2011高考数学汇编立体几何

2011高考数学汇编立体几何

‎（安徽）‎ ‎（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80‎ ‎（北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎（湖南）设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积 ‎。‎ ‎（广东）如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎（江西）已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的 ( )‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：C ‎ 解析：平面平行，由图可以得知：‎ 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知 如果，同样是根据两个三角形全等可知 ‎（辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD ‎ C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ‎（辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎（全国2）已知直二面角，点,C为垂足，‎ 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 ‎(A) (B) (C) (D) 1 ‎ ‎【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。‎ ‎【精讲精析】选C.‎ 如图，作于E，由为直二面角，得平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。‎ 在中，利用等面积法得.‎ ‎（全国新）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 ‎（山东）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 ‎（A）3 （B）2 ‎ ‎（C）1 （D）0‎ 5. ‎（陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）‎ (A) ‎ 8-2π ‎ ‎（四川），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ‎ (A)， ‎ ‎（B），‎ ‎ (C) ，，共面 ‎ ‎（D），，共点，，共面 ‎（浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ‎（浙江）下列命题中错误的是 ‎ ‎ A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C．如果平面，平面，，那么 ‎ D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎（重庆）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎（A） （B） (C) (D) ‎ ‎（天津）一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________‎ ‎（四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ ‎（上海）若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。‎ ‎（全国新）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。‎ ‎（全国2）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】选B.‎ 作示意图如，由圆M的面积为4，易得，‎ 中，。‎ 故.‎ ‎（全国2）己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B‎2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ ‎【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.‎ ‎【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。‎ ‎（福建）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。‎ ‎（辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． ‎ ‎（重庆）如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，‎ ‎.‎ ‎ （Ⅰ）若，，求四面体的体积；‎ ‎ (Ⅱ) 若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎（四川）如图，在直三棱柱AB-A1B‎1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一 P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．‎ ‎(I)求证：CD=C1D：‎ ‎(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ‎ ‎(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．‎ ‎（浙江）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2‎ ‎（Ⅰ）证明：AP⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。‎ 本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ 方法一： （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系O—xyz则，‎ ‎，由此可得，所以 ‎，即 ‎（II）解：设 设平面BMC的法向量，平面APC的法向量 由得 即 由即得 由解得，故AM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。‎ 方法二：（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得又平面ABC，得 因为，所以平面PAD，故 ‎（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在 在，在所以 在又 从而PM，所以AM=PA-PM=3。‎ 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。‎ ‎（上海）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。‎ ‎⑴ 设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。‎ 求证：；‎ ‎⑵ 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。‎ 解：设正四棱柱的高为。‎ ‎⑴ 连，底面于，∴ 与底面所成的角为，即 ‎∵ ，为中点，∴，又，‎ ‎∴ 是二面角的平面角，即 ‎∴ ，。‎ ‎⑵ 建立如图空间直角坐标系，有 设平面的一个法向量为，‎ ‎∵ ，取得 ‎∴ 点到平面的距离为，则。‎ ‎（天津）如图，在三棱柱中，‎ 是正方形的中心，，平面，且 ‎（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的 长．‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.‎ ‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.‎ ‎ 依题意得 ‎ ‎ ‎ （I）解：易得，‎ ‎ 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎ （II）解：易知 设平面AA‎1C1的法向量，‎ ‎ 则即 不妨令可得，‎ ‎ 同样地，设平面A1B‎1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而 所以二面角A—A1C1—B的正弦值为 ‎ （III）解：由N为棱B‎1C1的中点，得设M（a，b，0），则 由平面A1B1C1，得即 解得故因此，所以线段BM的长为 方法二：‎ ‎（I）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.‎ 因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得 因此 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，‎ 又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点A作于点R，‎ 连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.‎ 在中，连接AB1，在中，‎ ‎，‎ 从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为 ‎（III）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，‎ 所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故 又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则 由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.‎ 在中，所以可得 连接BM，在中，‎ ‎（陕西）如图，在中，是上的高，沿把折起，使 。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；‎ ‎（Ⅱ ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与　夹角的余弦值。‎ 解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，‎ ‎∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，‎ 又DBＤＣ＝Ｄ，‎ ‎∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，‎ ‎∵AD 平面平面BDC.‎ ‎（Ⅱ ）由∠ ＢＤＣ＝及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以，，所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，，0），‎ ‎=，‎ ‎=（1，0,0,），‎ 与夹角的余弦值为 ‎＜，＞=.‎ ‎（山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ  ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.‎ ‎（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ上的中点，求证：ＧＭ  ∥平面ＡＢＦＥ;‎ ‎（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ-２ＡＥ,求平面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．‎ ‎（全国新）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明：PA⊥BD；‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD ‎（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ‎,,,。‎ 设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=‎ 设平面PBC的法向量为m，则 ‎ 可取m=（0，-1，） ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎ ‎（全国2）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ)求与平面所成角的大小.‎ ‎【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1，，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证 又，因此，.‎ ‎（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，‎ A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),‎ 可计算平面SBC的一个法向量是 ‎.‎ 所以AB与平面SBC所成角为.‎ ‎（辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=P D．‎ ‎ （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎ （II）求二面角Q—BP—C的余弦值．‎ 解：‎ 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.‎ 则 所以 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ （II）依题意有B（1，0，1），‎ 设是平面PBC的法向量，则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量，则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎（广东）如图5，在椎体中，是便常委边长为1的棱形，且,,分别是的中点，‎ ‎（1） 证明：‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎（江西）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面 ，使得（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；‎ ‎ （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i=1,2,3,4），求该正四面体的体积.‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ （1）将直线三等分，其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面，分别过，即为。同理，过点作平面即可的出结论。‎ ‎ （2）现设正方体的棱长为a,若，，‎ ‎，由于得，，‎ 那么，正四面体的棱长为，其体积为（即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）‎ ‎（湖南）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ 解：（I）连接，因为,为的中点，所以.‎ 又因为内的两条相交直线，所以而，所以。‎ ‎（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.‎ 在平面中，过作连接,则有，‎ 从而，所以是二面角的平面角．‎ 在 在 在 在,所以。‎ 故二面角的余弦值为。‎ ‎（江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，‎ AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；‎ （2） 平面BEF⊥平面PAD ‎（湖北）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合.‎ ‎（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值.‎ ‎（福建）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.‎ ‎（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（II）设AB=AP.‎ ‎ （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；‎ ‎ （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。‎ ‎（北京）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面 ‎ （Ⅱ）若求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎ 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，‎ 所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.‎ 所以PA⊥BD.‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O.‎ 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,‎ 所以BO=1，AO=CO=.‎ 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.‎ 所以 设PB与AC所成角为，则 ‎.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 设P（0，－，t）（t>0），‎ 则 设平面PBC的法向量,‎ 则 所以 令则 所以 同理，平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC,‎ 所以=0，即 解得 所以PA=‎ ‎（江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；平面BEF⊥平面PAD ‎（江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。‎ P ‎（安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明直线∥；‎