高考数学黄金100题系列第17题幂函数文
第 17 题幂函数
I．题源探究·黄金母题
【例】已知幂函数 )(xfy 的图象过点（2，
2
2 ），试
求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．
【解析】设 )(xf = mx ，则 m
22
2 ，解得
2
1m ，
所以 )(xf = 2
1
x ，定义域为 ),0( ，是非奇非偶函数，
∵ 02
1- ，∴ )(xf 在 ),0( 是减函数，图像如下：
精彩解读
【试题来源】人教版 A 版必修 1 第 82 页复习
参考题 A 组第 10 题
【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、
奇偶性、单调性，是基础题．是高考重要考点
之一．
【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数
法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单
调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要
先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别，
注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不
同．
II．考场精彩·真题回放
【例 1】【2014 高考浙江卷】在同一坐标系中，函数
)0()( xxxf a ， xxg alog)( 的图象可能是（）
【答案】D
【解析】对 A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对
B ， )0()( xxxf a 中 1a ， xxg alog)( 中
10 a ，不 符合题 意；对 C ， )0()( xxxf a 中
10 a ， xxg alog)( 中 1a ，不符合题意；对 D，
)0()( xxxf a 中 10 a ， xxg alog)( 中
10 a ，符合题意；故选 D．
【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图
像与性质的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基
本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，
往往与不等式、函数性质等数学知识相结合，
考查幂函数的定义、图像与性质．
【难点中心】幂函数因幂指数 不同其定义域、
值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决
幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定
义域，根据幂指数确定其图像与性质，，熟记
不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解
题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键．
【例 2】【2014 上海卷】若 2
1
3
2
)( xxxf ，则满足
0)( xf 的 x 取值范围是．
【答案】 (0,1)
【解析】根据幂函数的性质，由于 1 2
2 3
，所以当
0 1x 时
2 1
3 2x x ， 当 1x 时 ，
2 1
3 2x x ， 因 此
( ) 0f x 的解集为 (0,1) ．
III．理论基础·解题原理
考点一幂函数的概念与表示
一般地，形如 y x （ xR）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数．
考点二幂函数的图像与性质
1．幂函数 2
1
32 ,1,,, xyxyxyxyxy 的图象
2．幂函数性质
y x 2y x 3y x 1
2y x
1y x
定义 R R R [0, ) ( ,0) (0, )
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数
学知识结合考查幂函数的图像与性质．
【技能方法】
1．幂函数 ( )y x R ＝ ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是
判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在 0,1 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函
数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．
3．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三
象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标
轴相交，则交点一定是原点．
【易错指导】
（1）在掌握幂函数时，注意幂函数系数为 1，底数为自变量，指数为常数这一特征；
（2）注意幂函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幂函数的幂指数有关；
（3）注意幂函数与指数函数区别．
V．举一反三·触类旁通
考向 1 幂函数的概念与表示
【例 1】【2018 河南三门峡模拟】已知幂函数 22 32 2 Zn nf x n n x n 的图象关于 y 轴对称，
且在 0 , 上是减函数，则 n 的值为( )
A． 3 B．1 C．2 D．1 或 2
【答案】B
域
值域 R [0, ) R [0, ) ( ,0) (0, )
奇偶
性
奇函
数
偶函数 奇函数
非奇非偶函
数
奇函数
单调
性
增函
数
( ,0) 减函数， (0, ) 增函
数
增函数 增函数
( ,0) 减函数， (0, ) 增函
数
定点 (0,0) ， (1,1) (1,1)
【例 2】【2018 宁夏银川模拟】已知幂函数 ( )y f x 的图象过点 2(2, )2
，则（）
A． (1) (2)f f B． (1) (2)f f C． (1) (2)f f D． (1)f 与 (2)f 大小无法判定
【答案】A
【解析】设 ( ) af x x ，则 22 2
a ， 1
2a ，即
1
2( )f x x
，在 (0, ) 上是减函数，所以 (1) (2)f f ．故
选 A．
【跟踪练习】
1．【2018 黑龙江哈尔滨模拟】若幂函数 22 2
)33( mmxmmy 的图象不过原点，则 m 的取值是（）
A． 21 m B． 21 mm 或 C． 2m D． 1m
【答案】D
2．【2018 山西 45 校第一次联考】幂函数 在其图象上点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将点 2,16 代入 y x 得16 2 ，解得 4 ，故幂函数为 4y x ，因为 3
2 2
' 4 32x x
y x
，
故切线方程为 16 32 2y x ，即 32 48y x ，故选 A．
3．【2018 广西钦州模拟】使代数式(|x|-1
1-3) 有意义的 x 的取值范围是()
A．|x|≥1 B．-1
1 D．x∈R，且 x≠±1
【答案】D
【解析】 1 0, 1x x ，选 D．
考向 2 幂函数的图像
【例 3】【2018 湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幂函数 1, my x y x 与 ny x 在第一
象限的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为（）
A． 1 0 1m n B． 1 0n m C． 1 0m n D． 1 0 1n m
【答案】D
【例 4】【2018 浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知 p 分别为 ， 中
的一个，则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 p 值依次是（）
A．-2， ， ，2B． ，-2，2， C．2， ， ，-2D．2， ，-2，
【答案】C
【解析】做直线 ，与四个函数图象从上到下的交点依次记为 ，而 ，
从而相应于曲线 的 n 依次为 2， ， ，-2，故选 C．
【例 5】【2018 山东济南模拟】已知函数
1
2
3 1 0
( )
0
x x
f x
x x
在区间 1,m 上的最大值是 2 ，则 m 的取
值范围是．
【答案】 ( 1,4]
【解析】
1
2
13 1= 1, 03( )
, 0
x
x x
f x
x x x
，作出函数图象，如图所示，因为函数在 1,m 上的最大值为
2 ，又 1 4 2,f f 所以 1 2m ，即 1,2m ．
【跟踪练习】
1．函数 的图象是（）
A． B． C． D．
【答案】B
点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，
熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线 y=x 来刻画其它幂函数在第一象限
的凸向．
2．【2018 湖北黄冈 9 月质量检测】函数 xy a （ 0a ， 1a ）与 by x 的图象如图，则下列不等式一
定成立的是（）
A． 0ab B． 0a b C． 1ab D． log 2a b
【答案】D
3．【2017 河南周口市上学期期末调研】已知指数函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，
若定点 在幂函数 的图像上，则幂函数 的图像是（）
A BC D
【答案】A
【解析】令 ，即 时， ，即指数函数 （ 且 ）的图象恒过
定点 ，又因为定点 在幂函数 的图象上，所以 ，即 ，解得 ，则
在定义域 上单调递增，故选 A．
考向 3 幂函数性质
【例 6】【2017 江西赣州模拟】幂函数 的图象经过点 ，则 是（）
A．偶函数，且在 上是增函数 B．偶函数，且在 上是减函数
C．奇函数，且在 上是增函数 D．非奇非偶函数，且在 上是增函数
【答案】C
【解析】设幂函数为 ，代入点 ，解得 ，所以 ，可知函数是奇函数，且在
上是增函数，故选 C．
【例 7】【2017 河南新乡二模】设 0.46a ， 0.4log 0.5b ， 5log 0.4c ，则 , ,a b c 的大小关系是（）
A． a b c B． c b a C． c a b D．b c a
【答案】B
【例 8】【2018 内蒙古集宁一中模拟】设 11,1, ,32
，则使得函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数
的所有 的值为（）
A．-1，3 B．-1，1 C．1，3 D．-1，1，3
【答案】C
【解析】由题意 1,3 ，当 1 时尽管也是奇函数，但定义域是 0x ，应选答案 C ．
【跟踪练习】
1．设 a ＞0 且 a ≠1 ，则“函数 ( )f x = xa 在 R 上是减函数”，是“函数 ( )g x = 3(2 )a x 在 R 上是增函数”
的（）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A．
【解析】p：“函数 ( )f x = xa 在 R 上是减函数”等价于 10 a ；q：“函数 ( )g x = 3(2 )a x 在 R 上是增
函数”等价于 02 a ，即 ,20 a 且 a ≠1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件．故选 A ．
2．【2018 东北师大附中模拟】已知幂函数 ( ) , 2, 1,1,3nf x x n 的图象关于 y 轴对称，则下列选项
正确的是（）
A． ( 2) (1)f f B． ( 2) (1)f f C． (2) (1)f f D． ( 2) ( 1)f f
【答案】B
【解析】 由于幂函数 nxxf )( 的图象关于 y 轴对称，可知 nxxf )( 为偶函数，所以 2n ，即
2)( xxf ．则有
4
1)2()2( ff ， 1)1()1( ff ，所以 )1()2( ff ，故选 B．
3．【2017 浙江省余姚中学二模】已知幂函数 ( )f x 过点 (2, 2) ，则满足 (2 ) ( 1)f a f a 的实数 a 的
取值范围是．
【答案】 3[1, )2
考向 4 幂函数的综合应用
【例 9】【2018 山东滕州三中模拟】已知幂函数 f（x）=xa 的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的
是（ ）
A．函数图象经过点（﹣1，1）
B．当 x∈[﹣1，2]时，函数 f（x）的值域是[0，4]
C．函数满足 f（x）+f（﹣x）=0
D．函数 f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]
【答案】C
【解析】由题意可知 2 4a ， 2a ，所以 2f x x ，所以 1 1f ，A 对，x∈[﹣1，2]时，函数 f
（x）的值域是[0，4]，B 对．在（﹣∞，0]上单调递减，D 对，偶函数，C 错，选 C．
【例 10】【2018 山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是（）
A． 的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过点
C．若幂函数 是奇函数，则 是增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】对于 ，函数 的图象是一条直线除去 点，故 错误；对于 ，幂函数的图象都经过
点，当指数大于 时，都经过 点，当指数小于 时，不经过 点，故 错误；对于 ，若幂函数
是奇函数，且 时， 是定义域上的增函数， 时， 在 及 上均为减函数，
故 错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限， 正确，故选 D．
【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、
幂函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处
知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条
件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．
【例 11】【2017 河南濮阳模拟】当 时，下列函数中图象全在直线 下方的增函数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【例 12】【2017 河南息县一中高三下学期第三次阶段测试】若集合
1
3{ | }, { | ln 1 }A y y x B x y x ，则 A B （）
A． 1, B． 0,1 C． 1, D． ,1
【答案】C
【解析】因为
1
3{ | } R, { | ln 1 }= 1 +A y y x B x y x ， ，所以 1,A B ，故选 C．
【跟踪练习】
1．设函数 2
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
，若 ( )f =4，则实数 =
A．-4 或-2 B．-4 或 2 C．-2 或 4 D．-2 或 2
【答案】B
【解析】∵ ( )f =4 ∴ 0
4
或 2
0
4
，解得 =－4 或 =2，故选 B．
2．已知函数
3
2 , 2( )
( 1) , 2
xf x x
x x
，若关于 x 的方程 ( )f x k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范
围是________．
【答案】（0，1）
3．若 3
1
)1(
a < 3
1
)23(
a ，则实数 a 的取值范围是_____________．
【答案】 )2
3,3
2()1,(
【解析】不等式(a＋1)
1
3
－
<(3－2a)
1
3
－
等价于 a＋1>3－2a>0 或 3－2a
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