高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练

高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练

2020 届高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练 一、基础知识和公式：4+3（4 个公式、3 个方程） 4 个公式 3 个方程 （1）圆 的参数方程为 （ 为参数）； （2）过定点 、倾斜角为 的直线的参数方程 （ 为参 数） （3）椭圆 的参数方程为 （ 为参数）； 二、概念辨析 (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系．(　　) (2)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可表示为(2，3π 4 ).(　　) (3)过极点作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝α 或 θ＝π＋α.(　　) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ＝2asinθ.(　　) (5)直线Error!(t 为参数)的倾斜角 α 为 30°.(　　) (6)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数 t 的几何 意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M → 的数量．(　　) (7)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆．(　　) (8)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝π 3，点 O 为原点， 则直线 OM 的斜率为 3.(　　) 三、基础检查 (1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为Error!则在这一坐标变换下正弦曲线 y＝sinx 的 方程变为(　　) A．y＝1 3sin2x B．y＝3sin1 2x C．y＝1 3sinx 2 D．y＝3sin2x (2)在极坐标系中 A(2，－π 3)，B (4，2π 3 )两点间的距离为________． 1cossin;sin;cos; 22222 =+==+= θθθρθρρ yxyx 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = cos sin x a r y b r θ θ = +  = + θ ),( 00 yxP ( )2 πα α ≠    += += α α sin cos 0 0 tyy txx t 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ (3)曲线 C1：θ＝π 6与曲线 C2：ρsin(θ＋π 6 )＝ 3 2 的交点坐标为________． (4)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ－π 4 )＝ 2，点 A 的极坐标为 A(2 2，7π 4 )，则点 A 到直线 l 的距离为________． (5)若直线的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线的斜率为________． (6)椭圆Error!(θ 为参数)的离心率为________． (7)曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，则曲线 C 的普通方程为________． 四、难点突破: 形如 （ 为参数）的消参方法，其中 是次数不超过二 次的整式，且 可利用下面的定理消参：定理 两个一元二次方程 和 有公共根的充要条件是 例 1 化参数方程 为普通方程，其中 为参数 【针对训练】 1.化参数方程 为普通方程，其中 为参数 2.化参数方程 化为普通方程，其中 为参数 3.化参数方程 化为普通方程，其中 为参数 题型一：利用 解题 1.[2019 ·长沙检测]在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐       = = )( )( )( )( 2 1 2 1 tg tgy tf tfx t )(),(),(),( 2121 xgxgxfxf 0)()( 22 ≠xgxf 011 2 1 =++ cxbxa 022 2 2 =++ cxbxa ))(()( 12211221 2 1221 cbcbbabacaca −−=−      −= += )1(2 )1(2 ttby ttax t    −+= +−= 32 1 2 2 tty ttx t       + −+= + += 1 12 1 12 2 2 2 t tty t tx t       += + −= 2 2 2 1 4 1 1 t ty t tx t ρ xOy O x 标系．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），过原点 且倾斜角为 的直 线 交 于 、 两点． （1）求 和 的极坐标方程； （2）当 时，求 的取值范围． 2．[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为 参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）在曲线 上取两点 ， 与原点 构成 ，且满足 ，求 面 积的最大值． 3．(2018·日照一模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!(α 为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝π 6(ρ∈R)． (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的值． 4.(2018·南平二模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C1 的方程为x2 2＋y2＝1.曲线 C2 的参数方程为Error! (φ 为参数)，曲线 C3 的方程为 y＝xtanα(0 < α < π 2，x > 0)，曲线 C3 与曲线 C1，C2 分别交 于 P，Q 两点． (1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程； (2)求|OP|2·|OQ|2 的取值范围． 5．(2018·南宁模拟)已知曲线 C1 的参数方程为Error!(θ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ＋π 3 )，直线 l 的直角坐标方 程为 y＝ 3 3 x. (1)求曲线 C1 和直线 l 的极坐标方程； M 1 cos 1 sin x y ϕ ϕ + = +    = ϕ O α l M A B l M 4 π0,α  ∈   OA OB+ xOy C 3 2cos 1 2sin x y ϕ ϕ  = + = +  ϕ O x C C M N O MON△ π 2MON∠ = MON△ (2)已知直线 l 分别与曲线 C1，曲线 C2 相交于异于极点的 A，B 两点，若 A，B 的极径 分别为 ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值． 6.已知曲线 C 的参数方程为{x＝2＋2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ＋π 6 )＝4. (1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若射线 θ＝π 3与曲线 C 交于 O，A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线 θ＝11π 6 与曲线 C 交于 O，P 两点，求△PAB 的面积. 7.[2019·宝鸡模拟]点 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正 半轴为 极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 逆时针旋转 得到点 ，设点 的轨迹为曲 线 ． （1）求曲线 ， 的极坐标方程； （2）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，设定点 ，求 的 面积． 题型二：利用 解题 关于 的基础知识：设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线的参数方程在交点问 题中的应用:(1)若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M 0 M 1 → ||M 0 M 2 → |＝|t1t2|，| M 1 M 2 → |＝|t2－t1|＝ t 2 ＋t 1  2 －4t 1 t 2 .;(2)若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1， M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3＝t 1 ＋t 2 2 .;(3)若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0， y0)，则 t1＋t2＝0，t1t2<0. 提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当 a2＋b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意 义解题．Error!化为标准形式为 （ 为参数） P ( )2 2 1 2 4C x y− + =: O x O P 90° Q Q 2C 1C 2C ( )03 πθ ρ= > 1C 2C A B ( )2,0M MAB△ t t       ′ + += ′ + += ⇒ t ba byy t ba axx 220 220 t 1．[2019·安庆期末]在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 与曲线 交于不同的两点 、 ，求 的值． 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，直线 l 的 参数方程为Error!(t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 过点 P(a,1)，其参数方程为Error!(t 为参数， a∈R)．以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＋ 4cosθ－ρ＝0. (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，且|AB|＝8，求实数 a 的值． 4. (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点 A(2，π 6 )，B(2 3，2π 3 )，C 是线段 AB 的中点.以 极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标 系，曲线 Ω 的参数方程是{x＝2cos θ， y＝－2＋2sin θ(θ 为参数). (1)求点 C 的直角坐标，并求曲线 Ω 的普通方程； (2)设直线 l 过点 C 交曲线 Ω 于 P，Q 两点，求CP→ ·CQ→ 的值. 5.(2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知 直线 l 的参数方程为{x＝tcos φ， y＝2＋tsin φ(t 为参数，0≤φ<π)，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝8sin θ. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； xOy l 3 3 x t y t = + = −   t x C 4cosρ θ= l C ( )3,0M l C A B MA MB⋅ (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 φ 变化时，求|AB|的最小值. 6.(2018·郑州质检)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为{x＝3＋tcos α， y＝2＋tsin α (t 为参数).以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ. (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)已知直线 l 上一点 M(3，2)，若直线 l 与圆 C 交于不同两点 A，B，求 1 |MA|＋ 1 |MB|的取值范 围. 7.在直角坐标系 中，曲线 C： ( 为参数)．以原点 O 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． (1)求曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 与直线 交于 A，B 两点，点 P(1，0)，求 的值． 8.平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点， 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程; （2） 已 知 与 直 线 平 行 的 直 线 过 点 ， 且 与 曲 线 交 于 ， 两 点 ， 试 求 ． 9.在直角坐标系 中，已知曲线 、 的参数方程分别为 ： ， ： ． （1）求曲线 、 的普通方程； l 1 3 1 x t y t = + = + t x C 2 2cos 1 cos θρ θ= − l C l l′ ( )2 0M , C A B MA MB⋅ xoy 1C 2C 1C ( )2cos 3sin x y θ θ θ = = 为参数 2C ( )1 cos sin x t ty t θ θ = +  = 为参数 1C 2C xOy 1 2cos 1 2sin x y α α = +  = − + α x l 2cos 4 2 πρ θ + =   l l PA PB PB PA + （2）已知点 ，若曲线 与曲线 交于 、 两点，求 的取值范 围． 题型三：利用椭圆、圆、抛物线的参数方程 题眼：这类题往往是椭圆、圆、抛物线上的动点到某线或点的距离的最值或范围问题 1．[2019 ·柳州模拟]在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ． 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）求曲线 的普通方程，曲线 的参数方程； （2）若 ， 分别为曲线 ， 上的动点，求 的最小值，并求 取得最小值时， 点的直角坐标． 2. (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x＝3cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，直 线 l 的参数方程为{x＝a＋4t， y＝1－t (t 为参数). (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 3..(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为{x＝－8＋t， y＝t 2 (t 为参数)，曲 线 C 的参数方程为{x＝2s2， y＝2 2s (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最 小值. 4. (2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2－2 2ρsin(θ－π 4 )－2＝0，曲线 C2 的极坐标方 程为 θ＝π 4，C1 与 C2 相交于 A，B 两点. (1)把 C1 和 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点 A，B 的直角坐标； ( )1,0P 1C 2C A B PBPA + xOy 1C 3 22 5 22 x t y t   = + = −  t x 2C 2 3 1 2sin ρ θ = + 1C 2C P Q 1C 2C PQ PQ Q (2)若 P 为 C1 上的动点，求|PA|2＋|PB|2 的取值范围. 5.在直角坐标系 中，圆 的普通方程为 ．在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）写出圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程； （2）设直线 与 轴和 轴的交点分别为 ， ， 为圆 上的任意一点，求 的取值范围． 题型四：求轨迹问题 1.(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点 C 的极坐标为(2，π 3 ). (1)求出以 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直 角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点，Q(5，－ 3)，M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上 运动时，求点 M 的轨迹的普通方程． 2. 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－2 2ρcos(θ－π 4 )＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为(2，π 3 )，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． xOy C 2 2 4 6 12 0x y x y+ − − + = x l πsin 24 ρ θ = + =   C l l x y A B P C PA PB⋅  4. (2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为{x＝cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，过 点(0，－ 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点. (1)求 α 的取值范围； (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 5．(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种 坐标系的长度单位相同．已知圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝4(cos θ＋sin θ)，P 是 C1 上一动点， 点 Q 在射线 OP 上且满足|OQ|＝1 2|OP|，点 Q 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； (2)已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数，0≤φ＜π)，l 与曲线 C2 有且只有一个公共点， 求 φ 的值． 题型五：综合题 1.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线 l2 的参 数方程为Error!(m 为参数)．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cosθ＋sinθ)－ 2＝0， M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． 2. (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcosθ－3＝0. (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 3. (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝acos t， y＝1＋asin t(t 为参数，a>0). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 4.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极 轴．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ， 射线 ， ， ， 与曲线 分别交异于极点 的四点 ， ， ， ． （ ）若曲线 关于曲线 对称，求 的值，并把曲线 和 化成直角坐标方程． （ ）求 ，当 时，求 的值域． xOy O x 1C π4cos 3 ρ θ = −   2C πcos 3 aρ θ − =   π 6 θ α= − θ α= π 3 θ α= + π 2 θ α= + 1C O A B C D 1C 2C a 1C 2C ( )f OA OC OB ODα = ⋅ + ⋅ π π 6 3 α≤ ≤ ( )f α