2020届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用）
坐标系与参数方程
参数方程
· 曲线的参数方程定义
设平面上取定了一个直角坐标系 xOy，把坐标 x，y 表示为第三个变量 t 的函数
x=fty=gta⩽t⩽b. ②
如果对于 t 的每一个值（a⩽t⩽b ），② 式所确定的点 Mx,y 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点 Mx,y，都可由 t 的某个值通过 ② 式得到，则称 ② 式为该曲线的参数方程，其中变量 t 称为参数．
· 直线的参数方程
直线的参数方程的一般形式是 x=x0+lty=y0+mt,t∈R．
· 圆的参数方程
若圆心在点 M0x0,y0，半径为 R，则圆的参数方程为 x=x0+Rcosθy=y0+Rsinθ,0⩽θ⩽2π．
· 椭圆的参数方程
设椭圆的普通方程为 x2a+y2b=1，则椭圆的参数方程为
x=acosty=bsint 0⩽t⩽2π.
若椭圆的中心不在原点，而在点 M0x0,y0，相应的椭圆的参数方程为
x=x0+acosty=y0+bsint,0⩽
0），半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交于点 T，并且 AT=2a2a<r2．若半圆上相异两点 M，N 到 l 的距离 ∣MP∣，NQ 满足 MP:MA=NQ:NA=1，则 MA+NA=AB．
【解】 以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为 ρ=2rcosθ．
设 Mρ1,θ1，Nρ2,θ2，则 ρ1=2rcosθ1，ρ2=2rcosθ2，
又 MP=2a+ρ1cosθ1=2a+2rcos2θ1，NQ=2a+ρ2cosθ2=2a+2rcos2θ2，
所以 MP=2a+2rcos2θ1=2rcosθ1，
所以 NQ=2a+2rcos2θ2=2rcosθ2，
所以 cosθ1，cosθ2 是方程 rcos2θ-rcosθ+a=0 的两个根，由韦达定理得 cosθ1+cosθ2=1，
所以 MA+NA=2rcosθ+2rcosθ2=2r=AB．
13. 已知椭圆 x24+y23=1，过左焦点 F 的直线 l 交此椭圆于 A，B 两点，yA>yB，且 ∣FA∣=2∣FB∣，求直线 l 的方程及 ∣AB∣ 的长．
【解】 解法一：由椭圆 x24+y23=1 可得椭圆的左焦点 F 的坐标为 -1,0，则
设直线 AB 的参数方程为 x=-1+tcosα,y=tsinα,
α 为直线 AB 的倾斜角．
又点 A，B 在椭圆上，故 tA，tB 满足
3-1+tcosα2+4tsinα2=12，
即 3cos2α+4sin2αt2-6tcosα-9=0．
则 tA+tB=6cosα3cos2α+4sin2α，tAtB=-93cos2α+4sin2α．
因为 ∣FA∣=2∣FB∣，
所以 tA=-2tB，
所以 -tB=6cosα3cos2α+4sin2α，-2tB2=-93cos2α+4sin2α，
26cosα3cos2α+4sin2α2=93cos2α+4sin2α，
即 8cos2α=3cos2α+4sin2α，
则 tan2α=54．
因为 yA>yB 且 ∣FA∣=2∣FB∣，
故直线 l 的方程为 y=52x+1．
线段 AB 长度的计算见解法二．
解法二：以椭圆的左焦点 F 为极点，以 x 轴的正方向为极轴建立极坐标系，则
椭圆 x24+y23=1 对应的极坐标方程为 ρ=32-cosθ．
依题意，设 A，B 两点的极坐标分别为 ρA,θ，ρB,π+θ，则 0<θ<π2，ρA=2ρB．
32-cosθ=62+cosθ．
则 cosθ=23．
所以 tanθ=52，ρA=32-23=94，ρB=32+23=98．
故 ∣AB∣=ρA+ρB=278，直线 l 的方程为 y=52x+1．
14. 设抛物线 y2=2px 过顶点的两弦 OP1，OP2 互相垂直，求以 OP1，OP2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程．
【解】 设抛物线 y2=2px 的参数方程为 x=2pt2,y=2pt.
则 P1，P2 两点的坐标分别设 2pm2,2pm，2pn2,2pn．
因为 OP1，OP2 互相垂直，故 mn=-1．
以 OP1 为直径的圆的方程为 xx-2pm2+yy-2pm=0，即 x2-2pxm2+y2-2pym=0．
以 OP2 为直径的圆的方程为 xx-2pn2+yy-2pn=0，即 x2-2pxn2+y2-2pyn=0．
设以 OP1，OP2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的坐标为 x0,y0，则其满足
x02-2px0m2+y02-2py0m=0，
x02-2px0n2+y02-2py0n=0，
故 m，n 是方程 x02-2px0x2+y02-2py0x=0 的两个根．
由根与系数的关系，得 mn=x02+y02-2px0=-1．
故所求动点 Q 的轨迹方程为 x2+y2-2px=0x≠0．
15. 在极坐标中，已知圆 C 经过点 P(2,π4) ，圆心为直线 ρsin(θ-π3)=-32 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
【解】 在 ρsin(θ-π3)=-32 中，令 θ=0 ，得 ρ=1 ，所以圆 C 的圆心坐标为 (1，0) ．
因为圆 C 经过点 P(2，π4) ，所以圆 C 的半径
PC=(2)2+12-2×1×2cosπ4=1,
于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ．
16. 已知直线 C1:x=1+tcosα,y=tsinαt 为参数，圆 C2:x=cosθ,y=sinθθ 为参数．
(1)当 α=π3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
【解】 当 α=π3 时，C1 的普通方程为
y=3x-1,
C2 的普通方程为
x2+y2=1.
联立方程组
x2+y2=1,y=3x-1,
解得 C1 与 C2 的交点为
1,0 和 12,-32.
(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【解】 当 α≠kπ2,k∈Z 时，C1 的普通方程为
y=x-1tanα,
设 Px,y，则 A2x,2y，根据 A 在 C1 上及 OA 垂直于 C1 得
2y=2x-1tanα,2y2x=-1tanα,
消去 tanα 并整理，得 P 点轨迹的普通方程为
x-142+y2=116.
当 α=kπ2,k∈Z 时，仍适合上述方程．
故 P 点是圆心为 14,0，半径为 14 的圆．
17. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C1:x2+y2=4，圆 C2:x-22+y2=4．
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1 、 C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标（用极坐标表示）；
【解】 圆 C1 的极坐标方程为
ρ=2,
圆 C2 的极坐标方程为
ρ=4cosθ.
解方程组
ρ=2,ρ=4cosθ,
得
ρ=2,θ=±π3,
故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 2,π3,2,-π3．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
【解】 解法一：由
x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为
1,3,1,-3.
故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
x=1,y=t.
其中 -3⩽t⩽3.
解法二：将 x=1 代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 得
ρcosθ=1,
从而
ρ=1cosθ.
于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
x=1,y=tanθ,
其中 -π3⩽θ⩽π3.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 x=5cosφy=3sinφφ为参数 的右焦点，且与直线 x=4-2ty=3-tt为参数 平行的直线的普通方程．
【解】 椭圆的普通方程为 x225+y29=1, 右焦点为 4,0 ；
直线的普通方程为 2y-x=2， 斜率为 12 ；
故所求直线方程为
y=12x-4,
即
x-2y-4=0.
19. 已知在直角 xOy 坐标系中，圆 C 的参数方程为 x=3+2cosθy=-4+2sinθ（θ 为参数）．
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；
【解】 圆 C 的参数方程为 x=3+2cosθy=-4+2sinθ（θ 为参数），
所以普通方程为 x-32+y+42=4，
圆 C 化为极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
(2)已知 A-2,0，B0,2，圆 C 上任意一点 Mx,y，求 △ABC 面积的最大值．
【解】 点 Mx,y 到直线 AB：x-y+2=0 的距离为
d=∣2cosθ-2sinθ+9∣2
△ABM 的面积
S=12×∣AB∣×d=∣2cosθ-2sinθ+9∣=∣22sinπ4-θ+9∣
所以 △ABM 面积的最大值为 9+22．
20. 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区 ⋯ 十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 200 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置 A，请建立适当的坐标系，把点 A 的坐标求出来．
【解】 以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线 Ox 为极轴，
在地面上建立极坐标系，则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 203 m，
极轴 Ox 按逆时针方向旋转 17π16，就是 OA 在地平面上的射影，
A 距地面的高度为 2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置．
所以点 A 的柱坐标为 203,17π16,145．
参数方程
1. 已知两曲线参数方程分别为 x=5cosθ,y=sinθ0⩽θ<π 和 x=54t2,y=tt∈R，它们的交点坐标为 ．
【答案】 1,255
【分析】 x=5cosθy=sinθ 表示椭圆 x25+y2=1（-50，
故设 t1，t2 是上述方程的两个实数根，所以 t1+t2=4，t1t2=1，
A,B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
所以 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=4．
14. 边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动，顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧，记 ∠CAx=α，求顶点 C 的轨迹的参数方程．
【解】 过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，设点 C 的坐标为 x,y．
则由 x=OA+AD,y=DC,
得 x=acos2π3-α+acosα,y=asinα（α 为参数），
即为顶点 C 的轨迹方程．
15. 已知定直线 l 和线外一点 O，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转，如图所示），求点 P 的轨迹方程．
【解】 以 O 点为原点，过点 O 作 l 的垂线为 x 轴建立直角坐标系．
设点 O 到直线 l 的距离为 d（为定值，且 d>0），取 ∠NOQ=θ（θ 为参数），θ∈-π2,π2．
设动点 Px,y，在 Rt△OQN 中，
∵OQ=dcosθ，OP=OQ，∠NOP=θ+π3，
∴x=OPcosπ3+θ=dcosθ⋅cosπ3+θ=12-32tanθ⋅d，y=OP⋅sinπ3+θ=dcosθ⋅sinπ3+θ=32+12tanθ⋅d．
∴ 点 P 的参数方程为 x=12-32tanθd,y=32+12tanθd-π2<θ<π2．
消去参数 θ，得普通方程为 x+3y-2d=0．
16. 已知曲线 C1：x=2cosθ,y=2sinθ（θ 为参数），曲线 C2：x=1+tcosα,y=-1+tsinα（t 为参数）
(1)若 α=π4，求曲线 C2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
【解】 因为 α=π4，
所以 x=1+22t,y=-1+22t（t 为参数），
所以 x-1=y+1，
所以曲线 C2 的普通方程是 y=x-2，它表示过点 1,-1，倾斜角为 π4 的直线．
(2)曲线 C1 和曲线 C2 的交点分别记为 M，N，求 MN 的最小值．
【解】 曲线 C1 的普通方程为 x2+y2=4．
将 x=1+tcosα,y=-1+tsinα（t 为参数）代入 x2+y2=4 中得 1+tcosα2+-1+tsinα2=4，则 t2+2cosα-sinαt-2=0，
设 t1，t2 为方程的两个根，则有 MN=t1-t2=t1+t22-4t1t2=4cosα-sinα2+8=12-4sin2α，
所以当 sin2α=1 时，MN 的最小值为 22．
17. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x=12t2y=14t（t 为参数），若曲线 C 与直线 l：y=12x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．
【解】 将曲线 C 的参数方程 x=12t2y=14t 化为普通方程得 x=8y2，
由方程组 x=8y2x=2y，解得 x=0y=0 或 x=12y=14．
所以 A0,0，B12,14 或 A12,14，B0,0，
所以 AB=122+142=54．
18. 设圆的半径为 4，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O，记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 y 的最大值．
【解】 依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为 x=4φ-sinφ,y=41-cosφφ为参数且0⩽φ⩽2π．
其曲线是摆线的第一拱 0⩽φ⩽2π，如下图所示：
易知，当 x=4π 时，y 有最大值 8．
19. 已知 acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c，ab≠0,α-β≠kπ,k∈Z，求证：cos2α-β2=c2a2+b2．
【解】 设直线 l:ax+by=c，圆 C:x=cosθy=sinθ，则
Acosα,sinα，Bcosβ,sinβ 是直线 l 与圆 C 的两个交点，设 OM⊥AB 于 M．
从而
∣AB∣2=cosα-cosβ2+sinα-sinβ2=2-2cosα-β;
又 OM=∣c∣a2+b2；OM2+12AB2=OA2，
所以 c2a2+b2+2-2cosα-β4=1，
整理得 1+cosα-β2=c2a2+b2，
即 cos2α-β2=c2a2+b2．
20. 平面直角坐标系中，若圆的摆线过点 1,0，求这条摆线的参数方程．
【解】 令 r1-cosφ=0，可得 cosφ=1，
所以 φ=2kπk∈Z 代入可得 x=r2kπ-sin2kπ=1．
所以 r=12kπ．
又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0．
所以应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N*．
所以所求摆线的参数方程是 x=12kπφ-sinφ,y=12kπ1-cosφ（φ 为参数）（其中 k∈N*）．
极坐标与极坐标方程
1. 在极坐标系中，点 2,π4 到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为 ．
【答案】 1
2. 已知两点的极坐标 A3,π2，B3,π6，则 AB= ，BA 与极轴正方向所夹角的大小为 ．
【答案】 3；5π6
3. 在极坐标系中，曲线 C1:ρ2cosθ+sinθ=1 与曲线 C2:ρ=aa>0 的一个交点在极轴上，则 a= ．
【答案】 22
4. 圆 ρ=2cosθ 的半径是 ．
【答案】 1
5. 若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ．
【答案】 x2+y2-4x-2y=0
6. 在极坐标系中，直线 l 过点 A3,π3，B3,π6，则直线 l 向上的方向与极轴正方向的夹角等于 ．
【答案】 3π4
7. 在极坐标系 ρ,θ 0⩽θ<2π 中，曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的极坐标为 ．
【答案】 2,34π
【分析】 两条曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的普通方程分别为 x2+y2=2y 与 x=-1，交点坐标为 -1,1 ，对应的极坐标为 2,34π ．
8. 已知曲线 C 的参数方程为 x=2+cosθ，y=sinθ（θ 为参数），则曲线上 C 的点到直线 3x-4y+4=0 的距离的最大值为 ．
【答案】 3
【分析】 曲线上 C 的点到直线 d=32+cosθ-4sinθ+432+42=10+3cosθ-4sinθ5⩽3，距离的最大值为3．
9. 极坐标方程 ρ=cosπ4-θ 所表示的曲线是 ．
【答案】 圆
10. 如图所示的极坐标系中，以 M4,π6 为圆心，半径 r=1 的圆 M 的极坐标方程是 ．
【答案】 ρ2-8ρcosθ-π6+15=0
【分析】 依题意，题中的圆 M 的圆心的直角坐标是 23,2，因此圆 M 的直角坐标方程是 x-232+y-22=1，即 x2+y2-43x-4y+15=0，相应的极坐标方程是 ρ2-43ρcosθ-4ρsinθ+15=0，即 ρ2-8ρcosθ-π6+15=0．
(1)求过 A2,π4 平行于极轴的直线的极坐标方程；
【解】
如图所示，在直线 l 上任意取点 Mρ,θ．
因为 A2,π4，
所以 ∣MH∣=2⋅sinπ4=2．
在 Rt△OMH 中，MH=OMsinθ，即 ρsinθ=2，
所以过 A2,π4 平行于极轴的直线方程为 ρsinθ=2．
(2)直线 l 过点 A3,π3，且向上的方向与极轴正方向成 3π4，求直线 l 的极坐标方程．
【解】
如图所示，A3,π3，OA=3，∠AOB=π3，由已知 ∠MBx=3π4，
所以 ∠OAB=3π4-π3=5π12．
所以 ∠OAM=π-5π12=7π12．
又 ∠OMA=∠MBx-θ=3π4-θ，
在三角形 MOA 中，根据正弦定理，得 3sin3π4-θ=ρsin7π12．
因为 sin7π12=sinπ4+π3=2+64，将 sin3π4-θ 展开，化简上面的方程，可得 ρsinθ+cosθ=332+32．
所以，过 A3,π3 且和极轴成 3π4 的直线方程为 ρsinθ+cosθ=332+32．
12. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=t2,y=t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ-4=0．
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
【解】 曲线 C1 的参数方程为 x=t2,y=t（t 为参数）普通方程为 y2=x，
将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式化简得 ρsin2θ=cosθ，
即 C1 的极坐标方程为 ρsin2θ-cosθ=0．
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ⩾0，0⩽θ<2π）．
【解】 曲线 C2 的极坐标方程 ρ2+2ρcosθ-4=0 化为平面直角坐标方程为 x2+y2+2x-4=0，
将 y2=x 代入上式得 x2+3x-4=0，解得 x=1，x=-4（舍去）．
当 x=1 时，y=±1，所以 C1 与 C2 交点的平面直角坐标为 A1,1，B1,-1．
因为 ρA=1+1=2，ρB=1+1=2，tanθA=1，tanθB=-1，ρ⩾0，0⩽θ<2π，
所以 θA=π4，θB=7π4，
故 C1 与 C2 交点的极坐标 A2,π4，B2,7π4．
13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 C1 的参数方程为 x=2cosα+3,y=2sinα+1.（α 为参数），曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ．
(1)求曲线 C1 的极坐标方程；
【解】 由 x=2cosα+3,y=2sinα+1. 得 x-3=2cosα,y-1=2sinα.
C2 的直角坐标方程是 x-32+y-12=4，即 x2+y2-23x-2y=0，
由 ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ 得
曲线 C2 的极坐标方程 ρ2=2ρ3cosθ+sinθ，
ρ=4cosθ-π6．
(2)若射线 θ=π6ρ⩾0 交曲线 C1 和 C2 于 A，B（A，B 异于原点），求 ∣AB∣．
【解】 设 Aρ1,θ1，Bρ2,θ2，
将 θ=π6 代入曲线 C1 的极坐标方程 ρ=4cosθ-π6 得 ρ1=4，
同理将 θ=π6 代入曲线 C2 的极坐标方程 ρ=2cosθ 得 ρ2=3，
所以 ∣AB∣=∣ρ1-ρ2∣=4-3．
14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点 O，A，B，C，D，E，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标（限定 ρ⩾0，0⩽θ<2π 且极点为 0,0）
【解】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox（单位长度为 1 m），建立极坐标系，如图所示．
由 OB=600 m，∠AOB=30∘，∠OAB=90∘，得 AB=300 m，OA=3003 m，
同样求得 OD=2OF=3002 m，
所以各点的极坐标分别为 O0,0，A3003,0，B600,π6，C300,π2，D3002,3π4，E300,π，F1502,3π4．
15. 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 C3,π6，半径为 1，Q 点在圆周上运动，O 为极点．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
【解】 如图所示，
设 Mρ,θ 为圆 C 上任意一点，在 △COM 中，CM=1，∠COM=θ-π6，根据余弦定理得
1=ρ2+9-2⋅ρ⋅3⋅cosθ-π6,
化简整理得 ρ2-6⋅ρ⋅cosθ-π6+8=0，即为圆 C 的极坐标方程．
(2)若 P 在直线 OQ 上运动，且满足 OQQP=23，求动点 P 的轨迹方程．
【解】 设 Qρ1,θ1，则有
ρ12-6⋅ρ1cosθ1-π6+8=0. ⋯⋯①
设 Pρ,θ，则
OQ:QP=ρ1:ρ-ρ1=2:3 或 OQ:QP=ρ1:ρ1+ρ=2:3,
当 ρ1=25ρ 时，又 θ1=θ，即 ρ1=25ρ,θ1=θ, 代入 ① 得
425ρ2-6⋅25ρ⋅cosθ-π6+8=0,
整理得 ρ2-15ρcosθ-π6+50=0 即为 P 点的轨迹方程．
当 ρ1=2ρ 时，又 θ1=θ-π，同理可得
ρ2+3ρ⋅cosθ-π6+2=0.
所以点 P 的轨迹方程为 ρ2-15ρ⋅cosθ-π6+50=0 或 ρ2+3ρcosθ-π6+2=0．
16. 在直角坐标系 xOy 中，直线经过点 P-1,0，其倾斜角为 α，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcosθ+5=0．
(1)若直线与曲线 C 有公共点，求 α 的取值范围；
【解】 将 C 的极坐标方程 ρ2-6ρcosθ+5=0 化为直角坐标为 x2+y2-6x+5=0，
直线的参数方程为 x=-1+tcosα,y=tsinα（t 为参数），
将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t2-8tcosα+12=0，
直线与曲线有公共点，
所以 Δ=64cos2α-48⩾0，得 cosα⩾32 或 cosα⩽-32．
因为 α∈0,π，
所以 α 的取值范围为 0,π6∪5π6,π．
(2)设 Mx,y 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围．
【解】 曲线 C 的方程 x2+y2-6x+5=0 化为 x-32+y2=4，
其参数方程为 x=3+2cosθ,y=2sinθ（θ 为参数），
Mx,y 为曲线 C 上任意一点，
所以 x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+22sinθ+π4．
x+y 的取值范围是 3-22,3+22．
17. 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+22ρsinθ-π4-4=0，求圆心的极坐标．
【解】 以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy，
圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0，
则圆 C 的直角坐标系方程为 x2+y2-2x+2y-4=0，即 x-12+y+12=6，
于是圆心的直角坐标为 1,-1，则其极坐标为 2,7π4．
18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x=2+2cosθy=2sinθ（θ 为参数）．在极坐标系（直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 ρsinθ+π4=22．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
【解】 由 x=2+2cosθ,y=2sinθ, 得圆 C 的直角坐标方程为 x-22+y2=4，
即 x2+y2-4x=0．
化为极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ=0，即 ρ=4cosθ．
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求 ∣AB∣．
【解】 展开 ρsinθ+π4=22 得：
ρsinθ⋅22+ρcosθ⋅22=22，
所以直线 l 的普通方程为 x+y-4=0．
由（1）知圆 C 的圆心坐标为 2,0，半径 r=2，
所以圆心 2,0 到直线 l 的距离 d=∣2+0-4∣2=2．
所以 r2=d2+∣AB∣22．
所以 ∣AB∣=22．
19. 在极坐标系中，求圆 ρ=2cosθ 的圆心到直线 2ρsinθ+π3=1 的距离．
【解】 将圆 ρ=2cosθ 化为普通方程为 x2+y2-2x=0，圆心为 1,0，又 2ρsinθ+π3=1，即 2ρ12sinθ+32cosθ=1，
所以直线的普通方程为 3x+y-1=0，
故所求的圆心到直线的距离 d=3-12．
20. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ-π3=1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标．
【解】 由 ρcosθ-π3=1 得 ρ12cosθ+32sinθ=1．
从而 C 的直角坐标方程为 12x+32y=1，即
x+3y=2.
θ=0 时，ρ=2，所以 M2,0．
θ=π2 时，ρ=233，所以 N233,π2．
课后练习
1. 将函数 y=x-2 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象．
2. 如图，过点 A 作边长为 3 的等边 △ABC，BC 边上的高为 AD．设 △ABC 的外接圆为圆 M，现以顶点 A 为极点，以射线 AD 为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点 P 的极坐标 ρ,θ 满足：ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则图中，
（1）点 C 的极坐标为 ；
（2）圆 M 的极坐标方程为 ；
（3）直线 BC 的极坐标方程为 ．
3. 在同一坐标系中，将曲线 y=3sin2x 变为曲线 yʹ=sinxʹ 的伸缩变换是 ．
4. 已知直线 l 的参数方程为 x=4ty=1+3t（t 为参数），圆 C 的参数方程为 x=2+cosθy=sinθ（θ 为参数），则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 ．
5. 在极坐标系中，曲线 ρ=2 与 cosθ+sinθ=00⩽θ⩽π 的交点的极坐标为 ．
6. 已知直线 l1 的参数方程为 x=1+2t,y=3-2t, 则
（1）直线 l1 的倾斜角 α= ；
（2）直线 l1 与直线 l2：x=2-t,y=1-t 的交点坐标为 ；
（3）点 P-2,-1 到直线 l1 的距离为 ．
7. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρsinθ-π6=3，点 A2,π3 到曲线 C 上点的距离的最小值 ．
8. 在极坐标系 ρ,θ（0⩽θ⩽2π）中，曲线 ρcosθ+sinθ=1 与 ρsinθ-cosθ=1 的交点的极坐标为 ．
9. 若直线 3x+4y+m=0 与圆 x=1+cosθy=-2+sinθ（θ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 ．
10. 将极坐标方程 ρ=cosπ4-θ 化为直角坐标方程是 ．
11. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 x=t+3y=3-t（参数 t∈R），圆的参数方程为 x=2cosθy=2sinθ+1（参数 θ∈0,2π），则圆心到直线 l 的距离为 ．
12. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 x=1+s,y=1-s,s为参数，曲线 C 的参数方程为 x=t+2,y=t2,t为参数，若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，则 ∣AB∣=
13. 若点 Px,y 在曲线 x=-2+cosθ,y=sinθ（θ 为参数）上，则 yx 的取值范围是 ．
14. 若圆 C 的参数方程为 x=3cosθ+1,y=3sinθ.（θ 为参数），则圆 C 的圆心坐标为 ，圆 C 与直线 x+y-3=0 的交点个数为 ．
15. 曲线 x=4cosθ,y=23sinθ（θ 为参数）上一点 P 到点 A-2,0,B2,0 的距离之和为 ．
16. 已知动直线 l 平分圆 C：x-22+y-12=1 ，则直线 l 与圆 O：x=3cosθy=3sinθ ( θ 为参数)的位置关系是 ．
17. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1: x=t+1,y=1-2t（t 为参数）与曲线 C2: x=asinθ,y=3cosθ（θ 为参数，a>0）有一个公共点在 x 轴上，则 a= ．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=ty=t+1 参数t∈R ，圆 C 的参数方程为x=cosθ+1y=sinθ 参数θ∈0,2π ，则圆心到直线 l 的距离是 ．
19. 直线 x=3+tsin40∘,y=-1+tcos40∘（t 为参数）的倾斜角为 ．
20. 直线 x=2-12t,y=-1+12t,（t 为参数）被圆 x2+y2=4 截得的弦长为 ．
21. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为 x225+y216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过椭圆 C 的右焦点，且垂直于 x 轴的直线的极坐标方程为 ．
22. 在极坐标系中，直线 ρ2cosθ+sinθ=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）
23. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ3cosθ-4sinθ=1 ，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 ．
24. 在极坐标系中，点 m,π6m>1 到直线 ρcosθ-π6=3 的距离为 2，则 m 的值为 ．
25. 在平面直角坐标系中，当 Px,y 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹyx2+y2,-xx2+y2；
当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 Cʹ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” Cʹ 关于 y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
26. 在平面直角坐标系中，当 Px,y 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹyx2+y2,-xx2+y2；
当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A；
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
27. 在极坐标系中，曲线 C1:ρ=2cosθ，曲线 C2:θ=π4，若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点，则线段 AB= ．
28. 在极坐标系中， O 是极点，设点 A(4,π3) ， B(5,-5π6) ，则 △OAB 的面积是 ．
29. 极坐标系内，点 1,π2 到直线 ρcosθ=2 的距离是 ．
30. 过点 P2,π3 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ．
31. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0 ，曲线 C 的参数方程为 x=3cosαy=sinαα为参数 ．
(1)已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 4,π2 ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．
32. 在极坐标系中，已知圆 C 的方程是 ρ=4，直线 l 的方程是 ρsinθ+π6=3，求圆 C 上一点到直线 l 的距离的最大值．
33. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=3-22t,y=5-22tt为参数. 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ=25sinθ.
(1)求圆 C 的直角坐标方程；
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ，若点 P 的坐标为 3,5 ，求 ∣PA∣+∣PB∣ ．
34. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=cosφ,y=sinφ（φ 为参数），曲线 C2 的参数方程为 x=acosφ,y=bsinφ（a>b>0，φ 为参数）．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=α 与 C1，C2 各有一个交点，当 α=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2 时，这两个交点重合．
(1)分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；
(2)设当 α=π4 时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1，当 α=-π4 时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积．
35. 由抛物线 y2=2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数形式）．
36. 化圆锥曲线的极坐标方程 ρ=ep1-ecosθ 为直角坐标方程．
37. 已知曲线 C 的参数方程为 x=t-1t,y=3t+1t（t 为参数，t>0）．求曲线 C 的普通方程．
38. 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C:x=-1+2cosθ,y=2+2sinθ,θ为参数 ，试判断它们的公共点个数．
39. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=3+12ty=32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标第，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcosθ+1=0．
(1)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)P 是曲线 C 上任间一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值．
40. 过点 P102,0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于点 M 、 N，求 ∣PM∣⋅∣PN∣ 的最小值及相应的 α 值．
41. 已知椭圆 x29+y2=1，直线 l 过点 A1,0．
(1)当 l 的斜率为 34 时，求 l 被椭圆截得的弦长；
(2)当 l 交椭圆于 B，C 两点，且 AB=32AC 时，求 l 的倾斜角的正切值．
42. 已知曲线 C1:x=-4+costy=3+sint（t 为参数），C2:x=8cosθy=3sinθ（θ 为参数）．
化 C1,C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
43. 已知直线 l 的方程为 y=x+4，圆 C 的参数方程为 x=2cosθy=2+2sinθ（θ 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标；
(2)若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值．
44. 已知曲线 C1：x=cosθy=sinθ（θ 为参数），曲线 C2：x=22t-2y=22t（t 为参数）．
(1)指出 C1,C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；
(2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C1'，C2'．写出 C1'，C2' 的参数方程．C1' 与 C2' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
45. 求直线 x=2+ty=3t（t 为参数）被双曲线 x2-y2=1 上截得的弦长．
46. 已知圆的直径为 2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点 A，B 对应的参数分别为 π3 和 π2，求点 A 、 B 的直角坐标．
47. 已知双曲线方程为 x2-y2=1，M 为双曲线上任意一点，点 M 到两条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，求证：d1 与 d2 的乘积是常数．
48. 设 A 为椭圆 x225+y29=1 上任意一点，B 为圆 x-1+y2=1 上任意一点，求 AB 的最大值和最小值．
49. 已知直线的参数方程为 x=-1+3t,y=2-4t（t 为参数），它与曲线 y-22-x2=1 交于 A，B 两点．
(1)求线段 AB 的长；
(2)求点 P-1,2 到线段 AB 中点 C 的距离．
50. 已知点 Px,y 是圆 x2+y2=25 上任意一点，求 x+3y 的最大值，并求出取得最大值时 x 的值．
51. 在极坐标系中，求圆 ρ=8sinθ 上的点到直线 θ=π3 ρ∈R 的距离的最大值．
52. 已知直线 l 经过点 4,0，且倾斜角为 34π，圆 M 以 2,π4 为圆心，过极点．
(1)求 l 与 M 的极坐标方程；
(2)判断 l 与 M 的位置关系；
53. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ-π3=12，以极点 O 为原点，极轴 Ox 为 x 的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系 xOy．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)直线 l 的参数方程为 x=-2+tcos60∘,y=tsin60∘（t 为参数）．若 C 与 l 的交点为 P，求点 P 与点 A-2,0 的距离 PA．
54. 在极坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A2,π3，B2,π，C2,5π3．
(1)判断 △ABC 的形状；
(2)求 △ABC 的面积．
55. 已知半圆直径 ∣AB∣=2rr>0，半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交与点 T，并且 ∣AT∣=2a2a<r2．若半圆上相异两点 M 、 N 到 l 的距离 ∣MP∣，∣NQ∣ 满足 ∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1，通过建立极坐标系，求证 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣．
56. 求：
(1)过 A2,π4 且平行于极轴的直线；
(2)过 A3,π3 且和极轴成 3π4 的直线．
57. 判断点 -12,5π3 是否在曲线 ρ=cosθ2 上 ？
58. 在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线 C1：x=-4+cost,y=3+sint（t 为参数），曲线 C2：x=8cosθ,y=3sinθ（θ 为参数）．
(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：ρcosθ-2sinθ=7 距离的最小值．
59. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1) y2+x2-2x-1=0；
(2) ρ=12-cosθ．
60. 1．在直角坐标系 xOy 中，圆 C1 的圆心是 C11,2，且与 y 轴相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C1 的极坐标方程；
(2)若直线 C2 的极坐标方程为 θ=π4ρ∈R．设 C1 与 C2 的交点是 A，B，求 △ABC1 的面积．
坐标系与参数方程-出门考
姓名 成绩
1. 在极坐标系中，已知曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ，过点 4,π6 作曲线 C 的切线，则切线长等于 ．
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 x=t,y=tt为参数 和 x=2cosθ,y=2sinθθ为参数，则曲线 C1 和 C2 的交点坐标为 ．
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 x=5cosθ,y=5sinθ（θ 是参数，0⩽θ⩽π2）和 x=1-22t,y=-22t（t 是参数），则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为 ．
4. 已知直线 l:x=1+t,y=3-2t.（t 为参数且 t∈R）与曲线 C:x=cosα,y=2+cos2α（α 是参数且 α∈0,2π），则直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 ．
5. 在极坐标系中，O 为极点，直线 l 过圆 C：ρ=22cosθ-π4 的圆心 C，且与直线 OC 垂直，则直线l的极坐标方程为 ．
6. 如图，在极坐标系中，过点 M2,0 的直线 l 与极轴的夹角 α=π6．若将 l 的极坐标方程写成 ρ=fθ 的形式，则 fθ= ．
7. 已知抛物线 C 的参数方程为 x=8t2y=8t（t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 x-42+y2=r2r>0 相切，则 r= ．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为 1,-3．若以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是 ．
9. 对任意实数 k，直线：y=kx+b 与椭圆：x=3+2cosθy=1+4sinθ0⩽θ⩽2π 恒有公共点，则 b 的取值范围是 ．
10. 在极坐标系中，直线 ρsinθ+π4=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为 ．
11. 已知参数方程为 x=2cosα,y=2sinαα为参数，则该圆的渐开线参数方程为 ，摆线参数方程为 ．
12. 将参数方程 x=1-t21+t2y=4t1+t2（t 为参数）化为普通方程为 ．
13. 已知椭圆的参数方程为 x=4cosθ,y=5sinθ（θ 为参数，θ∈R），则该椭圆的焦距为 ．
14. 已知直线 l1：x=1-2t,y=2+kt（t 为参数），l2：x=s,y=1-2s（s 为参数），若 l1∥l2，则 k= ；若 l1⊥l2，则 k= ．
15. 若直线 l:y=kx 与曲线 C:x=2+cosθy=sinθ（参数 θ∈R）有唯一的公共点，则实数 k= ．
16. 已知圆 C 的参数方程为 x=cosθ,y=sinθ+2,（θ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1，则直线截圆 C 所得的弦长是 ．
17. 圆 C 的参数方程为 x=2+5cosθy=5sinθ（θ 为参数），则圆 C 的圆心坐标为 ，若点 P3,-1 为圆 C 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的斜率是 ．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2θ为参数 和直线 l：x=4t+6y=-3t-2t为参数，则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于 ．
19. 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 M 的极坐标方程为 2pcosθ+ π4=1，曲线 N 的参数方程为 x=4t2y=4t（t 为参数）．若曲线 M 与 N 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长等于 ．
20. 直线 x=-2-2t,y=3+2t（t 为参数）上与点 P-2,3 的距离等于 2 的点的坐标是 ．
21. 直线 2ρcosθ=1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为 ．
22. 在极坐标系中，点 A 在曲线 C:ρ=2sinθ+π4 上，点 B 在直线 l:ρcosθ=-1 上，则 AB 的最小值是 ．
23. 在极坐标系中，圆 ρ=2 的圆心到直线 ρcosθ+ρsinθ=2 的距离为 ．
24. 在极坐标系中，圆 ρ=2cosθ 的圆心到直线 ρcosθ=2 的距离是 ．
25. 若直线的极坐标方程为 ρsinθ+π4=22，则极点到该直线的距离是 ．
26. 在极坐标系中，已知 M12,74π,M22,π4，则 ∣M1M2∣= ．
27. 在极坐标系中，设 ρ>0，0⩽θ<2π，曲线 ρ=2 与曲线 ρsinθ=2 交点的极坐标为 ．
28. 圆心为 C3,π6 ，半径为 3 的圆的极坐标方程为 ．
29. 在极坐标系中，点 M4,π3 到曲线 ρcosθ-π3=2 上的点的距离的最小值为 ．
30. 极坐标方程 ρ=2 化为直角坐标方程是 ．
31. 在极坐标系中，圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值．
32. 设直线 l 过点 P-3,3，且倾斜角为 5π6．
(1)写出直线 l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线 C：x=2cosθ,y=4sinθ（θ 为参数）交于 A，B 两点，求 PA⋅PB；
(3)设 A，B 中点为 M，求 PM．
33. 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 ρ2-8ρsinθ-π3+13=0，已知 A1,3π2，B3,3π2，P 为圆 C 上一点，求 △PAB 面积的最小值．
34. 在极坐标系中，作出下列各点：A2,π6，B6,-2π3，C1,π3，D4,-π4，E4,0，F2.5,π
35. 已知圆 C 的圆心为 6,π2，半径为 5，直线 θ=α0⩽α<π,ρ∈R 被圆截得的弦长为 8，求 α 的值．
36. 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
(1) x=1-3t,y=4t（t 为参数）；
(2) x=1+4cost,y=-2+4sint（t 为参数，0⩽t⩽π）；
(3) x=2+sin2θ,y=-1+cos2θ（θ 为参数）；
(4) x=a2t+1t,y=b2t-1t（a，b 为大于零的参数，t 为参数）；
37. 把下列参数方程化为普通方程，并说明是什么曲线．
(1) x=t2-3t+1,y=t-1.（t 为参数）；
(2) x=a2t+1t,y=b2t-1t.（t 为参数）．
38. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ-π3=1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；
(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
39. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x=3cosθy=sinθ（θ 为参数）．以点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+π4=2．
(1)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程；
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最大值．
40. 求摆线 x=2φ-sinφ,y=21-cosφφ为参数且0⩽φ⩽2π 与直线 y=2 的交点的直角坐标．
41. 连接原点 O 和抛物线 x2=2y 上的动点 M，延长 OM 到点 P，使 ∣OM∣=∣MP∣，求点 P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．
42. 如图所示，OA 是定圆的直径，长为 2a，直线 OB 与圆交于 M1，和过 A 点的切线交于 B，MM1⊥OA，MB∥OA，MM1 与 MB 交于 M，与 OA 交于 C，以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，求动点 M 的轨迹方程．
43. 如下图所示，有一抛物线，A 为抛物线的顶点，PP' 为抛物线的任意一弦，设 PP' 交抛物线的对称轴于 Q，过 P 、 P' 分别作对称轴的垂线交对称轴于 M 、 M'．求证：∣AM∣⋅∣AM'∣=∣AQ∣2．
44. 过点 B0,-a 作双曲线 x2-y2=a2 右支的割线 BCD，又过右焦点 F 作平行于 BD 的直线，交双曲线于 G，H 两点．
(1)求证：BCGF⋅BDFH=2；
(2)设 M 为弦 CD 的中点，S△MBF=322a2，求割线 BD 的倾斜角．
45. 根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程：
(1)在 y 轴左侧的半圆（不包括 y 轴上的点）；
(2)在第四象限的圆弧．
46. 已知直线 l 的参数方程为 x=ty=2t+1（t 为参数），圆 C 的参数方程为 x=acosθy=asinθ，（a>0,θ 为参数），点 P 是圆 C 上的任意一点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 55+1，求 a 的值．
47. 已知直线 l 经过点 P1,1，倾斜角 α=π6．
(1)写出直线 l 的标准参数方程；
(2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两点的距离之积．
48. 已知曲线 C1:x=-4+cost,y=3+sint,t为参数 ， C2:x=8cosθ,y=3sinθ,θ为参数 ．
(1)化 C1 ， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π2 ， Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线C3:x=3+2t,y=-2+t, （ t 为参数）距离的最小值．
49. 设方程 x=t+2secθ,y=2t+tanθ.
(1)当 t=1 时，θ 为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程；
(2)当 θ=π4 时，t 为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程．
50. 已知直线 l 经过点 P1,0，倾斜角为 α=π6．
(1)写出直线 l 的参数方程；
(2)设直线 l 与椭圆 x2+4y2=4 相交于两点 A 、 B，求点 P 到 A 、 B 两点的距离之积．
51. 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C3,π6，半径 r=1，Q 点在圆 C 上运动．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
(2)若 P 在直线 OQ 上，且 OQ=23QP，求动点 P 的轨迹方程．
52. 已知圆 C 的极坐标方程 ρ=2asinθ，求：
(1)圆 C 关于极轴对称的圆的极坐标方程．
(2)圆 C 关于直线 θ=3π4 对称的圆的极坐标方程．
53. 把下列极坐标化为直角坐标：
(1) M5,56π；
(2) N2,32π；
(3) P2,54π；
(4) Q2,-π6．
54. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=3cosα,y=sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ+π4=22．
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 ∣PQ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．
55. 在极坐标系中，设圆 C:ρ=4cosθ 与直线 l:θ=π4ρ∈R 交于 A，B 两点，求以 AB 为直径的圆的极坐标方程．
56. 在平面直角坐标系中，已知点 A3,0，P 是圆 x2+y2=1 上的一个动点，且 ∠AOP 的平分线交 PA 于点 Q，求点 Q 的轨迹的极坐标方程．
57. 在极坐标系 Ox 中，直线 C1 的极坐标方程为 ρsinθ=2，M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足 ∣OP∣⋅∣OM∣=4，记点 P 的轨迹为 C2．
(1)求曲线 C2 的极坐标方程；
(2)求曲线 C2 上的点到直线 ρcosθ+π4=2 距离的最大值．
58. △ABC 的顶点的极坐标为 A4,4π3，B6,5π6，C8,7π6．
(1)判断 △ABC 的形状；
(2)求 △ABC 的面积．
59. 直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x=sinα+cosαy=1+sin2α（α 为参数，a∈0,2π），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ-ρcosθ=2．
(1)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标．
60. 在极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 x=3t+1,y=4t+3（t 为参数）．
(1)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围．
