2012年自贡中考数学试卷

2012年自贡中考数学试卷

‎2012年四川省自贡市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）（2012•自贡）|﹣3|的倒数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ 考点：‎ 倒数；绝对值。734631 ‎ 分析：‎ 先计算|﹣3|=3，再求|3的倒数，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵|﹣3|=3，‎ ‎∴|﹣3|的倒数是．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）（2012•自贡）自贡市约330万人口，用科学记数法表示这个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎330×104‎ B．‎ ‎33×105‎ C．‎ ‎3.3×105‎ D．‎ ‎3.3×106‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数。734631 ‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将330万=3300000用科学记数法表示为：3.3×106．‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2012•自贡）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形。734631 ‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ 解答：‎ 解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）（2012•自贡）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次根式的加减法；二次根式的乘除法。734631 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．‎ 解答：‎ 解：A、与不能合并，所以A选项不正确；‎ B、×=，所以B选项不正确；‎ C、﹣=2=，所以C选项正确；‎ D、÷=2÷=2，所以D选项不正确．‎ 故选C．‎ ‎5．（3分）（2012•自贡）下列说法不正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 选举中，人们通常最关心的数据是众数 ‎　‎ B．‎ 从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大 ‎　‎ C．‎ 数据3、5、4、1、﹣2的中位数是3‎ ‎　‎ D．‎ 某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有6次会获奖 考点：‎ 概率的意义；中位数；众数；可能性的大小。734631 ‎ 分析：‎ 由众数、中位数的定义，可得A与C正确，又由概率的知识，可得B正确，D错误．注意排除法在解选择题中的应用．‎ 解答：‎ 解：A、选举中，人们通常最关心的数据是众数，故本选项正确；‎ B、∵从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的概率为：，取得偶数的概率为：，‎ ‎∴取得奇数的可能性比较大，‎ 故本选项正确；‎ C、数据3、5、4、1、﹣2的中位数是3，故本选项正确；‎ D、某游艺活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10次就有6次会获奖，故本选项错误．‎ 故选D．‎ ‎6．（3分）（2012•自贡）若反比例函数的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y2＜y1＜0‎ B．‎ y1＜y2＜0‎ C．‎ y2＞y1＞0‎ D．‎ y1＞y2＞0‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征。734631 ‎ 分析：‎ 把两点P1（1，y1）和P2（2，y2）分别代入反比例函数y=求出y2、y1的值即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：把点P1（1，y1）代入反比例函数y=得，y1=1；‎ 点P2（2，y2）代入反比例函数y=求得，y2=，‎ ‎∵1＞＞0，‎ ‎∴y1＞y2＞0．‎ 故选D．‎ ‎7．（3分）（2012•自贡）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3对 B．‎ ‎4对 C．‎ ‎5对 D．‎ ‎6对 考点：‎ 直角三角形全等的判定；矩形的性质。734631 ‎ 分析：‎ 先找出图中的直角三角形，再分析三角形全等的方法，然后判断它们之间是否全等．‎ 解答：‎ 解：图中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对．‎ 故选B．‎ ‎8．（3分）（2012•自贡）如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是‎13cm，高是‎12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10πcm2‎ B．‎ ‎25πcm2‎ C．‎ ‎60πcm2‎ D．‎ ‎65πcm2‎ 考点：‎ 圆锥的计算。734631 ‎ 分析：‎ 圆锥的母线AB=13cm，圆锥的高AO=12cm，圆锥的底面半径OB=r，在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出r，然后根据圆的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：如图，圆锥的母线AB=13cm，圆锥的高AO=12cm，圆锥的底面半径OB=r，‎ 在Rt△AOB中，‎ r===5（cm），‎ ‎∴S=πr2=π×52=25πcm2．‎ 故选B．‎ ‎9．（3分）（2006•河北）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2和3‎ B．‎ ‎3和2‎ C．‎ ‎4和1‎ D．‎ ‎1和4‎ 考点：‎ 平行四边形的性质。734631 ‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵AE平分∠BAD ‎∴∠BAE=∠DAE ‎∵▱ABCD ‎∴AD∥BC ‎∴∠DAE=∠AEB ‎∴∠BAE=∠BEA ‎∴AB=BE=3‎ ‎∴EC=AD﹣BE=2‎ 故选B．‎ ‎10．（3分）（2012•自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 规律型：点的坐标。734631 ‎ 分析：‎ 根据题意，得第一次跳动到OM的中点M3处，即在离原点的处，第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处．‎ 解答：‎ 解：由于OM=1，‎ 所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，‎ 同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，‎ 同理跳动n次后，即跳到了离原点的处，‎ 故选D．‎ ‎11．（3分）（2012•自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象。‎ 分析：‎ 往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．‎ 解答：‎ 解：依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，‎ 故选A．‎ ‎12．（3分）（2007•太原）如图①是一个几何体的主视图和左视图．某班同学在探究它的俯视图时，画出了如图②的几个图形，其中，可能是该几何体俯视图的共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3个 B．‎ ‎4个 C．‎ ‎5个 D．‎ ‎6个 考点：‎ 简单组合体的三视图。734631 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形不是图中的哪几个即可．‎ 解答：‎ 解：由主视图和左视图看，几何体的上部都位于下部的中心，在两种视图下是全等的，故d不满足要求．‎ 故选C．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）函数中，自变量x的取值范围是　x≤2且x≠1　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。734631 ‎ 分析：‎ 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知2﹣x≥0；分母不等于0，可知：x﹣1≠0，则可以求出自变量x的取值范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：‎ 解得：x≤2且x≠1．‎ ‎14．（4分）（2012•自贡）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　4π　．‎ 考点：‎ 弧长的计算；等边三角形的性质。734631 ‎ 分析：‎ 弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．‎ 解答：‎ 解：弧CD的长是=，‎ 弧DE的长是：=，‎ 弧EF的长是：=2π，‎ 则曲线CDEF的长是：++2π=4π．‎ 故答案是：4π．‎ ‎15．（4分）（2012•自贡）盒子里有3张分别写有整式x+1，x+2，3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；分式的定义。734631 ‎ 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与能组成分式的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，能组成分式的有4种情况，‎ ‎∴能组成分式的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（4分）（2012•自贡）某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为‎36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为‎54米，则需更换新型节能灯　71　盏．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用。734631 ‎ 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ 可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：设需更换的新型节能灯有x盏，则 ‎54（x﹣1）=36×（106﹣1），‎ ‎54x=3834，‎ x=71，‎ 则需更换的新型节能灯有71盏．‎ 故答案为：71．‎ ‎17．（4分）（2012•自贡）正方形ABCD的边长为‎1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=　　cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为　　cm2．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质。734631 ‎ 分析：[来源:Z.xx.k.Com]‎ 设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．‎ 解答：‎ 解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，‎ ‎∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，‎ ‎∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，‎ ‎∴△ABM∽△MCN，则，即，‎ 解得CN==x（1﹣x），‎ ‎∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．‎ 故答案是：，．‎ ‎18．（4分）（2012•自贡）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，﹣1的差倒数为，现已知，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2012=　　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类；倒数。734631 ‎ 分析：‎ 分别求出x2、x3、x4、x5，…，寻找循环规律，再求x2012．‎ 解答：‎ 解：∵x1=﹣，‎ ‎∴x2==，x3==4，x4==﹣，‎ ‎∴差倒数为3个循环的数，‎ ‎∵2012=670×3+2，‎ ‎∴x2012=x2=，‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（共4个题，每题8分，共32分）‎ ‎19．（8分）（2012•自贡）计算：2cos60°°．‎ 考点：‎ 二次根式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。734631 ‎ 分析：‎ 首先计算特殊角的三角函数值，去掉绝对值符号，把除法转化成乘法运算，然后进行乘法运算，最后合并同类二次根式即可求解．‎ 解答：‎ 解：原式=2×﹣2﹣（2﹣）•（3﹣）‎ ‎=1﹣2﹣（6﹣5+3）‎ ‎=﹣1﹣9+5‎ ‎=﹣8+5．‎ ‎20．（8分）（2006•宁夏）已知a=，求代数式的值．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；分母有理化。734631 ‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除．‎ 解答：‎ 解：原式=×=，‎ 当a=时，‎ 原式==．‎ ‎21．（8分）（2012•自贡）画出如图所示立体图的三视图．‎ 考点：‎ 作图-三视图。734631 ‎ 分析：‎ 从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ ‎22．（8分）（2012•自贡）我市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图③，图④分别是该厂2008﹣2011年二氧化硫排放量（单位：吨）的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．‎ ‎（1）该厂2008﹣2011年二氧化硫排放总量是　100　吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是　25　吨．‎ ‎（2）把图中折线图补充完整．‎ ‎（3）2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是　144　度，2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是　10%　．‎ 考点：‎ 折线统计图；扇形统计图。734631 ‎ 分析：‎ ‎（1）根据扇形统计图折线统计图可求出该厂2008﹣2011年二氧化硫的排放总量，然后分别求出这四年的排放量即可得出这四年平均每年二氧化硫排放量．‎ ‎（2）根据求出的四年的排放量可补全折线图；‎ ‎（3）根据2008年二氧化硫的排放量和这四年的排放总量即可求出对应扇形的圆心角以及求出2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比．‎ 解答：‎ 解：（1）∵该厂2009年二氧化硫的排放量20吨，占2008﹣2011年二氧化硫的排放总量的20%．‎ ‎∴该厂2008﹣2011年二氧化硫的排放总量是 20÷20%=100（吨），‎ ‎∴2010年二氧化硫排放量是100×30%=30（吨），‎ ‎2011年二氧化硫排放量是100﹣40﹣20﹣30=10（吨），‎ ‎∴这四年二氧化硫排放量分别是40、20、30、10，‎ ‎∴这四年二氧化硫排放量的平均数为：100÷4=25（吨），‎ 故答案为：100、25．‎ ‎（2）正确补全折线图（如图所示），‎ ‎；‎ ‎（3）∵2008年二氧化硫的排放量是40吨，‎ ‎∴2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 360×=144°，‎ ‎∵2011年二氧化硫的排放量是10吨，‎ ‎∴2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是×100%=10%．‎ 故答案为：144、10%．‎ 四、解答题（共2个题，每小题10分，共20分）‎ ‎23．（10分）（2010•铁岭）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是‎1.5米，BG=‎1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=‎10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。734631 ‎ 分析：‎ 把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．‎ 解答：‎ 解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．‎ ‎，‎ ‎∴BE=8，AE=6．‎ ‎∵DG=1.5，BG=1，‎ ‎∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，‎ AH=AE+EH=6+1=7．‎ 在Rt△CDH中，‎ ‎∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，‎ ‎∴CH=9.5．‎ 又∵CH=CA+7，‎ 即9.5=CA+7，‎ ‎∴CA≈9.45≈9.5（米）．‎ 答：CA的长约是9.5米．‎ ‎24．（10分）（2012•自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．‎ 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）‎ ‎ （2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。734631 ‎ 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ ‎（1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解；‎ ‎（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解．‎ 解答：‎ 解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结．‎ 依题意得：，‎ 解得：2＜x＜4．‎ ‎∵x取正整数，‎ ‎∴x=3；‎ ‎（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，‎ 依题意得：3（m+2）=5m，‎ 解得：m=3．‎ 答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．‎ 五、解答题（共2个题，每题12分，共24分）‎ ‎25．（12分）（2012•自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．‎ ‎（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；‎ ‎（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定与性质；圆周角定理。734631 ‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；‎ ‎（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥AP，‎ ‎∴∠BAP=90°；‎ 又∵AB=2，∠P=30°，‎ ‎∴AP===2，即AP=2；‎ ‎（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），‎ ‎∴∠ACP=90°；‎ 又∵D为AP的中点，‎ ‎∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；‎ 在△OAD和△OCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAD≌△OCD（SSS），‎ ‎∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；‎ 又∵AP是⊙O的切线，A是切点，‎ ‎∴AB⊥AP，‎ ‎∴∠OAD=90°，‎ ‎∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．‎ ‎26．（12分）（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．‎ ‎（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；‎ ‎（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．‎ 考点：‎ 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。734631 ‎ 分析：‎ ‎（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；‎ ‎（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接AC，如下图所示，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，‎ ‎∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC和△ACD为等边三角形，‎ ‎∴∠4=60°，AC=AB，‎ ‎∴在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（ASA）．‎ ‎∴BE=CF；‎ ‎（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．‎ 理由：由（1）得△ABE≌△ACF，‎ 则S△ABE=S△ACF，‎ 故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，‎ 作AH⊥BC于H点，则BH=2，‎ S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4，‎ 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．‎ 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，‎ 又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．‎ ‎∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．‎ 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎27．（14分）（2012•自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．‎ ‎（1）求l1的解析式；‎ ‎（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；‎ ‎（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。734631 ‎ 分析：‎ ‎（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线l1的解析式；‎ ‎（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；‎ ‎（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1，‎ 依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C点坐标不变，‎ 因此，抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，‎ 设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：‎ ‎，‎ 解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，‎ 故抛物线l1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）抛物线l1的对称轴为：x==1，‎ 如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．‎ 此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C．‎ 设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：‎ ‎|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B‎1C（三角形两边之差小于第三边），‎ 故|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大．‎ 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎，解得k=b=﹣3，‎ 故直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3．‎ 令x=1，得y=﹣6，‎ 故P（1，﹣6）．‎ ‎（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．‎ ‎①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，‎ 由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，‎ 则D（1，r），F（1+r，r）．‎ ‎∵点F（1+r，r）在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，‎ ‎∴r=（1+r）2﹣2（1+r）﹣3，化简得：r2﹣r﹣4=0 ‎ 解得r1=，r2=（舍去），‎ ‎∴此圆的半径为；‎ ‎②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为．‎ 综上所述，此圆的半径为或．‎