数学文卷·2017届湖北省襄阳市优质高中高三1月联考（2017

数学文卷·2017届湖北省襄阳市优质高中高三1月联考（2017

襄阳市优质高中2017届高三联考试题 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知复数满足，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若实数满足约束条件，则的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数，前项和为，，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中，过直角顶点A在内随机作射线，交斜边于点，则的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数，则等于（ ）‎ ‎ A.0 B. C. D.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如右图所示，正视图、侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个正方形，则此四棱锥的体积是（ ）‎ ‎ A. B.12 C.24 D.36 ‎ ‎9．函数的图象大致是 ‎10.正整数的各数位上的数字重新排列后得到的最大数记为，得到的最小数记为（如正整数，则），执行如图所，示的程序框图，若输入，则输出的S的值为 ‎ A. 6174 B. 7083 C. 8341 D. 8352‎ ‎11.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若，且，则；‎ ‎②若，且，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则.‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎12.定义域为R的偶函数满足，当时，；函数，则在上零点的个数为 ‎ A. 4 B. 3 C. 6 D. 5‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，且，则 .‎ ‎14.文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织訖。问织几何？意思是：有一女子不善织布，逐日所织布按等差数列递减，已知第一天织5尺，最后一天织1尺，共织了30天。问共织布 .‎ ‎15.直线经过抛物线的焦点F,与C交于A,B两点，且，则线段AB的中点D到轴的距离为 .‎ ‎16.若函数对定义域内的任意，当时，总有，则称函数为单纯函数，例如函数是单纯函数，但函数不是单纯函数，下列命题：①函数是单纯函数；②当时，函数在上是单纯函数；③若函数为其定义域内的单纯函数，，则；④若函数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在使其导数.其中正确的命题为 .（填上所有正确的命题序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）设，函数 ‎ （1）当时，求函数的值；‎ ‎ （2）已知的三个内角A,B,C所对应的边分别为，且满足，求的内角的大小.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎ 某研究小组到社区了解参加健美操运动人员的情况，用分层抽样的方法抽取了40人进行调查，按照年龄分成五个小组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求该社区参加健美操运动人员的平均年龄；‎ ‎ （2）如果研究小组从该样本中年龄在和的6人中随机地抽取出2人进行深入采访，求被采访的2人，年龄恰好都在内的概率.‎ ‎19.（本题满分12分）如图所示，四边形为菱形，‎ 平面.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）当为何值时，直线平面？请说明理由.‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足，点满足；当点在圆上运动时，点的轨迹为 ‎ （1）求点的轨迹的方程；‎ ‎ （2）与已知圆相切的直线交于两点，求的取值范围.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）当时，求函数的极大值；‎ ‎ （2）若函数在R上有且仅有两个零点，求实数的值；‎ ‎（3）求证：.‎ 请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中圆C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎ （1）求圆C的直角坐标方程及其圆心C的直角坐标；‎ ‎ （2）设直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1） 解关于的不等式；‎ （2） 若，使得成立，试求实数的取值范围.‎ 襄阳市优质高中2017届高三联考试题参考答案 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】因为，则， ．‎ ‎【考点】复数 ‎2.【答案】D ‎ ‎【解析】，，．‎ ‎【考点】集合 ‎3.【答案】C ‎【解析】由已知得可行域是由、、构成的三角形，作直线：，平移到，当过时取得最大值.‎ ‎【考点】线性规划 ‎4.【答案】A ‎ ‎【解析】与坐标轴交于点，，从而，，，双曲线的离心率．‎ ‎【考点】解析几何：双曲线的离心率 ‎【来源】选修1-1例3改编而成.‎ ‎5.【答案】D ‎ ‎【解析】因为为等比数列，，，则，，．‎ ‎【考点】数列：等比数列及其求和 ‎【来源】必修5组第3题改编而成.‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【解析】取中点，因为，，则射线在内，，．‎ ‎【考点】概率：几何概型中的角度问题 ‎【来源】必修3练习第1题改编而成.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】．‎ ‎【考点】函数：函数性质，求函数值 ‎8.【答案】B ‎ ‎【解析】由三视图知此四棱锥为正四棱锥，底面是边长为的正方形，正四棱锥的高即等边三角形的高为3，体积是．‎ ‎【考点】立体几何：三视图与正四棱锥的体积 ‎9.【答案】C ‎ ‎【解析】函数中，可排除A、D；，函数为奇函数，在上是减函数，排除B.‎ ‎【考点】函数：函数的定义域、奇偶性、函数的单调性及其函数的图象 ‎10.【答案】A ‎【解析】，，；，，；，，；‎ ‎，，；所以.‎ ‎【考点】程序框图与算法案例 ‎11.【答案】B ‎【解析】当∥，且时，由直线与平面垂直的判定定理知，故①正确.当 ∥，且∥时∥或，故②错误.当，时，∥或与相交，故③错误. 当，，时， ∥∥或交于一点，故④错误.‎ ‎【考点】立体几何：空间直线与平面之间的位置关系 ‎12.【答案】D ‎【解析】因为满足，则，是周期为2的函数；作出与的图象，两图象在交于5个点即在上有5个零点.选D.‎ ‎【考点】函数：函数图象与性质 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】由∥知，.‎ ‎【考点】向量：向量的坐标表示、共线向量、向量的模 ‎14.【答案】90‎ ‎【解析】已知递减的等差数列，，，.‎ ‎【考点】等差数列：求和 ‎15.【答案】4‎ ‎【解析】由已知点，抛物线的准线：，过、、分别作准线 的垂线，垂足依次为、、，交轴于点，；‎ 是梯形的中位线，，．所以线段的中点到轴的距离是4.‎ ‎【考点】解析几何：抛物线的定义与标准方程、直线与二次曲线的相交问题 ‎【来源】试题来源于课本人教版选修1-1例4改编而成.‎ ‎16.【答案】①③‎ ‎【解析】由单纯函数的定义可知单纯函数的自变量和函数值是一一映射，因此单调函数一定是单纯函数，但单纯函数不一定是单调函数，①③正确；当时在不是单纯函数，②错误；函数是单纯函数，但其定义域内不存在使其导函数，④错误.‎ ‎【考点】新定义，函数的性质及应用，简易逻辑 ‎17.解（I)法一：当时，，‎ ‎，；………………………………5分 法二：‎ ‎，‎ 当时，；………………………………5分 ‎(II)法一：中，由余弦定理及已知得，‎ 化简得，…………………………………………………8分 由余弦定理得，，所以.……12分 法二：中，由正弦定理及已知得 ‎，…10分 ‎，所以.…………………………………………………12分 ‎【考点】向量，三角函数，解三角形 ‎18.解：（I），该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分 ‎（II）年龄在的人员2人，依次记为、，年龄在的人员4人，依次记为、、、，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：、、、 、、、、、、、、、、、；‎ 记事件：被采访的2人年龄恰好都在，则包含6种结果，‎ ‎.所以，被采访的2人年龄恰好都在的概率为．……………………12分 ‎【考点】统计与概率 ‎19.(I)证明：因为平面，平面，所以；…2分 菱形中，；，所以平面.…………5分 ‎ 法二：因为平面，平面，所以平面平面；‎ ‎……………2分 菱形中，；平面平面；所以平面.‎ ‎……………5分 ‎ (II)当时直线∥平面.理由如下：…………………………………7分 设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线， ∥且；……………………………………………9分 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；………………………………………………………11分 因为平面，平面，所以直线∥平面.……12分 法二：设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线，∥；平面，平面，所以直线∥平面；‎ 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；平面，平面，所以直线∥平面；‎ ‎，平面，平面，所以平面∥平面.‎ 因为平面，所以直线∥平面.………………12分 ‎【考点】直线、平面的平行与垂直关系 ‎【试题来源】试题来源于课本人教版必修2探究改编而成.‎ ‎20．（I）设点，，，由已知 得即，点；…………………………………………………2分 因为点在圆上运动，得即；…4分 所以点的轨迹的方程为．…………………………………………5分 ‎（II）直线：与相切，即；7分 设、，由得，直线与交于两点得，，‎ ‎，从而；…………9分 ‎，‎ 又，，．…11分 所以，的的取值范围．………………………………………12分 ‎【考点】直线与椭圆.‎ ‎【试题来源】试题来源于课本人教版选修1-1例题改编而成 ‎21.解：（I）当时，，， ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 所以，函数的极大值为；………………………………4分 ‎（II）在上有且仅有两个零点，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ 函数在上递增且恰有1个零点，，因而必有 得，所以；…………………………6分 当时，，函数在上递增，函数至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………7分 当时，‎ 函数在上递增且恰有1个零点，但在上无零点，因而函数在只有1个零点，不符合题意，应舍去. ‎ 综上所述，；………………………………………………………………8分 ‎(其它解法酌情给分)‎ ‎（III）证明：由（I）当时，在递增，有 ‎，当且时，‎ ‎，从而 ‎，，……10分 ‎.‎ 所以，且.………………12分 ‎【考点】函数与导数：函数的性质及应用. ‎ ‎【试题来源】试题来源于课本人教版选修1-1例题4改编而成 ‎22、解：（Ⅰ）圆：(为参数)得圆的直角坐标方程：，圆心的直角坐标．………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）.直线的直角坐标方程：；………………………………5分 ‎.圆心到直线的距离，圆的半径，‎ 弦长．……………………………………………8分 ‎.的面积.…………………10分 ‎【考点】坐标系与参数方程 ‎ ‎23、解：（Ⅰ）当时，，得；…1分 当时，，得；…………2分 当时，，矛盾，得；…3分 综上所术，不等式的解集为或 . ‎ ‎（Ⅱ）.对，，即；…6分 ‎.对，恒成立对，恒成立对，；………………………………………………8分 ‎.解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分 ‎【考点】不等式选讲 襄阳市优质高中2017届高三联考试题文科数学参考答案 ‎1-12 B D C A D A C B C A B D 13. 14.90 15. 4 16. ①③‎ ‎17.解（I)法一：当时，，，；………………………………5分 法二：‎ ‎，‎ 当时，；………………………………5分 ‎(II)法一：中，由余弦定理及已知得，‎ 化简得，…………………………………………………8分 由余弦定理得，，所以.……12分 法二：中，由正弦定理及已知得 ‎，…10分 ‎，所以.…………………………………………………12分 ‎18.解：（I），‎ 该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分 ‎（II）年龄在的人员2人，依次记为、，年龄在的人员4人，依次记为、、、，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：、、、 、、、、、、、、、、、；‎ 记事件：被采访的2人年龄恰好都在，则包含6种结果，.所以，被采访的2人年龄恰好都在的概率为．……………………12分 ‎19.(I)证明：因为平面，平面，所以；…2分 菱形中，；，所以平面.…………5分 法二：因为平面，平面，所以平面平面；‎ ‎……………2分 菱形中，；平面平面；所以平面.‎ ‎……………5分 ‎ (II)当时直线∥平面.理由如下：…………………………………7分 设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线， ∥且；……………………………………………9分 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；………………………………………………………11分 因为平面，平面，所以直线∥平面.……12分 法二：设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线，∥；平面，平面，所以直线∥平面；‎ 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；平面，平面，所以直线∥平面；‎ ‎，平面，平面，所以平面∥平面.‎ 因为平面，所以直线∥平面.………………12分 ‎20．（I）设点，，，由已知 得即，点；…………………………………………………2分 因为点在圆上运动，得即；…4分 所以点的轨迹的方程为．…………………………………………5分 ‎（II）直线：与相切，即；7分 设、，由得，直线与交于两点得，，‎ ‎，从而；…………9分 ‎，‎ 又，，．…11分 所以，的的取值范围．………………………………………12分 ‎21.解：（I）当时，，， ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 所以，函数的极大值为；………………………………4分 ‎（II）在上有且仅有两个零点，.‎ 当时，，函数在上递增，函数至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ 函数在上递增且恰有1个零点，，因而必有 得，所以；…………………………6分 当时，‎ 函数在上递增且恰有1个零点，但在上无零点，因而函数在只有1个零点，不符合题意，应舍去. …………………7分 综上所述，；………………………………………………………………8分 ‎(其它解法酌情给分)‎ ‎（III）证明：由（I）当时，在递增，有 ‎，当且时，，从而 ‎，，……10分 ‎.‎ 所以，且.………………12分 ‎22、解：（Ⅰ）圆：(为参数)得圆的直角坐标方程：，圆心的直角坐标．………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）.直线的直角坐标方程：；………………………………5分 ‎.圆心到直线的距离，圆的半径，‎ 弦长．……………………………………………8分 ‎.的面积.…………………10分 ‎23、解：（Ⅰ）当时，，得；…1分 当时，，得；…………2分 当时，，矛盾，得；…3分 综上所术，不等式的解集为或 . ‎ ‎（Ⅱ）.对，，即；…6分 ‎.对，恒成立对，恒成立对，；………………………………………………8分 ‎.解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分