2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）解析版

2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）解析版

‎2019年北京师大实验中学高考数学 模拟试卷（理科）（一）（3月份）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0，2，4} B．{3} C．{0，1，2，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．7‎ ‎3．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝‎ ‎6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　）‎ A．三分鹿之一 B．三分鹿之二 ‎ C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．‎ ‎9．（5分）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是　 　．‎ ‎10．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为　 　．‎ ‎11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则 f（1）+f'（1）＝　 　．‎ ‎12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为　 　．‎ ‎13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为　 　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cosx﹣3，x∈[0，]．‎ ‎（1）求f（x）的最大值、最小值；‎ ‎（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．‎ ‎16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．‎ ‎17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？‎ 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．‎ 附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18．（13分）已知{bn}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{an}满足：anbn﹣1＝log2bn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Tn，并求使得（﹣1）nλ＜Tn恒成立λ的取值范围．‎ ‎19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．‎ ‎（i）求椭圆方程；‎ ‎（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．‎ ‎（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．‎ ‎2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0，2，4} B．{3} C．{0，1，2，3} D．{1，2，3}‎ ‎【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，5}，‎ 集合B＝{x|x2＜10}＝{x|﹣}，‎ ‎∴A∩B＝{0，1，2，3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．7‎ ‎【分析】由题意作平面区域，由解得A（，），从而求最小值．‎ ‎【解答】解：由题意作平面区域如下，‎ ‎，‎ 由解得，A（，），‎ 故z＝x+y的最小值是+＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用．‎ ‎3．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用对数函数的单调性分别求解不等式与，取交集得答案．‎ ‎【解答】解：∵＝logaa，‎ ‎∴0＜a＜1，，‎ ‎∴．①，‎ 又，‎ ‎∴a．②，‎ 由①②得：．‎ ‎∴a的取值范围是（，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题．‎ ‎4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由得x＜0或x＞1，‎ 由（）x＞1得x＜0，‎ 则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝‎ ‎【分析】由题意可得准线被双曲线C截得的弦长为＝，化简即可求出 ‎【解答】解：∵抛物线y2＝4cx的准线：x＝﹣c，它正好经过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，‎ ‎∴准线被双曲线C截得的弦长为：，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴3b2＝a2•＝c2＝a2+b2，‎ ‎∴2b2＝a2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题 ‎6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），进而可得log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），‎ 又由log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，‎ 又由f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，‎ 则有b＜c＜a；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质．‎ ‎7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．‎ ‎【解答】解：扇形的圆心角为240°＝，半径为R；‎ 设扇形围成的圆锥底面半径为r，高为h；‎ 则2πr＝R，解得r＝；‎ h＝＝R，‎ 则该圆锥的体积为V＝πr2h＝••R＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．‎ ‎8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　）‎ A．三分鹿之一 B．三分鹿之二 ‎ C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一 ‎【分析】五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{an}，d＜0．a1＝，S5＝5，利用求和公式可得d，再利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{an}，d＜0．‎ a1＝1+＝，S5＝5，‎ ‎∴+＝5，解得d＝﹣．‎ ‎∴a5＝﹣＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．‎ ‎9．（5分）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是 ‎　2　．‎ ‎【分析】利用等比数列前n项和列方程组，能求出公比q的值．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝6，S6＝54，‎ ‎∴，‎ 解得q＝2，‎ ‎∴公比q的值是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为　　．‎ ‎【分析】由已知条件a3a11+2a72＝4π，以及等比数列的性质a3a11＝，从而得到，由此能求出tan（a1a13）的值 ‎【解答】解：由等比数列{an}的性质可得，a3a11＝a72，‎ 由a3a11+2a72＝4π，则3a3a11＝4π，‎ 则a3a11＝．‎ 则tan（a1a13）＝tan＝tan＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则 f（1）+f'（1）＝　3　．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，利用f′（x0）＝2求得x0，再由函数值相等求得n，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由f（x）＝lnx+nx，得f′（x）＝，‎ 则f′（x0）＝＝2，∴．‎ 得f（）＝＝．‎ ‎∴，即n＝1．‎ ‎∴f（x）＝lnx+x，‎ 则f（1）＝1，f′（1）＝2．‎ ‎∴f（1）+f'（1）＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．‎ ‎12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为　﹣1　．‎ ‎【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足约束条件，如图区域为开放的阴影部分，‎ 由解得B（5，3），‎ 函数z＝x﹣2y过点（5，3）时，zmax＝x﹣2y＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．‎ ‎13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+c，‎ ‎∴f′（x）＝2ax+b，‎ ‎∵对任意x∈R，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，‎ ‎∴ax2+bx+c≤2ax+b恒成立，‎ 即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≤0恒成立，‎ 故△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，‎ 即b2≤4ac﹣4a2，‎ ‎∴4ac﹣4a2≥0，‎ ‎∴c≥a＞0，‎ ‎∴≥1，可令t＝，即t≥1，t＝1时，a＝c，b＝0；‎ 故t＞1时，≤＝＝＝‎ ‎＝≤＝2﹣2，当且仅当t＝1+时，取得最大值2﹣2．‎ 故答案为：2﹣2‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．‎ ‎14．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为　﹣1　．‎ ‎【分析】根据ME与切线l垂直列方程求出M点坐标，从而得出切线l的方程，得出截距．‎ ‎【解答】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），‎ 由x2＝4y可得y＝，y′＝，‎ ‎∴直线l的斜率为y′|x＝x0＝，直线ME的斜率为．‎ ‎∵切线l⊥ME，∴．结合x02＝4y0．‎ 解得x0＝±2，‎ 不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1．‎ ‎∴直线l在y轴的截距为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cosx﹣3，x∈[0，]．‎ ‎（1）求f（x）的最大值、最小值；‎ ‎（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．‎ ‎【分析】（1）首先f（x）＝6sin（2x+），由x∈[0，]，得sin（2x+）∈[，1]，得f（x）max＝6，f（x）min＝3；‎ ‎（2）由角平分线性质定理得：AD2＝4BD2，由余弦定理得BD2＝17﹣12cos，AD2＝44﹣24cos，得C＝．‎ ‎【解答】（1）f（x）＝12sin（x+）cosx﹣3＝12（sinx+cosx）cosx﹣3‎ ‎＝6sinxcosx+6cos2x﹣3＝3sin2x+3cos2x＝6sin（2x+），‎ ‎∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，‎ ‎∴f（x）max＝6，f（x）min＝3；‎ ‎（2）由角平分线性质定理得：＝＝＝2，∴AD2＝4BD2，‎ ‎△BCD中，BD2＝17﹣12cos，‎ ‎△ACD中，AD2＝44﹣24cos，‎ ‎∴44﹣24cos＝68﹣48cos ‎∴cos＝，∴C＝．‎ ‎【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）的最值，余弦定理，把函数转化为y＝Asin（ωx+φ）此种形式是关键．‎ ‎16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，推导出CO⊥AB，DO⊥AB，从而AB⊥面DOC，由此能证明AB⊥CD．‎ ‎（Ⅱ）推导出CO⊥面ABDE，CO⊥OD，AB⊥CD，ED⊥DC，设点B到面CDE的距离为h，，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，…..（1分）‎ ‎∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，…（2分）‎ ‎∵四边形ABDE为菱形，∠DBA＝60°，‎ ‎∴△DAB为等边三角形，∴DO⊥AB，…．（3分）‎ 又∵CO∩DO＝O，∴AB⊥面DOC，…..（5分）‎ ‎∵DC⊂面DOC，∴AB⊥CD．…..（6分）‎ 解：（Ⅱ）∵面ABDE⊥面ABC，CO⊥AB，面ABDE∩面ABC＝AB，‎ CO⊂面ABC，∴CO⊥面ABDE，‎ ‎∵OD⊂面ABDE，∴CO⊥OD，…．…（8分）‎ ‎∵OD＝OC＝，‎ 在Rt△COD中，CD＝＝，‎ 由（1）得AB⊥CD，‎ ‎∵ED∥AB，ED⊥DC，‎ ‎∴＝＝，…（9分）‎ S△BDE＝＝，…..…..（10分）‎ 设点B到面CDE的距离为h，‎ ‎∵，∴．…．（11分）‎ 即，‎ ‎∴h＝．…．…．（12分）‎ ‎【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．‎ ‎17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？‎ 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．‎ 附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）根据题意，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，填写2×2列联表，如下：‎ 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ ‎60‎ ‎140‎ 对商品不满意 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 计算K2＝＝≈1.59，‎ 由于1.59＜6.635，‎ 所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；‎ ‎（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C、D，‎ 其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：‎ AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、……、56，‎ 其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：‎ ‎12、13、14、15、16、……、56；‎ 所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是 P＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题．‎ ‎18．（13分）已知{bn}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{an}满足：anbn﹣1＝log2bn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Tn，并求使得（﹣1）nλ＜Tn恒成立λ的取值范围．‎ ‎【分析】（I）设正项等比数列{bn}的公比为q，由b2＝2，b4＝8，可得q．利用等比数列的通项公式可得bn．又数列{an}满足：anbn﹣1＝log2bn．代入可得an．‎ ‎（II）利用错位相减法可得Tn．（﹣1）nλ＜Tn恒成立．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设正项等比数列{bn}的公比为q，∵b2＝2，b4＝8，∴q＝＝2．‎ ‎∴bn＝＝2×2n﹣2＝2n﹣1．‎ 又数列{an}满足：anbn﹣1＝log2bn．‎ ‎∴2n﹣1•an﹣1＝n﹣1，可得an＝．‎ ‎（II）Tn＝1++……+，‎ ‎＝++……++，‎ ‎∴Tn＝+……+﹣＝﹣，‎ 化为：Tn＝4﹣．‎ Tn﹣Tn﹣1＝＞0，因此数列{Tn}为单调递增数列．‎ ‎（﹣1）nλ＜Tn恒成立．‎ n为偶数时，λ＜（Tn）min＝T2＝2．‎ n为奇数时，﹣λ＜（Tn）min＝T1＝1，解得λ＞﹣1．‎ 综上可得：λ的取值范围为（﹣1，2）．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．‎ ‎（i）求椭圆方程；‎ ‎（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据直线的斜率可得a＝2b，即可求出离心率，‎ ‎（Ⅱ）（i）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC及丨PQ丨，根据勾股定理即可求出b的值，‎ ‎（ii）根据平行间的距离公式求出|AE|，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝＝，‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆方程为x2+4y2＝4b2，‎ 设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC中点Q 则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2b2＝0，‎ 由△＝（2m）2﹣4×（2m2﹣b2）＝2b2﹣m2＞0，‎ 则x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2b2，‎ y1+y2＝（x1+x2）+2m＝m，‎ 则Q（﹣m， m），‎ 由l与y轴的交点P（0，m），‎ 丨PQ|═＝|m|，‎ ‎∴|BP|2＝|BQ|2+|PQ|2＝|AC|2+|PQ|2＝（2b2﹣m2）+m2＝b2＝，‎ ‎∴b2＝1，‎ 即b＝1，‎ ‎∴椭圆方程为+y2＝1；‎ ‎（ii）由（i）可知|AC|＝•，‎ ‎∵直线MN的方程为y＝x+1，‎ ‎∴直线MN与直线L的距离为，‎ ‎∵点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，‎ ‎∴|AE|＝，‎ ‎∴|EC|2＝|AE|2+|AC|2＝（1﹣m）2+5（2﹣m2）＝﹣m2﹣m+，‎ 当m＝﹣时，此时|EC|最长，‎ 故直线直线AC的方程y＝x﹣‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．‎ ‎（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）问题转化为（x∈（0，+∞）），令（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2lnx﹣x2，定义域为（0，+∞），‎ ‎＝，令f'（x）＝0，则x＝1，‎ ‎∵x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，‎ ‎∴x＝1时，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1；无极小值．‎ ‎（2）令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝2x3﹣2lnx+ax2，‎ 由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，‎ 等价于F（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即2x3+ax2﹣2lnx＞0恒成立，‎ 得到（x∈（0，+∞））．‎ 令（x＞0），，‎ 显然h'（1）＝0，又函数y＝2﹣2x3﹣4lnx在（0，+∞）上单调递减；‎ 所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，‎ 则h（x）≤h（1）＝﹣2，因此a＞﹣2，‎ 所以a∈（﹣2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎