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文档介绍
高考数学复习专题-导函数解答题学霸必刷35题A卷(教师版)
导函数解答题学霸必刷 35 题 A 卷 1.已知函数 21 3( ) ln 2 2 2 f x x ax x ( 0)a . (1)讨论函数 ( )f x 的极值点的个数; (2)若 ( )f x 有两个极值点 1,x 2x ,证明: 1 2 0f x f x . 【答案】(1)答案不唯一,具体见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1) 1( ) 2f x ax x 2 2 1,ax x x (0, )x . ①当 0a 时, 2 1( ) xf x x . 当 10, 2 x 时, ( ) 0f x ,所以 ( )f x 在 10, 2 上单调递增; 当 1 , 2 x 时, ( ) 0f x ,所以 ( )f x 在 1 , 2 上单调递减. 即函数 ( )f x 只有一个极大值点 1 2 ,无极小值点. ②当0 1a 时, 4 4 0a , 令 ( ) 0f x ,得 1 1 ax a . 当 1 1 1 10, ,a ax a a 时, ( ) 0f x , 所以 ( )f x 在 1 10, ,a a 1 1 ,a a 上单调递增; 当 1 1 1 1,a ax a a 时, ( ) 0f x , 所以 ( )f x 在 1 1 1 1,a a a a 上单调递减. 即函数 ( )f x 有一个极大值点 1 1 a a ,有一个极小值点 1 1 a a . ③当 1a 时, 4 4 0a ,此时 ( ) 0f x 恒成立, 即 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增,无极值点. 综上所述,当 0a 时, ( )f x 有且仅有一个极大值点,即只有 1个极值点; 当0 1a 时, ( )f x 有一个极大值点和一个极小值点,即有 2个极值点; 当 1a 时, ( )f x 没有极值点. (2)由(1)可知,当且仅当0 1a 时, ( )f x 有两个极值点 1,x 2x ,且 1,x 2x 为方程 2 2 1 0ax x 的两根, 即 1 2 2 ,x x a 1 2 1x x a , 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2ln 2 3 2 af x f x x x x x x x 2 1 4 2 4ln 3 2 a a a a a 2ln 2a a . 令 2( ) ln 2,g a a a (0,1)a , 则 2 2 1 2 2( ) 0ag a a a a 恒成立, 所以 ( )g a 在 (0,1)上单调递增, 所以 ( ) (1) ln1 2 2 0g a g , 即 1 2 0f x f x . 2.已知函数 f(x) 1 2 kxe a2x(k∈R,a>0,e为自然对数的底数),且曲线 f(x)在点(1,f(1))处 的切线的斜率为 e2﹣a2. (1)求实数 k的值,并讨论函数 f(x)的单调性; (2)设函数 g(x) 1xxe lnx x ,若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈R,使不等式 f(x2)≤g(x1)﹣1成立, 求实数 a的取值范围. 【答案】(1)k=2,见解析(2)0<a e . 【解析】 (1) 21 2 ( ) kxef x k a ,f'(1) 2 2 21 2 kke a e a , 得 21 2 kke e ,故 k=2,a>0,所以 ( )f x =e2x﹣a2=e2x﹣e2lna, 当 x∈(﹣∞,lna)时, ( )f x <0,f(x)递减; 当 x∈(lna,+∞)时, ( ) 0f x ,f(x)递增; ( )f x 单调递减区间是 ( , )lna ,单调递增区间是 ( , )lna (2)根据(1)当 x∈R时,f(x)有最小值为 f(lna) 2 2 2 21 1 2 2 lnae a lna a a lna , g(x) 1 1x xxe lnx lnxe x x , ( )g x 2 2 2 x x lnx x e lnxe x x ,x∈(0,+∞), 令 h(x)=x2ex+lnx,显然函数在(0,+∞)单调递增, 由 h( 1 2 ) 1 21 1 0 4 2 e ln < ,h(1)>0, 故 h(x)在( 1 2 ,1)存在唯一的零点 m,使得 h(m)=0, 即 m2em+lnm=0,当 x∈(0,m)时,g(x)递减; x∈(m,+∞)时,g(x)递增; 故 g(m)为 g(x)的最小值, g(m)﹣1 21 11 1 m m mme lnm me m e m m 1 11 1m mme m m e m m , 对于 y 1me m 与 h(m)都单调递增, 且当 1me m 时, 2 2 1m mm e lnm m lne m 0成立, 所以 g(m)﹣1=0, 根据题意, 2 1 2 a lna 0,即 1 2 lna , 故 a e ,故 0<a e . 3.已知函数 ( ) ( ) lnxf x a x a ( 0)a . (1)若函数 ( )f x 在[1, ) 上是增函数,求正数a的取值范围; (2)当 1a 时,设函数 ( )f x 的图象与 x轴的交点为 A, B,曲线 ( )y f x 在 A, B两点处的切线斜率 分别为 1k , 2k ,求证: 1k + 2k 0 . 【答案】(1) (0,1]; (2)见解析. 【解析】 (1) lnxf x a x a ( 0)a ,∴ 2lnx x x af x ax , 设 2lng x x x x a , 函数 f x 在 1, 上是增函数,∴ 2lng x x x x a 0 在 1, 上恒成立,即 2 lna x x x 在 1, 上恒成立, 设 lnh x x x x ,则 ln 2h x x , 1x ,∴ 2h x ,∴ lnh x x x x 在 1, 上是增函数, ∴ 1h x ,由 2 lna x x x 在 1, 上恒成立,得 2 1a , 0a , ∴0 1a ,即 a的取值范围是 0,1 . (2) 1a ,由 ln 0xf x a x a ,得 1 1x , 2 2x a ,不妨设 21,0 , ,0A B a . 2lnx x x af x ax , 2 1 1 ak a , 2 2 lnak a , 1k + 2k 2 2ln 1a a a , 设 ln 1F x x x ,则 1 xF x x , 0 1x 时, 0F x , 1x 时, 0F x ,所以 1x 为 ln 1F x x x 的极大值点,所以 ln 1F x x x 的极大值即最大值为 1 0F ,即 ln 1 0F x x x , ∵ 0a 且 1a ,∴ 2 0a 且 2 1a , ∴ 2 2 2ln 1 0F a a a ,∴ 1k + 2k 2 2ln 1a a a 0 . 4.已知函数 22 ln 2 1 8x mxx xf m ,m R . (1)讨论函数 f x 的单调性; (2)对实数 2m ,令 3g x f x x ,正实数 1x , 2x 满足 1 2 1 22 0g x g x x x ,求 1 2x x 的 最小值. 【答案】(1)见解析(2)6 【解析】 (1) 2 1 12 2 2 1' 0 x f x mx mx m x x x . 若 0m ,当 0,1x 时, ' 0f x ,即 f x 在 0,1 上单调递增; 当 1,x 时, ' 0f x ,即 f x 在 1, 上单调递减. 若0 1m ,当 10,1 ,x m 时, ' 0f x ,即 f x 在( 0,1 , 1 , m 上均单调递增; 当 11,x m 时, ' 0f x ,即 f x 在 11, m 上单调递减. 若 1m ,则 ' 0f x ,即 f x 在 0, 上单调递增. 若 1m > ,当 10, 1,x m 时, ' 0f x ,即 f x 在 10, m , 1, 上均单调递增; 当 1 ,1x m 时, ' 0f x ,即 f x 在 1 ,1 m 上单调递减. (2)当实数 2m 时, 23 2ln 2 9 8 0g x f x x x x x x , 1 2 1 22 0g x g x x x , 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22ln 2 9 8 2ln 2 9 8 2 0x x x x x x x x , 2 1 2 1 2 1 2 1 22 9 16 2 2lnx x x x x x x x , 令 1 2t x x , 2 2ln 0h t t t t , 由于 2 1 ' t h t t ,知当 0,1t 时, ' 0h t ,即 h t 单调递减; 当 1,t 时, ' 0h t ,即 h t 单调递增. 从而, min 1 2h t h , 于是, 2 1 2 1 22 9 16 2x x x x ,即 1 2 1 22 3 6 0x x x x , 而 1 2, 0x x ,所以 1 2 6x x , 而当 1 3 2 2x , 2 3 2 2x 时, 1 2x x 取最小值 6. 5.已知函数 21ln 2 f x x x ax x 恰有两个极值点 1 2 1 2,x x x x . (1)求实数 a的取值范围; (2)求证: 2 2 12 1 a x ; (3)求证: 1 2 1 1 2 ln ln ae x x (其中 e为自然对数的底数). 【答案】(1) 1(0, ) e ;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 (1)由题意得 lnf x x ax ,故 ln xa x , 设 ln 0xg x x x , 2 1 ln xg x x , 故0 x e 时, 0,g x x e 时, 0g x , 故 g x 在 0,e 递增,在 ( , )e 递减, 又 11 0,g g e e , 当 x e 时, 0g x , 故实数a的范围是 1(0, ) e ; (2)由(1)得 2 2ln 0x ax ,且 2x e ,故 2 2 ln xa x , 要证明 2 2 ( )12 1 a x ,只要证明 2 2 2 2 1 ln2 1 x x x , 只要证明 2 2 2 ( )12 lnx x x , 设 22 ln ,h x x x x e x , 则 2 (2 1) 2( ) 0x xh x x , 故 h x 在 ( , )e 递增, 故 22 1 0h x h e e e , 故 2 2 ( )12 1 a x 成立; (3)由(1)得 1 1 2 2ln 0,ln 0x ax x ax , 且 1 21 x e x ,故 1 2 1 2 ln lnx xa x x , 由(1)得0 1ae ,要证明 1 2 1 1 2 ln ln ae x x , 只需证明 1 2 1 1 2 ax ax , 只需证明 1 2 1 1 2a x x , 故 1 2 1 1 2a x x 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln2x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2lnx x x x x x x x , 设 1 2ln 0 1G x x x x x , 则 2 2 ( 1)( ) 0xG x x , 故 G x 在 0,1 递增, 结合 1 2 0 0x x ,故 1 2 0x x , 1 2 1 2 1 2 2ln 0x x x x x x ,有 1 2 1 1 2 0a x x , 故 1 2 1 1 2 ax ax , 故 1 2 1 1 2 ln ln ae x x . 6.已知函数 ( ) 2 ln , (1) 0bf x ax x f x (Ⅰ)若函数 ( )f x 在其定义域上为单调函数,求a的取值范围; (Ⅱ)若函数 ( )f x 的图像在 1x 处的切线的斜率为 0, 2 1 1( ) 1 1n n a f n a n ,已知 1 4,a 求证: 2 2na n (Ⅲ)在(2)的条件下,试比较 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 na a a a 与 2 5 的大小,并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ,0 1, ;(Ⅱ)略;(Ⅲ) 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 na a a a < 2 5 . 【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b ∴ ( ) 2 lnaf x ax x x ∴ 2 2 2 2 2( ) a ax x af x a x x x 要使函数 ( )f x 在其定义域上为单调函数,则在定义域(0,+∞)内 ( )f x 恒大于等于 0或恒小于等于 0, 当 a=0时, 2( ) 0f x x 在(0,+∞)内恒成立; 当 a>0时, 2 2 2( ) 0ax x af x x 恒成立,则 24 4 0a ∴ 1a 当 a<0时, 2 2 2( ) 0ax x af x x 恒成立 ∴a的取值范围是: ,0 1, (Ⅱ) (1) 2 0f a a ∴a=1 则: 21( ) ( 1)f x x 于是 2 2 2 2 1 1( ) 1 ( ) 1 2 1 1n n n n n a f n a n n a na a n 用数学归纳法证明 2 2na n 如下: 当 n=1时, 1 4 2 1 2a ,不等式成立; 假设当 n=k时,不等式 2 2ka k 成立,即 2 2na k 也成立, 当 n=k+1时, 1 ( 2 ) 1 (2 2) 2 1 4 5 2( 1) 2k k ka a a k k k k 所以当 n=k+1时不等式成立, 综上得对所有 n N 时,都有 2 2na n (Ⅲ)由(2)得 2 1 1 1 12( 1) 1 ( 2 2) 1n n n n na a n a a a n 1 12( 1) 2 2 2 1 2 1n na n n a 于是 11 2( 1)( 2)nna a n 所以 2 11 2( 1),a a 3 21 2( 1),a a , 11 2( 1),n na a 累乘得: 1 11 2 ( 1),n na a 则 1 1 1 1 1 ( 2) 1 2 1n n n a a 所以 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) 1 1 1 1 2 2 2nna a a a 2 1 2(1 ) 5 2 5n 7.已知函数 2 1 e xf x x ax . (1)讨论 f x 的单调性; (2)若函数 2 1 e 1xg x x mx 在 1, 有两个零点,求 m的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2) 21 1 e m 【解析】 解:(1)因为 2 1 xf x x ax e ,所以 2 2 1 exf x x a x a , 即 1 1 e xf x a xx . 由 0f x ,得 1 1x a , 2 1x . ①当 0a 时, 21 e 0xf xx ,当且仅当 1x 时,等号成立. 故 f x 在 , 为增函数. ②当 0a 时, 1 1a , 由 0f x ′ 得 1x a 或 1x ,由 0f x ′ 得 1 1a x ; 所以 f x 在 , 1a , 1, 为增函数,在 1 , 1a 为减函数. ③当 0a 时, 1 1a , 由 0f x ′ 得 1x a 或 1x ,由 0f x ′ 得 1 1x a ; 所以 f x 在 , 1 , 1 ,a 为增函数,在 1, 1a 为减函数. 综上,当 0a 时, f x 在为 , 增函数; 当 0a 时, f x 在 , 1a , 1, 为增函数,在 1 , 1a 为减函数; 当 0a 时, f x 在 , 1 , 1 ,a 为增函数,在 1, 1a 为减函数. (2)因为 2 1 e 1xg x x mx ,所以 21 e xg x mx , ①当 0m 时, 0g x , g x 在 1, 为增函数,所以 g x 在 1, 至多一个零点. ②当 0m 时,由(1)得 g x 在 1, 为增函数. 因为 0 1g m , 0 0g . (ⅰ)当 1m 时, 0 0g , 0x 时, 0g x , 1 0x 时, 0g x ; 所以 g x 在 1,0 为减函数,在 0, 为增函数, min 0 0g x g . 故 g x 在 1, 有且只有一个零点. (ⅱ)当 1m > 时, 0 0g , 21 0mg m e mm , 0 0,x m ,使得 0 0g x , 且 g x 在 01, x 为减函数,在 0 ,x 为增函数. 所以 0 0 0g x g ,又 2 2 2 21 e 1 1 1 0mg m m m m m , 根据零点存在性定理, g x 在 0 ,x m 有且只有一个零点. 又 g x 在 01, x 上有且只有一个零点 0. 故当 1m > 时, g x 在 1, 有两个零点. (ⅲ)当0 1m 时, 01g m , 0 0g , 0 1,0x ,使得 0 0g x , 且 g x 在 01, x 为减函数,在 0 ,x 为增函数. 因为 g x 在 0 ,x 有且只有一个零点 0, 若 g x 在 1, 有两个零点,则 g x 在 01, x 有且只有一个零点. 又 0 0 0g x g ,所以 1 0g 即 21 1 0 e g m ,所以 21 e m , 即当 21 1 e m 时 g x 在 1, 有两个零点. 综上,m的取值范围为 21 1 e m 8.已知函数 1 1 f x a x (aR ). (1)若 2a ,证明:当 1x 时, 2 ln x f x ; (2)若对于任意的 0x 且 1x ,都有 2 ln 1a f x x ,求 a的取值集合. 【答案】(1)证明见解析;(2) 1 2 . 【解析】 (1)当 2a 时, 1 2 1 f x x , 要证当 1x 时, 2 ln x f x , 即证当 1x 时, 12ln 2 1 x x 令 12 ln 1 g x x x , 2 2 2 2 2 1 22 1 2 5 2 1 1 1 x xx xg x x x x x x x 当1 2x 时, 0g x , g x 在 1, 2 内单调递减 当 2x 时, 0g x , g x 在 2, 内单调递增, 故 min 2 2ln 2 1 ln 4 1 ln 1 2g x g e .证毕. (2)先分析端值,当 0x 时, ln x, 1 1 1 a a x , 要使 1 ln 1 1 a x x ,需有 1 0a ,即 1a ; 当 x时, ln x, 1 1 a a x , 要使 1 ln 1 1 a x x ,需有 0a ; 故必须有0 1a . 由 1 11 1 1 a x a x x 知其分子恒正, 令 1ln 1 1 xx x a x , 于是问题等价于当 1x 时, 0x ; 当0 1x 时, 0x . 注意到 1 0 . 22 2 1 1 ' 1 a x a x x x ax a ①当 0a 时 1' xx x , 此时当 1x 时, ' 0x , x 在 1, 单调递减, 于是 1 0x ,这不符合题意; ②当 0a 时, ' 0x ,得 2 1 1 1x a , 2 1x . (i)当 1 2 a 时, 1 2x x , ' 0x , x 在 0, 单调递增, 结合 1 0 可知符合题意; (ii)当 10 2 a 时, 1 2x x ,此时当 211, 1x a 时 ' 0x , 于是在 x 在 211, 1 a 单调递减, 故在 211, 1 a 内 1 0x ,这不符合题意; (iii)当 1 2 a 时, 1 2x x ,此时当 21 1 ,1x a 时 ' 0x , 于是在 x 在 21 1 ,1 a 单调递减, 故在 21 1 ,1 a 内 1 0x ,这不符合题意; 综上:符合题意的 a取值集合为 1 2 . 9.已知 1 2 1x xf x ae a . (1) 1a 时,求 f x 的单调区间和最值; (2)①若对于任意的 0,x ,不等式 21 2 x f x 恒成立,求a的取值范围;②求证: 1 32 ln 0 2 xe x x 【答案】(1)减区间为 0,1 ,增区间为 1, ,最小值为 0,无最大值;(2)① 1, ;②证明见解析. 【解析】 (1)当 1a 时, 1 2 1xf x e x ,则 1 1xf x e x , 易知 y f x 单调递增,又 1 0f ,当 0 1x 时, 0f x ,当 1x 时, 0f x . 所以,函数 y f x 的减区间为 0,1 ,增区间为 1, , 函数 y f x 的最小值为 1 0f ,无最大值; (2)①必要性:若 0a ,则当 x时, f x ,不合乎题意,所以,必有 0a . 又 22 21 0 1 0a af a a a ,则 1,a ; 充分性:易知 1 2 1xf x e x . 故只要证明 21 1 2 1 2 x x e x 在 0,x 恒成立即可, 即 21 1 1 2 0 2 xx e x e ,令 21 1 1 2 2 xx g x e x e , 则 3 2 21 3 2 2 xeg x x x x x x x 2 1 1 1 2 2 2 xex x x x x x , 则 y g x 在 0,1 单调递减,在 1, 单调递增,则 1 0g x g . 故 1,a ,因此,实数 a的取值范围是 1, ; ②由①可知,要证 1 32 ln 0 2 xe x x ,只需证 21 1ln 0 2 2 x x , 先证明不等式 1 lnx x ,构造函数 1 lnh x x x , 0x , 1 11 xh x x x ,令 0h x ,可得 1x . 当0 1x 时, 0h x ;当 1x 时, 0h x . 所以,函数 y h x 的减区间为 0,1 ,增区间为 1, , 1 0h x h , 所以,对任意的 0x , 1 lnx x . 2 2 221 1 21 1 4 4ln 1 0 2 2 2 2 2 2 x x xx xx x , 故 1 32 ln 0 2 xe x x 成立. 10.已知, ( ) ( 2) xf x x e . (1)当 0a 时,求 21( ) 2 ( ) ( 1) 2 g x f x a x 的单调区间; (2)若当 0a 时,不等式 21( ) 2 4 2 f x a x x 在[0, ) 上恒成立,求实数 a的取值范围. 【答案】(1)增区间为 (1, ) ,减区间为 ( ,1) (2) 1 2 a 【解析】 (1)由题意知: 2 21( ) (2 4) ( 1) 2 g x x x a x . 所以 ( ) (2 2) ( 1)xg x x e a x . 即 ( ) ( 1) 2 xg x x e a 因为 0a ,令 ( ) 0g x ,得 1x , 令 ( ) 0g x ,得 1x , 所以 g x 在 (1, ) 上单调递增, 在 ( ,1) 上单调递减. (2)设 2( ) ( ) 2 4 2 ah x f x x x . 因为 ( ) ( 1) ( 2)xh x x e a x . 令 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2)xm x h x h x x e a x . 有 ( ) xm x xe a .因为 0a ,有 ( ) 0m x , 此时函数 ( )y m x 在[0, ) 上单调递增, 则 ( ) (0) 2 1m x m a . (ⅰ)若 2 1 0a 即 1 2 a 时, ( )y h x 在[0, ) 上单调递增, 则 min( ) (0) 0h x h 恒成立; (ⅱ)若 2 1 0a 即 10 2 a 时, 则在[0, ) 存在 0 0h x . 此时函数 ( )y h x 在 0(0, )x 上单调递减, 0 ,x x 上单调递增且 (0) 0h , 所以不等式不可能恒成立,故不符合题意; 综上所述: 21( ) 2 4 2 f x a x x 在[0, ) 恒成立, 实数 a的取值范围为 1 2 a . 11.若函数 ( ) ( )x xf x e ae mx m R 为奇函数,且 0x x 时 ( )f x 有极小值 0f x . (1)求实数 a的值; (2)求实数m的取值范围; (3)若 0 2f x e 恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1)1;(2) (2, ) ;(3) 12,e e 【解析】 (1)由函数 ( )f x 为奇函数可得 (0) (0)f f ,则 (0) 0f ,1 0 0a m ,则 1a , 此时 ( ) x xf x e e mx ,对任意 xR , ( ) ( )x xf x e e mx f x , 满足 ( )f x 为奇函数, 1a ; (2) ( ) x xf x e e m , ① 2m 时,由 0xe ,可得 2 2x x x xe e e e ,则 ( ) 0f x ,仅当 0x 时可能为 0, 则 ( )f x 在 R上单调递增,无极小值; ② 2m 时, 2 4 0m ,令 ( ) 0f x ,可得 2 1 0x xe me ,则 2 4 2 x m me , 2 2 4 2 0 2 4 m m m m , 2 4 0 2 m m , 即 2 1 4ln 2 m mx , 2 2 4ln 2 m mx ,则 ( ) 0f x 的解为 1 2 1 2, ,x x x x , ( )f x 单调性如下表: x 1, x 1 2,x x 2 ,x ( )f x + - + ( )f x 递增 递减 递增 则 ( )f x 在 2x x 处取得极小值,即 0 2x x ,满足题意; 综上,m的取值范围是 (2, ) ; (3)根据第二问可得 0 0 2 0 4 2 0, ln ln 0 2 2 x x m me e m x , 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1x x x x x x xf x e e mx e x e e x e x e , 令 ( ) (1 ) (1 )x xp x x e x e , 2( ) 1x x x xp x xe xe xe e , 则 0x 时 ( ) 0, ( )p x p x 单调递减, 由 2(1)p e , 0 2p x e , 0 0x ,可得 0 (0,1]x , 令 0xt e ,则 (1, ]t e , 1m t t 在 (1, ]e 单调递增,则m的取值范围是 12,e e . 12.已知函数 ( ) 1,f x xlnx ax a R (1)当 0x 时,若关于 x的不等式 ( ) 0f x 恒成立,求 a的取值范围; (2)当 *n N 时,证明: 2 2 23 12 2 4 2 1 n n nln ln ln n n n . 【答案】(1)[ 1, ) .(2)见解析. 【解析】 (1)由 0f x ,得 ln 1 0x x ax ( 0)x . 整理,得 1lna x x 恒成立,即 min 1lna x x . 令 1lnF x x x .则 2 2 1 1 1' xF x x x x . ∴函数 F x 在 0,1 上单调递减,在 1, 上单调递增. ∴函数 1lnF x x x 的最小值为 1 1F . ∴ 1a ,即 1a . ∴a的取值范围是 1, . (2)∵ 2 4 n n 为数列 1 1 2n n 的前 n项和, 1 n n 为数列 1 1n n 的前 n项和. ∴只需证明 21 1ln 1 2 n n n n 1 1n n 即可. 由(1),当 1a 时,有 ln 1 0x x x ,即 1lnx x x . 令 1 1nx n ,即得 1ln 1 1 n n n n 1 1n . ∴ 2 2 1 1ln 1 n n n 1 1 2n n 1 1 1 2n n . 现证明 2 1 1ln 1 n n n n , 即 1 12ln 1 n n n n 1 1 n n n n 1 1 n n n n . * 现证明 12ln ( 1)x x x x . 构造函数 1 2lnG x x x x 1x , 则 2 1 2' 1G x x x 2 2 2 1 0x x x . ∴函数 G x 在 1, 上是增函数,即 1 0G x G . ∴当 1x 时,有 0G x ,即 12lnx x x 成立. 令 1nx n ,则 * 式成立. 综上,得 21 1ln 1 2 n n n n 1 1n n . 对数列 1 1 2n n , 2 1ln n n , 1 1n n 分别求前 n项和,得 2 2 3ln 2 ln 2 4 2 n n 2 1ln 1 n n n n . 13.已知函数 ln 0f x ax b x a . (1)当 0a b 时,试讨论函数 f x 的单调性,并求出函数 f x 的极值; (2)若 3f x x 恒成立,求 2a b的最大值. 【答案】(1)①当 0a 时, f x 在 1, 上单调递增, f x 无极值,②当 0a 时, f x 在 ,0 上单调递增,在 0,1 上单调递减, f x 的极大值 ln a , f x 无极小值(2) 24 3 e 【解析】 (1) ln 1f x a x x ①当 0a 时, f x 的定义域为 1, , 0 1 xf x x , f x 在 1, 上单调递增,且 f x 无极值 ②当 0a 时, f x 的定义域为 ,1 , 1 xf x x , f x 在 ,0 上单调递增,在 0,1 上单调递减, 当 0x 时, f x 取得极大值 ln a ,且 f x 无极小值 (2) ln 2ax b x , ln 2g x ax b x . 若 0a ,由 0ax b 知 bx a ,取 0 bx a ,使得 0 2ln 1bax b a , 则 0 0 2 1 2bg x x a ,而 2 1 0 b aax b e , 2 1 0 b ae b bx a a 所以 0 22 bx a ,所以 0 2 21 1 0b bg x a a ,与 0 0g x 矛盾 故 0a ,且 22 2 2 2 a ba x ax a b ag x ax b ax b , 故 g x 在 2, 2 b a b a a 上单调递增,在 2 , 2 a b a 上单调递减, 因此 min 2 2ln 0 2 2 2 a b a a bg x g a a ,故 ln 2 2 aa a b 所以 3 3 2 ln 2 2 aa a a b 记 3 3 ln 2 2 aa a M a ,则 23 2ln 2 2 3 a aM a ,则 M a 在 2 30,2e 上单调递增,在 2 32 ,e 上单调递减,因此 2 23 max 42 3 M a M e e , 所以当 2 32a e , 2 31 3 b e 时, 2a b取得最大值 24 3 e . 14.已知函数 2ln 2f x x x ax ax a . (1)当 1 2 a 时,判断 f x 在定义域上的单调性; (2)若对定义域上的任意的 1,x ,有 1f x ≤ 恒成立,求实数 a的取值范围; (3)证明: 1 1 1 ln 2 1 2 1 n i n i , *n N . 【答案】(1)因为 12 0f x x x 所以 f x 在 0, 上单调递减,(2) 1 2 a ,(3)证明见解 析. 【解析】 (1)当 1 2 a 时, 21 1ln 2 2 f x x x x x ,故 12f x x x 因为 1 12 2x x x x ,当且仅当 1x 时取等号.故 12 0f x x x 所以 f x 在 0, 上单调递减. (2)∵ 1 2 1ax x f x x , 当 0a 时,则 0f x ,∴ f x 在 1, 上单调递增, 1 1f x f , 当 10 2 a 时,令 0f x ,解得 1 2 x a , 当 11 2 x a 时, 0f x ,当 1 2 x a 时, 0f x , ∴ f x 在 11, 2a 上单调递增,在 1 2 , a 上单调递减,则 11, 2 x a 时, 1 1f x f , 当 1 2 a 时, 0f x , f x 在 1, 上单调递减,则 1 1f x f , ∴ 1 2 a (3)当 1n 时,1 1 ln 3 成立 当 2n 时,由(2)知, 211 ln 1 2 x x x 对任意 1x 都成立 取 2 1 2 1 ix i , *i N ,则 22 1 2 1 1 2 11 ln 1 2 1 2 1 2 2 1 i i i i i i 所以 2 2 2 1 2ln 2 1 2 1 2 1 i i i i 当 2i 时 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 12 1 i i i i i ii 所以 2 2 2 2 1 1 1ln 2 1 2 1 2 3 2 1 n n i i i i i i i 所以 2 2 2 1 1 1ln 2 1 3 1 2 1 n i n i n 所以 1 2 12 ln 2 1 ln3 1 2 ln 2 1 2 1 2 1 n i n n i n 所以 1 2 1 ln 2 1 2 1 n i n i 15.设m为实数,已知函数 ( ) x x mf x e 的导函数为 ( )f x ,且 (0) 0f . (1)求m的值; (2)设 a为实数,若对于任意 xR ,不等式 2 ( )x a f x 恒成立,且存在唯一的实数 0x 使得 2 0 0( )x a f x 成立,求 a的值; (3)是否存在负数 k,使得 3y kx e 是曲线 ( )y f x 的切线.若存在,求出 k的所有值:若不存在,请说 明理由. 【答案】(1) 1m (2) 1a (3) 1 e 【解析】 (1)因为 1 ( )( ) x x mf x e , 所以 0 1 (0 )(0) 1 0mf m e , 故 1m . (2)因为 2, ( )x R x a f x , 所以 2 1 0x xx a e 恒成立. 记 2 1( ) x xx x a e , 则 1( ) 2 2x x xx x x e e , 因为 xR ,且 0xe , 所以 12 0xe , 因此为 0x 时, ( ) 0x , ( )x 单调递减; 当 0x 时, ( ) 0x , ( )x 单调递增, 所以 ( ) (0) 1 0minx a ,即 1a , 当 1a 时, 2( ) ( ) 1 0x x a f x a , 故方程 2 ( )x a f x 无解, 当 1a 时,当 0x 时,由单调性知 2( ) ( ) 0x x a f x 所以存在唯一的 0 0x 使得 2 0 0( )x a f x ,即 1a . (3)设切点的横坐标为 t,则 ( ) 3 1 t k f t tkt e e ,即 3 1 t t tk e tkt e e , 23 1 t t t t e e e ,即 23 1(*)t t t e e 原命题等价于存在正数 t使得方程 (*)成立. 记 2 1( ) t t tg t e , 则 2(2 1) 1 ( 1)( ) t t t t t t tg t e e , 令 ( ) 0g t ,则 1t , 因此当0 1t 时, ( ) 0g t , ( )g t 单调递增, 3( ) (1)g t g e ; 当 1t 时, ( ) 0g t , ( )g t 单调递减, 3( ) (1)g t g e , 则 3( ) (1)maxg t g e . 故存在唯一的正数 1t 使得方程 (*)成立, 即存在唯一的负数 1 e et tk , 使得 3y kx e 是曲线 ( )y f x 的切线. 16.已知函数 ( R)a . (Ⅰ) 求函数 ( )f x 的单调区间; (Ⅱ) 当 0a 时,求函数 ( )f x 在[1, 2]上最小值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当0 ln 2a 时,函数 ( )f x 的最小值是 min( )xf a ;当 ln 2a 时,函数 ( )f x 的最小值是 min( ) ln 2 2f x a 【解析】 (1)函数 ( )f x 的定义域 为 (0, ) . 1 1( ) axf x a x x 因为 0a ,令 1( ) 0f x a x ¢ = - = ,可得 1x a ; 当 10 x a 时, 1( ) 0axf x x ;当 1x a 时, 1( ) 0axf x x , 综上所述:可知函数 ( )f x 的单调递增区间为 10, a ,单调递减区间为 1 , a (2)( )i 当 10 1 a ,即 1a 时,函数 ( )f x 在区间[1, 2]上是减函数, ( )f x 的最小值是 (2) ln 2 2f a ( )ii 当 1 2 a ,即 10 2 a 时,函数 ( )f x 在区间[1, 2]上是增函数, ( )f x 的最小值是 (1)f a ( )iii 当 11 2 a ,即 1 1 2 a 时,函数 ( )f x 在 11, a 上是增函数,在 1 , 2 a 上是减函数. 又 (2) (1) ln 2f f a , 当 1 ln 2 2 a 时, ( )f x 的最小值是 (1)f a ; 当 ln 2 1a 时, ( )f x 的最小值为 (2) ln 2 2f a 综上所述,结论为当0 ln 2a 时,函数 ( )f x 的最小值是 min( )xf a ; 当 ln 2a 时,函数 ( )f x 的最小值是 min( ) ln 2 2f x a . 17.已知函数 ( )f x 满足:①定义为 R;② 2( ) 2 ( ) 9x xf x f x e e . (1)求 ( )f x 的解析式; (2)若 1 2, [ 1,1]x x ;均有 2 1 1 2 2( 2) 6 1x a x x f x 成立,求 a的取值范围; (3)设 2 ( ), ( 0) ( ) 2 1, ( 0) f x x g x x x x ,试求方程 [ ( )] 1 0g g x 的解. 【答案】(1) ( ) 3xf x e (2)[ 3, 7] (3) 3 , (1 2) 、 ln3, ln(3 ln 4) 、 1 2(1 ln 2) 【解析】 (1) 2( ) 2 ( ) 9x xf x f x e e ,…① 所以 2( ) 2 ( ) 9x xf x f x e e 即 1( ) 2 ( ) 2 9x xf x f x e e …② 由①②联立解得: ( ) 3xf x e . (2)设 2( ) ( 2) 6x x a x , ( ) 1 3 3 3x x xF x x e e xe x , 依题意知:当 1 1x 时, min max( ) ( )x F x ( ) ( ) 3 3x x x xF x e e xe xe 又 ( ) (1 ) 0xF x x e 在 ( 1,1) 上恒成立, 所以 ( )F x 在[ 1,1] 上单调递减 ( ) (1) 3 0minF x F e ( )F x 在[ 1,1] 上单调递增, max( ) (1) 0F x F ( 1) 7 0 (1) 3 0 a a , 解得: 3 7a 实数 a的取值范围为[ 3, 7] . (3) ( )g x 的图象如图所示: 令 ( )T g x ,则 ( ) 1g T 1 2 32, 0, ln 4T T T 当 ( ) 2g x 时有 1个解 3 , 当 ( ) 0g x 时有 2个解: (1 2) 、 ln3 , 当 ( ) ln 4g x 时有 3个解: ln(3 ln 4) 、 1 2(1 ln 2) . 故方程 [ ( )] 1 0g g x 的解分别为: 3 , (1 2) 、 ln3 , ln(3 ln 4) 、 1 2(1 ln 2) 18.已知函数 21 1 ln 2 f x x ax a x . (1)若 1a ,讨论函数 f x 的单调性; (2)设 1 lng x f x a x x ,是否存在实数 a,对任意 1x , 2 0,x , 1 2x x ,有 1 2 1 2 0 g x g x a x x 恒成立?若存在,求出 a的范围;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)存在, 2,a . 【解析】 (1)函数 f x 的定义域为 0 , , 2 1 11 11 x x ax ax af x x a a x x x , ①若 1 1a ,则 2a , 21 0 x f x x ,且只在 1x 时取等号,∴ f x 在 0 , 上单调递增; ②若 1 1a ,则 2a ,而 1a ,∴1 2a ,当 1,1x a 时, 0f x ;当 0, 1x a 及 1, 时, 0f x ,所以 f x 在 1,1a 上单调递减,在 0, 1a 及 1, 上单调递增; ③若 1 1a ,则 2a ,同理可得: f x 在 1, 1a 上单调递减,在 0,1 及 1,a 上单调递增; 综上,当1 2a 时, f x 在 1,1a 上单调递减,在 0, 1a 及 1, 上单调递增; 当 2a 时, f x 在 0, 上单调递增; 当 2a 时, f x 在 1, 1a 上单调递减,在 0,1 及 1,a 上单调递增; (2) 21 2 ln 2 g x x x a x , 假设存在 a,对任意 1x , 2 0,x , 1 2x x ,有 1 2 1 2 0 g x g x a x x 恒成立, 不妨设 1 20 x x ,要使 1 2 1 2 0 g x g x a x x 恒成立,即必有 2 2 1 1g x ax g x ax , 令 h x g x ax ,即 21 1 2 ln 2 h x x a x a x , 2 1 2 1 221 x a x a x x aah x x a x x x , 要使 h x 在 0, 上为增函数, 只要 0h x 在 0, 上恒成立,须有 2 0x a , 2a ,故存在 2,a 时,对任意 1x , 2 0,x , 1 2x x ,有 1 2 1 2 0 g x g x a x x 恒成立. 19.已知函数 2ln 1f x x ax , 0a . (1)讨论函数 f x 的单调性; (2)若函数 f x 在区间( )1,0- 有唯一零点 0x ,证明: 2 1 0 1e x e . 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】 (Ⅰ) 21 2 2 1' 2 1 1 ax axf x ax x x , 1x , 令 22 2 1g x ax ax , 24 8 4 2a a a a , 若 0 ,即0 2a ,则 0g x , 当 1,x 时, ' 0f x , f x 单调递增, 若 0 ,即 2a ,则 0g x ,仅当 1 2 x 时,等号成立, 当 1,x 时, ' 0f x , f x 单调递增. 若 0 ,即 2a ,则 g x 有两个零点 1 2 2 a a a x a , 2 2 2 a a a x a , 由 1 0 1 0g g , 1 0 2 g 得 1 2 11 0 2 x x , 当 11,x x 时, 0g x , ' 0f x , f x 单调递增; 当 1 2,x x x 时, 0g x , ' 0f x , f x 单调递减; 当 2 ,x x 时, 0g x , ' 0f x , f x 单调递增. 综上所述, 当0 2a 时, f x 在 1, 上单调递增; 当 2a 时, f x 在 2 1, 2 a a a a 和 2 , 2 a a a a 上单调递增, 在 2 2 , 2 2 a a a a a a a a 上单调递减. (Ⅱ)由(1)及 0 0f 可知:仅当极大值等于零,即 1 0f x 时,符合要求. 此时, 1x 就是函数 f x 在区间 1,0 的唯一零点 0x . 所以 2 0 02 2 1 0ax ax ,从而有 0 0 1 2 1 a x x , 又因为 2 0 0 0ln 1 0f x x ax ,所以 0 0 0 ln 1 0 2 1 xx x , 令 0 1x t ,则 1ln 0 2 tt t , 设 1 1ln 2 2 h t t t ,则 2 2 1' 2 th t t , 再由(1)知: 10 2 t , ' 0h t , h t 单调递减, 又因为 2 2 5 0 2 eh e , 1 3 0 2 eh e , 所以 2 1e t e ,即 2 1 0 1e x e 20.已知函数 2lnf x x ax x ,a R . (1)若 1a ,试求函数 f x 的零点个数; (2)当 1a ,对 1 0x , 2 0x 且满足 1 2 1 2 1 f x f x x x ,试判断 1 2x x 与 5 1 2 的大小关系, 并说明理由. 【答案】(1)一个零点;(2) 1 2 5 1 2 x x ,理由见解析 【解析】 (1)当 1a 时, 2lnf x x x x , 0x , 此时 2 1 11 2 1' x x x f x x x , 则当 0 1x 时, ' 0f x ;当 1x 时, ' 0f x ; 易知函数 f x 在区间 0,1 单调递增,在区间 1, 单调递减; 所以 max 1 0f x f x f (当且仅当 1x 取等号), 故当 1a 时,函数 f x 只有一个零点; (2) 1 2 5 1 2 x x ,理由如下:当 1a 时, 2ln xf x x x , 0x , 由 1 2 1 2 1 f x f x x x ,即 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2ln lnx x x x x x x x , 从而 2 1 2 1 2 1 2 1 2lnx x x x x x x x ,令 1 2t x x , 则由 lng t t t ,得 1' tg t t , 可知, g t 在区间 0,1 上单调递减,在区间 1, 上单调递增. 所以有 1 1g t g ,所以 2 1 2 1 2 1x x x x , 因此, 1 2 5 1 2 x x ,由上可知,这里取到等号需要 1 2 1x x , 而此时 1 2 1 1 1 5 1 2 x x x x 无实数解,故必有 1 2 5 1 2 x x . 21.已知函数 2xf x e ax ,其中a为常数. (1)求函数 f x 的单调区间; (2)若 2y ex 是 2xf x e ax 的一条切线,求a的值; (3)已知 1a , k为整数,若对任意 0,x ,都有 ' 1 0x k f x x 恒成立,求 k的最大值. 【答案】(1)答案见解析;(2)0;(3)2. 【解析】 (1)函数 f x 的定义域为 , , xf x e a . 若 0a 时,则 0f x ,所以 f x 在 , 上单调递增; 若 0a 时,则当 , lnx a 时, 0f x ,当 ln ,x a 时, 0f x , 所以 f x 在 , lna 上递减,在 ln ,a 上递增. (2)设切点为 0 0,x y 则: 0 0 0 0 0 0 2 2 x x e a e y ex y e ax ,解得 0 0 1 0 , 0 2 x a a y e . (3)当 1a 时,对任意 0,x ,都有 1 0x k f x x 恒成立等价于 1 1x xk x e 对 0x 恒 成立. 令 1 ( 0) 1x xg x x x e ,则 2 2 1 x x x e e x g x e , 由(1)知,当 1a 时, 2xf x e x 在 0, 上递增. 因为 0 0 2 0f f, ,所以 2xf x e x 在 0, 上存在唯一零点, 所以 g x 在 0, 上也存在唯一零点,设此零点为 0x ,则 0 1,2x . 因为当 00,x x 时, 0g x ,当 0 ,x x 时, 0g x , 所以 g x 在 0, 上的最小值为 0 0 0 0 1 1x xg x x e ,所以 0 0 0 1 1x xk x e , 又因为 0 0 0 2 0xg x e x ,所以 0 0 2xe x ,所以 0 1k x . 又因为 k为整数且 02 1 3x ,所以 k的最大值是 2. 22.已知函数 21 1 ln 2 f x x m x m x ,m R , xeg x x . (1)求 g x 的极值; (2)若对任意的 1 2 1 2, 2, 4x x x x ,当 1 2x x 时, 1 2 1 2f x f x g x g x 恒成立,求实数m的 最大值; (3)若函数 f x 恰有两个不相等的零点,求实数m的取值范围. 【答案】(1) g x 的极小值为 e,无极大值;(2) 2 2 2 e ;(3) 1 ,0 2 . 【解析】 (1) 2 1xe x g x x ,令 0g x ,得 1x . 列表如下: x 0,1 1 1, g x - 0 + g x 极小值 ∵ 1 1g ,∴ y g x 的极小值为 e,无极大值. (2)∵ 2 1x x ,由(1)可知 1 2 1 2f x f x g x g x 等价于 1 2 2 1f x f x g x g x , 即 1 1 2 2f x g x f x g x . 设 21 ln 1 2 xeh x f x g x x m x m x x ,则 h x 在 2,4 为增函数. ∴ 2 1 11 0 x xe xm x eh x x m x m x x x x 在 2,4 恒成立. ∴ xem x x 恒成立. 设 xev x x x ,∵ 2 1 1 0 xe x v x x 在 2,4 上恒成立 ∴ v x 为增函数. ∴ v x 在 2,4 上的最小值为 2 2 2 2 ev . ∴ 2 2 2 em ,∴m的最大值为 2 2 2 e . (3) 1 1 x x mmf x x m x x ①当0 1m 时,当 0,x m 和 1, 时, 0f x , f x 单调递增 当 ,1x m 时, 0f x , f x 单调递减 所以 f x 的极大值为 21 1 ln 2 f m m m m m m 2 ln 0 2 m m m m 所以函数 f x 至多一个零点 ②当 1m 时, 21 0 x f x x , f x 在 0, 上单调递增. ③当 1m > 时,当 0,x m 和 1, 时, 0f x , f x 单调递增 当 ,1x m 时, 0f x , f x 单调递减 所以 f x 的极大值为 1 11 1 0 2 2 f m m f x 的极小值为 1 0f m f 所以函数 f x 至多有一个零点. ④当 0m 时,当 0,1x , 0f x , f x 单调递增 当 1,x 时, 0f x , f x 单调递减 所以 min 1 11 1 2 2 f m m Ⅰ:当 min 11 0 2 f m 时,即 1 2 m 时,函数 f x 至多一个零点. Ⅱ:当 1 0 2 m 时, 3 1 ln 0 2 mf m m m 所以存在 1 ,1x m , 1 0f x 所以函数 f x 在 0,1 上有唯一的零点. 又 2 2 2 21 2 0 2 ef e e e m 所以函数 f x 在 1, 上有唯一的零点. 综上所述:实数m的取值范围为 1 ,0 2 . 23.已知函数 ln 2sinf x x x x , f x 为 f x 的导函数. (1)求证: f x 在 0 , 上存在唯一零点; (2)求证: f x 有且仅有两个不同的零点. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1)设 1 1 2cosg x f x x x , 当 0,x 时, 2 12sin 0g x x x ,所以 g x 在 0, 上单调递减, 又因为 3 1 1 0 3 g , 2 1 0 2 g 所以 g x 在 , 3 2 上有唯一的零点 ,所以命题得证. (2) ①由(1)知:当 0,x 时, 0f x , f x 在 0, 上单调递增; 当 ,x 时, 0f x , f x 在 , 上单调递减; 所以 f x 在 0, 上存在唯一的极大值点 3 2 所以 ln 2 2 0 2 2 2 2 f f 又因为 2 2 2 2 1 1 1 12 2sin 2 2 0f e e e e 所以 f x 在 0, 上恰有一个零点. 又因为 ln 2 0f 所以 f x 在 , 上也恰有一个零点. ②当 , 2x 时, sin 0x , lnf x x x 设 lnh x x x , 1 1 0h x x 所以 h x 在 , 2 上单调递减,所以 0h x h 所以当 , 2x 时, 0f x h x h 恒成立 所以 f x 在 , 2 上没有零点. ③当 2 ,x 时, ln 2f x x x 设 ln 2x x x , 1 1 0x x 所以 x 在 2 , 上单调递减,所以 2 0x 所以当 2 ,x 时, 2 0f x x 恒成立 所以 f x 在 2 , 上没有零点. 综上, f x 有且仅有两个零点. 24.已知函数 2xf x e mx ,其中 0m . (1)当 1m 时,求曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线方程; (2)若不等式 0f x 在定义域内恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1) 1y x ;(2) 2 ,0m e . 【解析】 (1)当 1m 时, 2xf x e x ∴ 22 1xf x e 则 0 1f ,又 0 1f ∴曲线 y f x 在点 0, 0f 处的切线方程为: 1y x (2)函数 f x 定义域为 , ,且 22 xf x e m 0m 下面对实数m进行讨论: ①当 0m 时, 2 0xf x e 恒成立,满足条件 ②当 0m 时,由 0f x 解得 1 ln 2 2 mx ,从而知 函数 f x 在 1 ln , 2 2 m 内递增;同理函数 f x 在 1, ln 2 2 m 内递减, 因此 f x 在 1 ln 2 2 mx 处取得最小值 ln 1 2 2 m m ∴ ln 1 0 2 2 m m , 解得 2 0e m 综上:当 2 ,0m e 时,不等式 0f x 在定义域 , 内恒成立. 25.已知函数 ( ) ln( 1) 1xf x e x ax x . (1)若 0a ,证明: 0f x . (2)若函数 f x 在 0x 处有极大值,求实数 a的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 1 2 a 【解析】 (1)若 0a , ( ) 1xf x e x , ( ) 1xf x e ,由 ( ) 0f x 得 0x ,由由 ( ) 0f x 得 0x , 所以 ( ) 1xf x e x 在( ), 0-¥ 单调递减,在( )0,+¥ 单调递增, 所以 ( ) 1 0 0xf x e x f 恒成立; (2) ( ) ln( 1) 1xf x e x ax x , 1,x , ( ) 1 ln( 1) 1 x xf x e a x x , 0(0) 1 0 0f e a , 函数 f x 在 0x 处有极大值, 即 1( ) 1 ln( 1) 1 ln( 1) 1 1 1 x xxf x e a x e a x x x , 在 0x 处左正右负,且在 0x 处连续, 必存在 0 , ,x , 必有 , 0x , ( ) 0f x , 0, , ( ) 0x f x , 记 2 l 1( ) 1 1 xf x e a x x , 若 2 l 10, ( ) 0 1 1 xa f x e a x x 恒成立, 则 ( ) 1 ln( 1) 1 x xf x e a x x 在定义域单调递增, 0, ( ) (0) 0x f x f ,不合题意,舍去; 若 2 2 1 l 1 l 10 , 0, 2, 2 2 1 1 1 1 1 ,xa x e a a x xx x 2 l 1( ) 1 2 0 1 1 xf x e a a x x , ( )f x 在 0,x 上单调递增, 即 0, , ( ) (0) 0x f x f ,不合题意,舍去; 当 2 1 l 1, ( ) 2 1 1 xa f x e a x x 单调递增, (0) 1 2 0f a ,必存在 0 ,使得当 ,x 时, ( ) 0f x , 此时 ( )f x 在 ,x 单调递减, 0(0) 1 0 0f e a 必有 , 0x , ( ) 0f x , 0, , ( ) 0x f x , 即函数 f x 在 , 0x 递增,在 0,x 递减,即函数 f x 在 0x 处有极大值, 综上所述: 1 2 a 26.已知定义域为 R的函数 ( ) n nf x x ( *n N , 2n ) (1)设 2 1( ) ( ) (1 )n nF x f x f x ,求 ( )F x 的单调区间; (2)设 ' ( )nf x 为 ( )nf x 导数, (i)证明:当 2a , 0x 时, 1xa x a ; (ii)设关于 x的方程 ' ' 1 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 n n n n f x f x 的根为 0x ,求证: 00 1x 【答案】(1)当n为奇数时 ( )F x 的增区间为 2 1( , ) 3 1 n n ,减区间为 2 1( , ) 3 1 n n ;当 n为偶数时 ( )F x 的 增区间为 2 1( , ) 3 1 n n 及 (1, ) ,减区间为 2 1( ,1) 3 1 n n . (2)(i)证明见解析,(ii)证明见解析. 【解析】 (1) 2 1 1 nnF x x x , 当 *n N , 2n 时 2 2 12 1' 2 1 1 1n n nnF x n x nx x 即 1 12 2 2 2 2 1' 1 2 1 1 3 1 1 3 1 n nn n nF x x x n x nx n x x x n (a)当 n为大于 1的奇数时, 1n 是偶数, 11 0nx , 2 2 0nx ,3 1 0n 当 2 1 3 1 nx n 时, ' 0F x ,当 2 1 3 1 nx n 时 ' 0F x 故 F x 的增区间为 2 1, 3 1 n n ,减区间为 2 1 , 3 1 n n 当n为偶数时, 1n 是奇数,由于 2 1 1 3 1 n n ,所以 当 2 1 3 1 nx n 或 1x 时, ' 0F x ,当 2 1 1 3 1 n x n 时 ' 0F x 故 F x 的增区间为 2 1, 3 1 n n 及 1, ,减区间为 2 1 ,1 3 1 n n 综上,当 n为奇数时 F x 的增区间为 2 1, 3 1 n n ,减区间为 2 1 , 3 1 n n , 当n为偶数时 F x 的增区间为 2 1, 3 1 n n 及 1, ,减区间为 2 1 ,1 3 1 n n , (2)(i)证明:设 1xx a x a , 0x ,则 1' ln 1xx a a , 因为 2 1a , ln ln2 0a ,故 ' x 在 0, 是增函数, 从而 ' ' 0 ln 1x a a ,由于 2a , ln ln2 0a 所以 ln 2ln ln4 1a a a , ' 0x 所以 x 在 0, 是增函数, 0 0x ,即 1xa x a (ii) ' 1n nf x nx ,原方程化为 1 1 1 2 1 1 1 2 11 1 n n n n n x n n xn x 解得 0 1 2 1 1 2 1 n n n x n ,因为 2n ,所以 0 0x ; 作差得, 1 0 2 21 1 2 1 n n nx n , 由(i)知,当 2a , 0x 时, 1xa x a , 令 2a , x n ,故有 12 2n n ,所以 0 1 0x , 0 1x , 综上, 00 1x 27.设函数 2 sinf x x x , 0, 2 x , 22 cos 2 2 x mg x x x , m R . (1)证明: 0f x ; (2)当 0, 2 x 时,不等式 4 g x 恒成立,求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 2 2 8 , 【解析】 (1) 2( ) cosf x x 在 0, 2 x 上单调递增, 2 2( ) 1,f x , 所以存在唯一 0 0, 2 x , 0 0f x .当 00, , ( ) 0x x f x , f x 递减; 当 0, , ( ) 0 2 x x f x , f x 递增. 所以 max( ) max (0), 0 2 f x f f , ( ) 0,0 2 f x x (2) 2( ) sin 2 xg x x m x , 2( ) cosg x x m 当 0m 时, 0g x , g x 在 0, 2 x 上单调递减, min( ) 2 4 g x g ,满足题意 当 2 0m 时, g x 在 0, 2 x 上单调递增, 2(0) 1 0g m , 2 0 2 g m , 所以存在唯一 1 0, 2 x , 1 0g x . 当 10, , 0x x g x , g x 递减;当 1, , 0 2 x x g x , g x 递增 而 (0) 0 2 g m , 0 2 g .所以存在唯一 2 20, , 0 2 x g x . 当 20, , ( ) 0x x g x , g x 递增;当 2, , ( ) 0, ( ) 2 x x g x g x 递减. 要0 2 x 时, ( ) 4 g x 恒成立,即 2 (0) 4 2 8 2 4 g m g 所以 2 2 8 0m 当 2m 时, ( ) 0g x ,当 0, 2 x , g x 递减, 0, ( ) 0 2 g g x ( )g x 在 0, 2 x 递增, ( ) 2 4 g x g 与题意矛盾 综上:m的取值范围为 2 2 8, 28.已知函数 21ln 1 2 f x ax a x x , 1xg x e x . (Ⅰ)若 0x 为函数 f x 的极小值点,求 a的取值范围,并求 f x 的单调区间; (Ⅱ)若 0x , 21 2 g x f x x ,求 a的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 1a , f x 的递减区间 1,0 和 1,a ,递增区间为 0, 1a ,(Ⅱ) 1a 【解析】 (Ⅰ)由题意知: 1,x ,且 1 1 x x aaf x a x a x x , 若 1 0a ,即 1a 时,当 0x , 0f x ,所以 0x 不可能为 f x 的极小值点; 若 1 0a ,即 1a 时,令 0 0 1f x x a ; 令 0 1 0f x x 或 1x a , 所以 f x 的递减区间 1,0 和 1,a ,递增区间为 0, 1a , 所以 0x 为函数 f x 的极小值点, 综上: 1a , f x 的递减区间 1,0 和 1,a ,递增区间为 0, 1a . (Ⅱ)令 21 ln 1 1 1 0 2 xF x g x f x x e a x a x x , 则 0 0F , 11 1 1 1 1 1 1 x x xa xF x e a e a e x ax x x x , 令 1 1 0xg x e x ax x ,则 0 0g , 因为 2 1xg x x e a ,令 0h x g x x , 则 3 0xh x x e , 0x , 所以 g x 在 0, 上单调递增,所以 0 1g x g a , (1)当1 0a ,即 1a 时, 0g x , 0x ,所以 g x 在 0, 上单调递增,所以 0g x 对 0x 恒成立. 所以 1 0 1 F x g x x 恒成立,所以 F x 在 0, 上单调递增,所以 0 0F x F , 0x , 符合题意; (2)当1 0a ,即 1a 时,因为 0 1 0g a , 又 1 0a 且 11 1 1 1 1 0ag a a e a a a , 又 g x 在 0, 上连续且单调递增,所以存在 0 0x ,使得 0 0g x ,此时,当 00,x x 时, 0g x ,所以 g x 单调递减,所以 0 0g x g , 所以 1 0 1 F x g x x ,所以 F x 在 00,x x 单调递减, 所以 0 0F x F , 00,x x ,矛盾,舍去. 综上: 1a . 29.已知函数 ln x af x a R x , e 1xg x . (1)求 f x 的单调区间; (2)若 g x f x 在 0, 上恒成立,求 a的取值范围. 【答案】(1) ( )f x 的单调递增区间为 10,e a ,单调递减区间为 1e +a , (2) ,1 【解析】 (1) 2 1 ln'( ) x af x x ( 0)x . 当 10 e ax 时, '( ) 0, ( )f x f x 单调递增; 当 1e ax 时, '( ) 0, ( )f x f x 单调递减. 所以 ( )f x 的单调递增区间为 10,e a ,单调递减区间为 1e +a , (2)由 ( ) ( )g x f x 得 lne 1x x a x 也就是 e lnxa x x x ,令 ( ) e lnxh x x x x 则 1'( ) e e 1x xh x x x = 1( 1)(e )xx x ,由 0x 知, 1 0x . 设 1( ) ext x x , 2 1'( ) e 0xt x x , ( )t x 在 0, 单调递增, 又 1( ) e 2 0, (1) e 1 0 2 t t ,所以存在 0 1 ,1 2 x ( )使得 0( ) 0t x , 即 0x 0 1e x . 当 00,x x 时, '( ) 0h x , ( )h x 在 00, x 单调递减; 当 0 ,x x 时, '( ) 0h x , ( )h x 在 0 ,x 单调递增; 所以 0 min 0 0 0 0( ) ( ) e lnxh x h x x x x = 0 01 1x x . 所以 a的取值范围是 ,1 . 30.已知 1( ) lnmf x x m x x ,mR . (1)讨论 ( )f x 的单调区间; (2)当 2 0 2 em 时,证明: 2 ( ) 1xe x xf x m . 【答案】(1) ( )f x 在 (1, 1)m 上单调递减;在 (0,1)和 ( 1, )m 上单调递增.(2)见解析 【解析】 (1) ( )f x 的定义域为 (0, ) , 2 2 1 ( 1)[ ( 1)]( ) 1 m m x x mf x x x x , 当 1m £ 时,由 ( ) 0f x ,得 1x ; 由 ( ) 0f x ,得 0 1x , 所以 ( )f x 在 (0,1)上单调递减,在 (1, ) 上单调递增; 当1 2m 时,由 ( ) 0f x ,得 1x 或0 1x m ; 由 ( ) 0f x ,得 1 1m x ; 所以 ( )f x 在 ( 1,1)m 上单调递减,在 (0, 1)m 和 (1, ) 上单调递增; 当 2m 时,由 2 2 ( 1)( ) 0xf x x ,得 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增; 当 2m 时,由 ( ) 0f x ,得 1x m 或 0 1x ;由 ( ) 0f x ,得1 1x m ; 所以 ( )f x 在 (1, 1)m 上单调递减;在 (0,1)和 ( 1, )m 上单调递增. (2)由 2 ( ) 1xe x xf x m ,得 lnxe mx x , ①当0 1x 时, e 1x , ln 0mx x ,不等式显然成立; ②当 1x 时, ln 0x x ,由 2 0 2 em ,得 2 0 ln ln 2 emx x x x , 所以只需证: 2 ln 2 x ee x x , 即证 22 ln 0 xe x x ,令 22( ) ln xeg x x x , 则 2 2 2 ( 1)( ) xe x xg x x , 1x , 令 2( ) 2 ( 1)xh x e x x , 则 2( ) 2 1xh x xe , 令 ( ) ( )h x x , 则 2( ) 2( 1) 0xx x e , 所以 ( )h x 在 (1, ) 上为增函数, 因为 2(1) 1 0h e , (2) 3 0h , 所以存在 0 [1,2]x , 0 0h x , 所以 ( )h x 在 01, x 上单调递减,在 0 ,x 上单调递增, 又因为 (1) 1 0h , (2) 0h , 当 [1, 2)x 时, ( ) 0g x , ( )g x 在[1,2)上单调递减, 当 [2, )x 时, ( ) 0g x , ( )g x 在[2, ) 上单调递增, 所以 ( ) (2) 1 ln 2 0g x g , 所以 ( ) 0g x , 所以原命题得证 31.已知函数 3 21 ( 1) 3 2 a x x axf x . (Ⅰ)当 1a 时,求曲线 y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f x 的单调性; (Ⅲ)对于任意 1x , 2 [0 2]x , ,都有 1 2 2 ( ) ( ) 3 f x f x ,求实数 a的取值范围. 【答案】(Ⅰ) y x ;(Ⅱ)分类讨论,详见解析;(Ⅲ) 1 5, 3 3 . 【解析】 解:(Ⅰ)当 1a 时,因为 3 21 3 x x xf x 所以 2 2 1x xf x , (0) 1f . 又因为 (0) 0f , 所以曲线 ( )y f x 在点 0, (0)f 处的切线方程为 y x . (Ⅱ)因为 3 21 ( 1) 3 2 a x x axf x , 所以 2( ) ( 1) 0f x x a x a . 令 ( ) 0f x ,解得 x a 或 1x . 若 1a ,当 0f x 即 1x 或 x a 时, 故函数 ( )f x 的单调递增区间为 ,1 , ,a ; 当 0f x 即1 x a 时,故函数 ( )f x 的单调递减区间为 1,a . 若 1a ,则 2 2( ) 2 1 ( 1) 0f x x x x , 当且仅当 1x 时取等号,故函数 ( )f x 在 , 上是增函数. 若 1a ,当 ( ) 0f x 即 x a 或 1x 时, 故函数 ( )f x 的单调递增区间为 , , 1,a ; 当 ( ) 0f x 即 1 a x 时,故函数 ( )f x 的单调递减区间为 ,1a . 综上, 1a 时,函数 ( )f x 单调递增区间为 ( 1) ( )a , , ,+ ,单调递减区间为 (1, )a ; 1a 时,函数 ( )f x 单调递增区间为 ( , ) ; 1a 时,函数 ( )f x 单调递增区间为 ( ) (1 )a , , ,+ ,单调递减区间为 ( ,1)a . (Ⅲ) 由题设,只要 max min 2 3 f x f x 即可. 令 2( ) ( 1) 0f x x a x a ,解得 x a 或 1x . 当 0a 时,随 x变化, ( ), ( )f x f x 变化情况如下表: x 0 0,1 1 1,2 2 f x 0 f x 0 减 极小值 增 2 3 由表可知 (0) 0 (1)f f ,此时 2 (2) (1) 3 f f ,不符合题意. 当0 1a 时,随 x变化, 'f x f x, 变化情况如下表: x 0 0,a a ,1a 1 1,2 2 f x 0 0 f x 0 增 极大值 减 极小值 增 2 3 由表可得 3 21 1 1 1 2 (0) 0 ( ) (1) (2) 6 2 2 6 3 f f a a a f a f , , , , 且 (0) ( )f f a , (1) (2)f f , 因 22 0 3 f f ,所以只需 ( ) (2) (1) (0) f a f f f , 即 3 21 1 2 6 2 3 1 1 0 2 6 a a a ,解得 1 1 3 a . 当 1a 时,由(Ⅱ)知 f x 在 0,2 为增函数, 此时 max min 22 0 3 f x f x f f ,符合题意. 当1 2a 时, 同理只需 (1) (2) ( ) (0) f f f a f ,即 3 2 1 1 2 2 6 3 1 1 0 6 2 a a a ,解得 51 3 a . 当 2a 时, 2( ) (1 ) 3 2f f , 2( ) 0 ( 3 1 1)ff f ,不符合题意. 综上,实数a的取值范围是 1 5, 3 3 . 32.已知函数 ( ) ln ,f x x x kx k R . (1)求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程; (2)若不等式 2( )f x x x 恒成立,求 k的取值范围; (3)求证:当 *n N 时,不等式 2 2 1 2ln 4 1 2 1 n i n ni n 成立. 【答案】(1) ( 1) 1y k x (2) k 2 (3)证明见解析 【解析】 (1)函数 ( )y f x 的定义域为 (0, ) , ( ) 1 lnf x x k , (1) 1f k , ∵ (1)f k ,∴函数 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 ( 1)( 1)y k k x , 即 ( 1) 1y k x . (2)由 2( )f x x x , ( ) lnf x x x kx ,则 2lnx x kx x x ,即 ln 1x k x , 设 ( ) ln 1g x x x k , 1( ) 1g x x , 0,1x , 0g x , ( )g x 单调递增, 1,x , ( ) 0g x , ( )g x 单调递减, ∵不等式 2( )f x x x 恒成立,且 0x , ∴ ln 1 0x x k ,∴ max( ) (1) 2 0g x g k 即可,故 k 2 . (3)由(2)可知:当 2k 时, ln 1x x 恒成立, 令 2 1 4 1 x i ,由于 *i N , 2 1 0 4 1i . 故, 2 2 1 1ln 1 4 1 4 1i i ,整理得: 2 2 1ln 4 1 1 4 1 i i , 变形得: 2 1ln 4 1 1 (2 1)(2 1) i i i ,即: 2 1 1ln 4 1 1 2 2 1 2 1 i i i 1,2,3, ,i n 时, 1 1ln3 1 1 2 3 , 1 1ln5 1 1 2 3 ……, 2 1 1 1ln 4 1 1 2 2 1 2 1 n n n 两边同时相加得: 2 2 2 1 1 1 2 2ln 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 n i n n ni n n n n , 所以不等式在 *n N 上恒成立. 33.已知函数 2( ) ln ( 0)f x x x ax a . (1)当 1a 时,求 f x x 的最大值; (2)若 f x 只有一个极值点 0x . (i)求实数 a的取值范围; (ii)证明: 0 1f x e . 【答案】(1) 最大值为-1. (2) (i) 0a (ii)证明见解析 【解析】 (1)当 1a 时, ln f x x x x , 0x . 令 lng x x x ,则 1 1g x x , ∴ g x 在 0,1 上单调递增,在 1, 上单调递减 ∴ max( ) (1) 1g x g ,故 f x x 的最大值为-1. (2) ( ) 1 ln 2f x x ax , 1( ) 2f x a x . ①当 0a 时, 0f x 在 0, 恒成立,则 f x 在 0, 单调递增. 而 1 2 0af e e ,当 0 1x 时, ( ) 1 ln 2 1 ln 2f x x ax x a , 则 2 1 0af e ,且 2 1 1ae e ,∴ 2 1 0 1,ax e e 使得 0 0f x . ∴当 00,x x 时, 0f x ,则 f x 单调递减; 当 00,x x 时, 0f x ,则 f x 单调递增,∴ f x 只有唯一极值点 0x . ②当 0a 时, 1 1( ) 2 0 2 f x a x x a 当 10, 2 x a 时, 0f x ,则 f x 单调递增; 当 1 , 2 x a 时, 0f x ,则 f x 单调递减,∴ max 1( ) ln 2 2 f x f a a . (i)当 2 1a 即 1 2 a 时, 0f x 在 0, 恒成立,则 f x 在 0, 单调递减,无极值点,舍去. (ii)当0 2 1a 即 10 2 a 时, 1 ln 2 0 2 f a a . 又 1 2 0af e e ,且 1 1 2e a ,∴ 1 1 1, 2 x e a 使得 1 0f x . 由(1)知当 0x 时, ln 1x x ,则 ln 2 ln 2( 1) 2 1x x x x ∴ ( ) 1 ln 2 2 2 2 (1 )f x x ax x ax x a x 则 2 1 0f a ,且 2 1 1 2a a ,∴ 2 2 1 1, 2 x a a 使得 2 0f x . ∴当 10,x x 时, 0f x ,则 f x 单调递减; 当 1 2,x x x 时, 0f x ,则 f x 单调递增; 当 2 ,x x 时, 0f x ,则 f x 单调递减. ∴ f x 有两个极值点 1x , 2x ,舍去. 综上, f x 只有一个极值点时, 0a ∵ 0 0 01 ln 2 0f x x ax ,∴ 0 0 1 ln 2 xa x , 2 1 0 1,ax e e ∴ 2 0 0 0 0 0 0 1ln ln 1 2 f x x x ax x x , 2 1 0 1,ax e e . 令 1( ) (ln 1) 2 x x x ,∴ 1( ) ln 0 2 x x ,则 x 在 2 1 1,ae e 单调递减 ∴当 2 1 1,ax e e 时, 1 1( )x e e ,∴ 0 0 1f x x e . 34.已知函数 2 2( ) 1 lnf x x a x ax ( )a R . (1)当 0a 时,讨论函数 ( )f x 的单调性; (2)若 0a 且 (0,1)x ,求证: 2( ) 1 1x f x x e x . 【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1)函数 f x 的定义域为 0, 2 2 2 2 1 11 2 12 ax axa x axf x a x a x x x ①若 0a 时,则 0f x , f x 在 0, 上单调递减; ②若 0a 时,当 1x a 时, 0f x 当 10 x a 时, 0f x ;当 1x a 时, 0f x 故在 10, a 上, f x 单调递减;在 1 , a 上, f x 单调递増 (2)若 0a 且 0,1x ,欲证 2 1 1x f x x e x 只需证 21 ln 1 1x x x e x 即证 31 ln 1 xx x x x e 设函数 1 lng x x x , 0,1x ,则 lng x x 当 0,1x 时, 0g x ;故函数 g x 在 0,1 上单调递增 所以 1 1g x g 设函数 31 xh x x x e ,则 2 32 3 xh x x x x e 设函数 2 32 3p x x x x ,则 21 6 3p x x x 当 0,1x 时, 0 1 8 0p p 故存在 0 0,1x ,使得 0 0p x 从而函数 p x 在 00, x 上单调递增;在 0 ,1x 上单调递减 当 00,x x 时, 0 0 2p x p 当 0 1x x , 时, 0 1 0p x p 故存在 1 0,1x ,使得 1 0h x 即当 10,x x 时, 0p x ,当 11x x ,时, 0p x 从而函数 h x 在 10, x 上单调递增;在 11x,上单调递减 因为 0 1, 1h h e 故当 0,1x 时, 0 1h x h 所以 31 ln 1 , 0,1xx x x x e x 即 2 1 1, 0,1x f x x x e x 35.已知函数 2ln 1 af x x x a ( 0a ) (1)讨论函数 f x 在 0, 上的单调性; (2)若 0a 且 f x 存在两个极值点,记作 1x , 2x ,若 1 2 4f x f x ,求 a的取值范围; (3)求证:当 1a 时, 1 1 1 1xf x e x (其中 e为自然对数的底数) 【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2) 1, 2 ;(3)见解析 【解析】 解:(1) 2ln 1 af x x x a 2 2 2 21 12 1 1 x a a f x a x x a x x a (※) 当 2a 时, 0x > , 2 2 2 0 1 x a a f x x x a ,函数 f x 在 0, 上是增函数 当0 2a 时,由 0f x 得 2 2 0x a a ,解得 1 2x a a (舍去) 2 2x a a 所以当 20,x x 时, 2 2 0x a a ,从而 0f x ,函数 f x 在 20, x 上是减函数; 当 2 ,x x 时, 2 2 0x a a ,从而 0f x ,函数 0f x 在 2 ,x 上是增函数 综上,当 2a 时,函数 f x 在 0, 上是增函数; 当0 2a 时,函数 f x 在 0, 2a a 上是减函数,在 2 ,a a 上是增函数 (2)由(1)知,当 2a 时, 0f x ,函数 f x 无极值点 若 f x 存在两个极值点,又由 a为正数必有0 2a ,由(1)极值点为 1 2x a a , 2 2x a a 依题意 2 1a a 即 2 1a a 化为 21 0a ,得 1a 所以 a的取值范围是 0,1 1,2U 由(※)式得 1 2 1 2 0 2 x x x x a a 1 2 1 2 1 2 2 2ln 1 ln 1a af x f x x x x a x a 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 1 a x x a x x x x x x a x x a 2 2 2 2 4 2ln 1 ln 1 2 2 1 aa a a a a a 不等式 1 2 4f x f x 化为 2 21 2 0 1 a a 令 1 0,1 1,2a t a 所以 1,0 0,1t 当 1,0t 时, 22ln 2g t t t , ln 0t , 2 0 t ,所以 0g t ,不合题意 当 0,1t 时, 22 ln 2g t t t , 2 2 2 11 12 2 0 t g t t t t 所以 g t 在 0,1 上是减函数,所以 21 2ln1 2 0 1 g t g ,适合题意,即 1,2a 综上,a的取值范围是 1, 2 . (3)当 1a 时, 2ln 1 1 f x x x 不等式 1 1 1 1xf x e x 可化为 1 1 1ln 1 1 xx x e ,即证 1 1ln xx x e . 设 1lnh x x x ,则 2 2 1 1 1xh x x x x 在 0,1 上, 0h x , h x 是减函数;在 1, 上, 0h x , h x 是增函数,所以 1 1h x h , 设 1 xx e ,则 x 是减函数,所以 0 1x , 所以 x h x ,即 1 1ln xx x e 所以当 1a 时,不等式 1 1 1 1xf x e x 查看更多