坐标是：（﹣5，4）．‎ 故答案为：（﹣5，4）．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　2　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．‎ ‎【解答】解：由数轴可得：‎ ‎0＜a＜2，‎ 则a+‎ ‎=a+‎ ‎=a+（2﹣a）‎ ‎=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：‎ ‎①四边形ACBE是菱形；‎ ‎②∠ACD=∠BAE；‎ ‎③AF：BE=2：3；‎ ‎④S四边形AFOE：S△COD=2：3．‎ 其中正确的结论有　①②④　．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵EC垂直平分AB，‎ ‎∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE，‎ ‎∵OA∥DC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴AE=AD，OE=OC，‎ ‎∵OA=OB，OE=OC，‎ ‎∴四边形ACBE是平行四边形，‎ ‎∵AB⊥EC，‎ ‎∴四边形ACBE是菱形，故①正确，‎ ‎∵∠DCE=90°，DA=AE，‎ ‎∴AC=AD=AE，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，‎ ‎∵OA∥CD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==，故③错误，‎ 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，‎ ‎∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ‎∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确，‎ 故答案为①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（9分）解不等式组：．‎ ‎【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，得x＞﹣1，‎ 解不等式②，得x＜2，‎ 不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图 ‎，‎ 原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．‎ ‎【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．‎ ‎【解答】证明：在△AED和△CEB中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△CEB（SAS），‎ ‎∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）已知T=+．‎ ‎（1）化简T；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．‎ ‎【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；‎ ‎（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．‎ ‎【解答】解：（1）T=+==；‎ ‎（2）由正方形的面积为9，得到a=3，‎ 则T=．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．‎ ‎（1）这组数据的中位数是　16　，众数是　17　；‎ ‎（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；‎ ‎（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．‎ ‎【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；‎ ‎（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；‎ ‎（3）用样本平均数估算总体的平均数．‎ ‎【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2=16，17出现3次最多，所以众数是17，‎ 故答案是16，17；‎ ‎（2）=14，‎ 答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；‎ ‎（3）200×14=2800‎ 答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．‎ ‎（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？‎ ‎（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；‎ ‎（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，‎ ‎（1）当x=8时，‎ 方案一：w=90%a×8=7.2a，‎ 方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，‎ ‎∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；‎ ‎（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，‎ ‎∴x＞5，‎ 方案一：w=90%ax=0.9ax，‎ 方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，‎ 则0.9ax＞a+0.8ax，‎ x＞10，‎ ‎∴x的取值范围是x＞10．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．‎ ‎（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；‎ ‎（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1‎ 的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）写出函数解析式，画出图象即可；‎ ‎（2）①分两种情形考虑，求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题；‎ ‎②利用图象法分两种情形即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）由题意y1=|x|．‎ 函数图象如图所示：‎ ‎（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，2），‎ ‎∴2=，‎ ‎∴k=4．‎ 同法当点A在第二象限时，k=﹣4，‎ ‎②观察图象可知：当k＞0时，x＞2时，y1＞y2或x＜0时，y1＞y2．‎ 当k＜0时，x＜﹣2时，y1＞y2或x＞0时，y1＞y2．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．‎ ‎（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，‎ ‎①证明：AE⊥DE；‎ ‎②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；‎ ‎（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；‎ ‎②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长；‎ ‎【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．‎ ‎（2）①延长DE交AB的延长线于F．‎ ‎∵CD∥AF，‎ ‎∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，‎ ‎∴∠ADF=∠F，‎ ‎∴AD=AF，‎ ‎∵AD=AB+CD=AB+BF，‎ ‎∴CD=BF，‎ ‎∵∠DEC=∠BEF，‎ ‎∴△DEC≌△FEB，‎ ‎∴DE=EF，‎ ‎∵AD=AF，‎ ‎∴AE⊥DE．‎ ‎②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．‎ ‎∵AD=AF，DE=EF，‎ ‎∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，‎ ‎∴AK=AB=4，‎ 在Rt△ADG中，DG==4，‎ ‎∵KH∥DG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴KH=，‎ ‎∵MB=MK，‎ ‎∴MB+MN=KM+MN，‎ ‎∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，‎ ‎∴BM+MN的最小值为．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．‎ ‎（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．‎ ‎①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．‎ ‎【分析】（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；‎ ‎（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），‎ ‎①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论；‎ ‎②先设出BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2n，DE=n，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0，‎ ‎∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）‎ 令y=0，‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0，‎ ‎∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，‎ ‎∴x=2或x=﹣（m+2），‎ ‎∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），‎ ‎∴OA=2，OB=m+2，‎ 令x=0，‎ ‎∴y=﹣2（m+2），‎ ‎∴C（0，﹣2（m+2）），‎ ‎∴OC=2（m+2），‎ ‎①通过定点（0，1）理由：如图，‎ ‎∵点A，B，C在⊙P上，‎ ‎∴∠OCB=∠OAF，‎ 在Rt△BOC中，tan∠OCB===，‎ 在Rt△AOF中，tan∠OAF===，‎ ‎∴OF=1，‎ ‎∴点F的坐标为（0，1）；‎ ‎②如图1，由①知，点F（0，1），‎ ‎∵D（0，1），‎ ‎∴点D在⊙P上，‎ ‎∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，‎ ‎∴∠DCE=90°，‎ ‎∴DE是⊙P的直径，‎ ‎∴∠DBE=90°，‎ ‎∵∠BED=∠OCB，‎ ‎∴tan∠BED=，‎ 设BD=n，‎ 在Rt△BDE中，tan∠BED===，‎ ‎∴BE=2n，‎ 根据勾股定理得，DE==n，‎ ‎∴l=BD+BE+DE=（3+）n，r=DE=n，‎ ‎∴==．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．‎ ‎（1）求∠A+∠C的度数；‎ ‎（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．‎ ‎【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；‎ ‎（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；‎ ‎（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ 在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠C=30°，‎ ‎∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°．‎ ‎（2）如图2中，结论：DB2=DA2+DC2．‎ 理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．‎ ‎∵∠ABC=∠DBQ=60°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBQ，‎ ‎∵AB=BC，DB=BQ，‎ ‎∴△ABD≌△CBQ，‎ ‎∴AD=CQ，∠A=∠BCQ，‎ ‎∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°，‎ ‎∴∠DCQ=90°，‎ ‎∴DQ2=DC2+CQ2，‎ ‎∵CQ=DA，DQ=DB，‎ ‎∴DB2=DA2+DC2．‎ ‎（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．‎ 则△AER是等边三角形，∵EA2=EB2+EC2，EA=RE，EC=RB，‎ ‎∴RE2=RB2+EB2，‎ ‎∴∠EBR=90°，‎ ‎∴∠RAE+∠RBE=150°，‎ ‎∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°，‎ ‎∴∠BEC=150°，‎ ‎∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，‎ ‎∵∠K+∠BEC=180°，‎ ‎∴∠K=30°，∠BOC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴点E的运动路径==．‎ ‎　‎