高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评8 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评8 word版含答案

学业分层测评(八) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．下列说法正确的个数是( ) ①若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； ②若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等； ③若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c. A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 ①中 a 与 c 也可能异面，③中 a 与 c 也可能相交或异 面，②正确． 【答案】 C 2．a、b 为异面直线是指 ①a∩b＝∅，且 a 不平行于 b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且 a∩b＝∅； ③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使 a⊂α，且 b ⊂α成立． ( ) A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④ 【解析】 ②③中的 a，b 有可能平行，①④符合异面直线的定义． 【答案】 D 3．下列选项中，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，并且 是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( ) 【导学号：09960052】 【解析】 易知选项 A，B 中 PQ∥RS，选项 D 中 RS 与 PQ 相交， 只有选项 C 中 RS 与 PQ 是异面直线． 【答案】 C 4．如图 2119 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、B1B、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角 等于( ) 图 2119 A．45° B．60° C．90° D．120° 【解析】 连接 A1B，BC1，因为 E、F、G、H 分别是 AA1、AB、 BB1、B1C1 的中点． A1B∥EF，BC1∥GH. ∴A1B 和 BC1 所成角为异面直线 EF 与 GH 所成角， 连接 A1C1 知，△A1BC1 为正三角形，故∠A1BC1＝60°. 【答案】 B 5．如图 2120，三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面三角形 A1B1C1 是正 三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是( ) 图 2120 A．CC1 与 B1E 是异面直线 B．C1C 与 AE 共面 C．AE 与 B1C1 是异面直线 D．AE 与 B1C1 所成的角为 60° 【解析】 由于 CC1 与 B1E 都在平面 C1B1BC 内，故 C1C 与 B1E 是共面的，所以 A 错误；由于 C1C 在平面 C1B1BC 内，而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点，点 E 不在 C1C 上，故 C1C 与 AE 是异面直线，B 错误；同理 AE 与 B1C1 是异面直线，C 正确；而 AE 与 B1C1 所成的角 就是 AE 与 BC 所成的角，E 为 BC 中点，△ABC 为正三角形，所以 AE⊥BC，D 错误． 【答案】 C 二、填空题 6．如图 2121 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论： 图 2121 ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填 上)． 【解析】 由异面直线的定义知③④正确． 【答案】 ③④ 7．如图 2122，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G 分别是 AB，BC， AD 的中点，∠GEF＝120°，则 BD 和 AC 所成角的度数为________． 图 2122 【解析】 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF 所成的角 或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的角，又∠GEF＝120°，所以异 面直线 BD 与 AC 所成的角为 60°. 【答案】 60° 三、解答题 8．(2016·重庆高一检测)如图 2123，长方体 ABCDA1B1C1D1 中， E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点． (1)求证：D1E∥BF； (2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1. 图 2123 【证明】 (1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M. 在矩形 ABB1A1 中，易得 EM═∥A1B1， ∵A1B1═∥C1D1， ∴EM═∥C1D1， ∴四边形 EMC1D1 为平行四边形， ∴D1E∥C1M. 在矩形 BCC1B1 中，易得 MB═∥C1F，∴BF═∥C1M. ∴D1E∥BF. (2)∵ED1∥BF，BM∥EA1， 又∠B1BF 与∠D1EA1 的对应边方向相同， ∴∠B1BF＝∠D1EA1. 9．(2015·沈阳高一检测)如图 2124，正方体 ABCDEFGH 中，O 为侧面 ADHE 的中心，求： (1)BE 与 CG 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角． 【导学号：09960053】 图 2124 【解】 (1)如图，因为 CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF＝45°，所以 BE 与 CG 所成的角为 45°. (2)连接 FH，因为 HD═∥EA，EA═∥FB，所以 HD═∥FB，所以四边 形 HFBD 为平行四边形， 所以 HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成 的角． 连接 HA、AF，易得 FH＝HA＝AF， 所以△AFH 为等边三角形， 又依题意知 O 为 AH 的中点， 所以∠HFO＝30°，即 FO 与 BD 所成的角是 30°. [自我挑战] 10．(2016·烟台高一检测)如图 2125 是正方体的平面展开图，在 这个正方体中， 【导学 号：09960054】 图 2125 ①BM 与 ED 平行； ②CN 与 BE 是异面直线； ③CN 与 BM 成 60°角； ④DM 与 BN 是异面直线． 以上四个命题中，正确命题的序号是( ) A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【解析】 由题意画出正方体的图形如图： 显然①②不正确；③CN 与 BM 成 60°角，即∠ANC＝60°，正确； ④正确． 【答案】 C 11．在四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点．若 BD、 AC 所成的角为 60°，且 BD＝AC＝1.求 EF 的长度． 【解】 如图，取 BC 中点 O，连接 OE、OF， ∵OE∥AC，OF∥BD， ∴OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角，而 AC、 BD 所成的角为 60°. ∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°. 当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝1 2. 当∠EOF＝120°时，取 EF 的中点 M，连接 OM，则 OM⊥EF， EF＝2EM＝2× 3 4 ＝ 3 2 .