江苏数学高考试卷含答案和解析

江苏数学高考试卷含答案和解析

‎2011年江苏数学高考试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=　_________　．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是　_________　．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是　_________　．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是　_________　．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=　_________　．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知，则的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=　_________　．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是　_________　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共9小题，满分120分）‎ ‎15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c ‎（1）若，求A的值；‎ ‎（2）若，求sinC的值．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：‎ ‎（1）直线EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致 ‎（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）都成立 ‎（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；‎ ‎（2）设M={3，4}，求数列{an}的通项公式．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2 ）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB上）．求证：AB：AC为定值． ‎ B．选修4﹣2：矩阵与变换 已知矩阵，向量．求向量，使得A2=． ‎ C．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．‎ D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 解不等式：x+|2x﹣1|＜3．‎ ‎　‎ ‎22．（10分） 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；‎ ‎（2）当 时，求CM 的长．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．‎ ‎（1）记An 为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求An；‎ ‎（2）记Bn 为满足 是整数的点P 的个数，求Bn．‎ ‎　‎ ‎2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=　{﹣1，2}　．‎ 考点：‎ 交集及其运算．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：‎ 解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，‎ ‎∴A∩B={﹣1，2}‎ 故答案为：{﹣1，2}‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是　（﹣，+∞）　．‎ 考点：‎ 对数函数的单调性与特殊点．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．‎ 解答：‎ 解：要使函数的解析有有意义 则2x+1＞0‎ 故函数的定义域为（﹣，+∞）‎ 由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数 故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增 故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是 （﹣，+∞）‎ 故答案为：（﹣，+∞）‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R的错解．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是　1　．‎ 考点：‎ 复数代数形式的混合运算．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．‎ 解答：‎ 解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，‎ 所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；‎ 故答案为：1‎ 点评：‎ 本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为　3　．‎ 考点：‎ 伪代码．4664233‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算分段函数 m=的值，‎ ‎∵a=2＜b=3，‎ ‎∴m=3‎ 故答案为：3‎ 点评：‎ 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是　　．‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．‎ 解答：‎ 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，‎ 有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；‎ 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；‎ 则其概率为=；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=　3.2　．‎ 考点：‎ 极差、方差与标准差．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．‎ 解答：‎ 解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，‎ ‎∴收到信件数的平均数是=7，‎ ‎∴该组数据的方差是，‎ 故答案为：3.2‎ 点评：‎ 本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知，则的值为　　．‎ 考点：‎ 二倍角的正切；两角和与差的正切函数．4664233‎ 专题：‎ 计算题；方程思想．‎ 分析：‎ 先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．‎ 解答：‎ 解：∵，‎ ‎∴=2，‎ 解得tanx=；‎ ‎∴tan2x===‎ ‎∴==‎ 故答案为 点评：‎ 本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　4　．‎ 考点：‎ 两点间距离公式的应用．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．‎ 解答：‎ 解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，‎ 而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），‎ ‎∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，‎ 故答案为：4‎ 点评：‎ 本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=　　．‎ 考点：‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．4664233‎ 专题：‎ 计算题；数形结合．‎ 分析：‎ 根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．‎ 解答：‎ 解：由的图象可得函数的周期T满足 ‎=‎ 解得T=π=‎ 又∵ω＞0，故ω=2‎ 又∵函数图象的最低点为（，﹣）点 故A=‎ 且sin（2×+φ）=﹣‎ 即+φ=‎ 故φ=‎ ‎∴f（x）=sin（2x+）‎ ‎∴f（0）=sin=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为　　．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．‎ 解答：‎ 解：∵是夹角为的两个单位向量 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 解得 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．‎ 考点：‎ 函数的值；分段函数的应用．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．‎ 解答：‎ 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1‎ ‎∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去 当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1‎ ‎∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=‎ 故答案为 点评：‎ 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　　．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．‎ 解答：‎ 解：设切点坐标为（m，em）‎ ‎∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）‎ 令x=0，解得y=（1﹣m）em 过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）‎ 令x=0，解得y=em+me﹣m ‎∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）em+me﹣m]‎ t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1‎ 当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0‎ ‎∴当m=1时t取最大值 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是　　．‎ 考点：‎ 等差数列与等比数列的综合．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．‎ 解答：‎ 解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，‎ ‎∴a6=a2+2≥3，‎ ‎∴a6的最小值为3，‎ ‎∴a7的最小值也为3，‎ 此时a1=1且a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，必有q＞0，‎ ‎∴a7=a1q3≥3，‎ ‎∴q3≥3，q≥，‎ 方法2：‎ 由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，得，所以，即q3‎ ‎﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，‎ 故q的最小值是：．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是　[，2+]　．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．‎ 解答：‎ 解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥‎ 当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；‎ 则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，‎ 又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，‎ 当m≥时，有||≤m或||≤m，‎ 解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，‎ 又由m≥，则m的范围是[，2+]；‎ 综合可得m的范围是[，2+]；‎ 故答案为[，2+]．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．‎ ‎　‎ 二、解答题（共9小题，满分120分）‎ ‎15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c ‎（1）若，求A的值；‎ ‎（2）若，求sinC的值．‎ 考点：‎ 正弦定理；两角和与差的正弦函数．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．‎ ‎（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．‎ 解答：‎ 解：（1）因为，‎ 所以sinA=，‎ 所以tanA=，‎ 所以A=60°‎ ‎（2）由 及a2=b2+c2﹣2bccosA 得a2=b2﹣c2‎ 故△ABC是直角三角形且B=‎ 所以sinC=cosA=‎ 点评：‎ 本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：‎ ‎（1）直线EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD．‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．4664233‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD即可．‎ ‎（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．‎ 解答：‎ 证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．‎ 又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 所以直线EF∥平面PCD．‎ ‎（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．‎ 所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．‎ 又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．‎ 点评：‎ 本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ 考点：‎ 函数模型的选择与应用．4664233‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；‎ ‎（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．‎ 解答：‎ 解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．‎ ‎（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，‎ ‎∴当x=15时，S取最大值．‎ ‎（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），‎ 由V′=0得x=20，‎ 当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；‎ ‎∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，‎ 此时，．‎ 即此时包装盒的高与底面边长的比值是．‎ 点评：‎ 考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题．4664233‎ 专题：‎ 计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；‎ ‎（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．‎ 解答：‎ 解：（1）由题设知，a=2，b=，‎ 故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．‎ 由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，‎ 所以k=．‎ ‎（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，‎ 因此P（，），A（﹣，﹣）‎ 于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．‎ 因此，d=．‎ ‎（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，‎ A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．‎ 设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．‎ 因为C在直线AB上，所以k2=，‎ 从而kk1+1=2k1k2+1=2•=‎ ‎==．‎ 因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．‎ 点评：‎ 此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致 ‎（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；‎ ‎（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．‎ 解答：‎ 解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．‎ ‎（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，‎ 进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．‎ 故实数b的取值范围是[2，+∞）‎ ‎（2）令f'（x）=0，得x=．‎ 若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，‎ 所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．‎ 因此b≤0．‎ 现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；‎ 当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．‎ 因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，‎ 从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，‎ 又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．‎ 故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．‎ 点评：‎ 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）都成立 ‎（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；‎ ‎（2）设M={3，4}，求数列{an}的通项公式．‎ 考点：‎ 数列递推式；数列与函数的综合．4664233‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1）都成立，变形后，利用Sn+1﹣Sn=an+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；‎ ‎（2）当n大于k时，根据题意可得Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到an+2﹣an=an﹣an﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=an﹣an﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=an﹣an﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=an﹣an﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=an﹣an﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1），‎ 即（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=2S1，又a1=1，‎ 则an+1﹣an=2a1=2，又a2=2，‎ 所以数列{an}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，‎ 故当n≥2时，an=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，‎ 所以a5=8；‎ ‎（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，‎ 且n＞k时，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）①，且Sn+1+k+Sn+1﹣k=2（Sn+1+Sk）②，‎ ‎②﹣①得：（Sn+1+k﹣Sn+k）+（Sn+1﹣k﹣Sn﹣k）=2（Sn+1﹣Sn），‎ 即an+1+k+an+1﹣k=2an+1，可化为：an+1+k﹣an+1=an+1﹣an+1﹣k 所以n≥8时，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等差数列，且an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等差数列，‎ 从而当n≥8时，2an=an﹣3+an+3=an﹣6+an+6，（*）且an﹣2+an+2=an﹣6+an+6，‎ 所以当n≥8时，2an=an﹣2+an+2，即an+2﹣an=an﹣an﹣2，‎ 于是得到当n≥9时，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等差数列，从而an﹣3+an+3=an﹣1+an+1，‎ 由（*）式可知：2an=an﹣1+an+1，即an+1﹣an=an﹣an﹣1，‎ 当n≥9时，设d=an﹣an﹣1，‎ 则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2an+6=an+an+12，得到2an+7=an+1+an+13，‎ 两式相减得：2（an+7﹣an+6）=an+1﹣an+（an+13﹣an+12），‎ 则an+1﹣an=2d﹣d=d，‎ 因此，an﹣an﹣1=d对任意n≥2都成立，‎ 又由Sn+k+Sn﹣k﹣2Sn=2Sk，可化为：（Sn+k﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣k）=2Sk，‎ 当k=3时，（Sn+3﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，‎ 两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，‎ 因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，‎ 则数列{an}为等差数列，由a1=1可知d=2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2 ）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB上）．求证：AB：AC为定值． ‎ B．选修4﹣2：矩阵与变换 已知矩阵，向量．求向量，使得A2=． ‎ C．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．‎ D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 解不等式：x+|2x﹣1|＜3．‎ 考点：‎ 椭圆的参数方程．4664233‎ 专题：‎ 数形结合；转化思想．‎ 分析：‎ A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．‎ B、设向量=，由 A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．‎ C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式 求得所求直线的方程．‎ D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，‎ 再把解集取并集．‎ 解答：‎ 解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，‎ ‎∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2 为定值． ‎ B、A2==，设向量=，由 A2= 可得 ‎=，∴，解得 x=﹣1，y=2，‎ ‎∴向量=．‎ C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），‎ 直线（t为参数） 即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为 y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．‎ D、原不等式可化为 ，或，‎ 解得 ≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}．‎ 点评：‎ 本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．‎ ‎　‎ ‎22．（10分） 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；‎ ‎（2）当 时，求CM 的长．‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．4664233‎ 专题：‎ 综合题；压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．‎ ‎（2）利用cos=以及，求出CM 的长．‎ 解答：‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A（1，0，0），A1（1，0，2），‎ N（，1，0），M（0，1，t）；‎ 所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）‎ 设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，‎ 即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），‎ 设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，‎ 即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），‎ ‎（1）因为θ=90°，所以 解得t=从而M（0，1，），‎ 所以AM=‎ ‎（2）因为，所以，‎ cos==‎ 因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=‎ 根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．‎ 点评：‎ 本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．‎ ‎（1）记An 为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求An；‎ ‎（2）记Bn 为满足 是整数的点P 的个数，求Bn．‎ 考点：‎ 数列递推式．4664233‎ 专题：‎ 综合题；压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）An 为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与An中元素个数有关，直接写出An的表达式即可．‎ ‎（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论fn（k）≥1的情形，推出fn（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，‎ 然后求出Bn．‎ 解答：‎ 解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以An=n﹣3；‎ ‎（2）设k为正整数，记fn（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论fn（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，‎ 知fn（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以 Bn===mn﹣=‎ 将m=代入上式，化简得Bn=‎ 所以Bn=‎ 点评：‎ 本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．‎ ‎　‎