高考试题与答案全国卷数学理

高考试题与答案全国卷数学理

绝密★启用前 ‎ ‎ 2006年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ‎ P (A+B) =P (A) +P (B) ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ P (A·B) = P (A)·P (B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ‎ 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题 ‎（1）已知集合，则 ‎（A）φ （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是 ‎ （A）2π （B）4π （C） （D）‎ ‎（3）‎ ‎ （A） （B） （C）i （D）－i ‎（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ‎ （A） （B）6 （C） （D）12‎ 13‎ ‎（6）函数的反函数为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β 所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂 线，垂足为，则AB：=‎ ‎ （A）2：1 （B）3：1‎ ‎ （C）3：2 （D）4：3‎ ‎（8）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）若 ‎ （A） （B）3 ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（11）设是等差数列的前n项和，若，则 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）函数的最小值为 ‎ （A）190 （B）171 （C）90 （D）45‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：‎ 本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。答在试卷上的答案无效 13‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡上。‎ ‎（13）在的展开式中常数项是 。（用数字作答）‎ ‎（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为 。‎ ‎（15）过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= 。‎ ‎（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出 人。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量 ‎ （Ⅰ）若求；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值。‎ 13‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设AA1=AC=求二面角A1－AD－C1的大小.‎ 13‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设函数若对所有的≥0，都有≥ax成立.求实数a的取 值范围.‎ 13‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.‎ ‎（Ⅰ）证明为定值；‎ ‎（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值.‎ 13‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 设数列的前n项和为，且方程 有一根为 ‎（Ⅰ）求 ‎（Ⅱ）求的通项公式.‎ 13‎ ‎2006的普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修II）参考答案及评分参考 评分说明：‎ ‎ 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎ 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎ 4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.‎ 一．选择题 ‎ （1）D （2）D （3）A （4）A （5）C （6）B ‎ ‎ （7）A （8）D （9）A （10）C （11）A （12）C 二．填空题 ‎ （13）45 （14） （5） （6）25‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎ （I）若，则 ………………2分 ‎ 由此得，‎ ‎ 所以； ………………4分 ‎（II）由得 ‎ ‎ ‎ ………………10分 当取得最大值，即当时，的最大值为.‎ ‎………12分 ‎（18）解：‎ ‎（I）ξ可能的取值为0，1，2，3.‎ 13‎ ‎ ‎ ‎ …………8分 ‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ （II）所求的概率为…………12分 ‎（19）解法一：‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎（I）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B. 所以EO DB，‎ ‎ EOBD为平行四边形，ED∥OB. …………2分 ‎ ∵AB=BC，∴BO⊥AC，‎ ‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABD，故BC⊥平面ACC1A1，‎ ‎ ∴ED⊥平面ACC1A1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分 ‎（II）连结A1E. 由AA1=AG=AB可知，A1ACC1为正方形，‎ ‎ ∴A1E⊥AC1. 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，‎ ‎ ∴A1E⊥平面ADC1. 作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，则A1F⊥AD，‎ ‎ ∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角.‎ ‎ 不妨设AA1=2，‎ ‎ 则AC=2，AB=. ED=OB=1，EF=，tan∠A1FE=，‎ ‎ ∴∠A1FE=60°.‎ ‎ 所以二面角A1—AD—C1为60°.………………12分 解法二：‎ ‎ （I）如图，建立直角坐标系O—xyz，其中原点O为AC的中点.‎ ‎ 设 ‎ 则………3分 13‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线. …………6分 ‎ （II）不妨设A（1，0，0）， ‎ ‎ 则B（0，1，0），C（－1，0，0），A1（1，0，2），‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ，‎ ‎ . ………………10分 ‎ ，即得的夹角为60°.‎ ‎ 所以二面角A1—AD—C1为60°. …………12分 ‎（20）解法一：‎ ‎ 令，‎ ‎ 对函数求导数：，‎ ‎ 令解得 …………5分 ‎ （i）当时，对所有，上是增函数. 又 ‎ 所以对，有，‎ ‎ 即当时，对于所有，都有.‎ ‎ （ii）当，‎ ‎ 又，‎ ‎ 即，‎ 所以，当 综上，的取值范围是 …………12分 13‎ 解法二：令，‎ 于是不等式成立即为成立. …………3分 对求导数得，‎ 令，解得 …………6分 当为减函数. ‎ 当 …………9分 要对所有都有充要条件为 由此得，即的取值范围是 …………12分 ‎（21）解：‎ ‎（I）由已条件，得F（0，1），.‎ ‎ 设 即得 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将①式两边平方并把代入得， ③‎ 解②、③式得，且有 抛物线方程为 求导得 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 即 解出两条切线的交点M的坐标为 …………4分 所以 ‎ ‎ =‎ 13‎ ‎ =0‎ 所以为定值，真值为0. ………………7分 ‎（II）由（I）知在△ABM中，FM⊥AB，因而 ‎ ‎ ‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=－1的距离，所以 ‎ |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=‎ ‎ 于是 ，………………11分 ‎ 由 ，‎ ‎ 且当时，S取得最小值4. ………………14分 ‎（22）解：‎ ‎（I）当n=1时，‎ ‎ 有一根为，‎ ‎ 解得 …………2分 ‎ 当n=2时，‎ ‎ 有一根为，‎ ‎ 解得 …………5分 ‎ （II）由题设，‎ ‎ 即 ‎ 当 ①‎ 13‎ ‎ 由（I）知，‎ ‎，‎ ‎ 由①可得 ‎ 由此猜想. …………8分 ‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎（i）n=1时已知结论成立.‎ ‎（ii）假设n=k时结论成立，即，‎ ‎ 当时，由①得，‎ ‎ 即，‎ 故时结论也成立.‎ 综上，由（i）、（ii）可知对所有正整数n都成立. …………10分 于是当时，，‎ 又时，，所以的通项公式为 ‎…………12分 13‎