2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由复数的四则运算求出，就能判别相应选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.选D．‎ ‎【点睛】‎ 复数四则运算，属于简单题.‎ ‎2．已知命题，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知全称符号应改成存在符号，再对命题结论进行否定即可 ‎【详解】‎ 全称命题的否定一要改量词，二要改结论．即 答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定改写，全称改存在，再否定结论 ‎3．命题：若，则；命题：．则（ ）‎ A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真 ‎【答案】D ‎【解析】命题：可能为，不为，可知是假命题；命题：，可知是真命题，再结合复合命题的真假性判定方法即可判断.‎ ‎【详解】‎ 命题：可能为，不为，因此是假命题，‎ 命题：，因此是真命题，‎ 所以 “或””为真命题， “且”为假命题.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎4．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（　　）‎ A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46‎ C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，32‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得系统抽样的组距，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 系统抽样的组距为，也即是间隔抽取一个，C选项符合题意，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查系统抽样的组距，属于基础题.‎ ‎5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件为取到的两个数之和为偶数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】取到的两个数之和为偶数，分为都是偶数和都是奇数两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ 事件为取到的两个数之和为偶数 所取两个数都为偶数时： ‎ 所取两个数都为奇数时： ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，分为都是偶数和都是奇数两种情况是解题的关键.‎ ‎6．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【考点】充分不必要条件的判定．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．7 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序框图以及已知中输入可得：进入循环的条件为，即，模拟程序的运行结果，即可得到输出的值。‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，退出循环，输出 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了读程序框图，此题是循环结构，属于基础题。‎ ‎8．曲线 在点 处的切线方程为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 ‎【详解】‎ 由，，所以过点切线方程为 答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程 ‎9．设函数，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对函数求导，再由可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，解得，故选：D,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，熟练利用导数公式解题是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．‎ ‎【详解】‎ 当x<0时，f（x）0．排除AC，‎ f′（x），令g(x)‎ g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，‎ 当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，‎ 存在，使得g()=0，‎ 且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，‎ 当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，‎ ‎∴B不正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．‎ ‎11．在区间上的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对求导，判断函数在区间上的单调性，即可求出最大值。‎ ‎【详解】‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。‎ ‎12．双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：由|AF1|==2，三角形APF1的周长的最小值为6，‎ 可得|PA|+|PF1|的最小值为4，‎ 又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a，‎ 当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2，‎ 即有2+2a=4，即a=1，c=，‎ 可得e==．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．在区间上随机取一个数，则的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出满足不等式的的范围，然后按照几何概型公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以在区间上随机取一个数，则则的概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率的计算，关键是明确两个“几何度量”，从而进一步求值.‎ ‎14．已知的取值如表所示：若与呈线性相关，且回归方程为，则等于___________．‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点】回归方程.‎ ‎15．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解，即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，抛物线的准线方程为，‎ 又点 到焦点的距离为，‎ 所以，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义的应用，解题的关键是将曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解，属于基础题．‎ ‎16．设O为坐标原点，动点M在圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，则点P的轨迹方程为______________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；‎ ‎【详解】‎ 设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足＝,可知P为MN的中点，‎ 可得xx0，y＝y0，‎ 即有x0＝x，y0＝2y，‎ 代入圆C：x2+y2＝4，可得．即，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法，考查转化思想以及计算能力．‎ 三、解答题 ‎17．命题：方程有实数解，命题：方程 表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎(1) 若命题为真，求的取值范围；‎ ‎(2) 若命题为真，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵有实数解，∴ ‎ ‎（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴‎ ‎∵为真，，.‎ ‎【点睛】‎ 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎18．某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：‎ 若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.‎ ‎（i）共有多少种不同的抽取方法？‎ ‎（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为 ，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.‎ 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为 ‎，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，‎ 则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ 所以共有12种不同的抽取方法． ‎ ‎（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，‎ 则事件A包含，，，，，‎ ‎6个基本事件， ‎ 所以所求概率． ‎ ‎19．已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的极小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于，的方程组，解出即可；‎ ‎（2）求出的值，结合函数的单调性求出的极小值，代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 当时函数取得极大值7，当时取得极小值，‎ 和是方程的两根，由韦达定理知：‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当时，函数取极大值7，，，‎ ‎，‎ 而函数的极小值点为，故函数的极小值为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数及利用导数求函数的极值，解题的关键是正确理解极值点和极值的含义，属于基础题.‎ ‎20．“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 单价(元/公斤)‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎29‎ 药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；‎ ‎（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1），当时，；（2）应该种植A种药材 ‎【解析】(1)首先计算和,将数据代入公式得到回归方程,再取得到2020年单价.‎ ‎(2)计算B药材的平均产量,得到B药材的总产值,与(1)中A药材作比较,选出高的一个.‎ ‎【详解】‎ 解:(1),‎ ‎,当时，‎ ‎(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005‎ B药材的亩产量的平均值为:‎ 故A药材产值为 B药材产值为 应该种植A种药材 ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.‎ ‎21．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆定义知：的周长为： ‎ 由椭圆离心率： ，‎ 椭圆的方程：‎ ‎（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为： ‎ 设， ‎ 联立方程，消去得：‎ 由已知，且，‎ 由，即得：‎ 即：‎ ‎，整理得：，满足 点到直线的距离：为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、消元，从而得到定值.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．‎ ‎【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】（1）将代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据单调递增,单调递减可求出的单调区间 ‎（2）从分离出出常数,设新函数,,求出新函数的最小值即可得到的取值范围 ‎【详解】‎ ‎(1),‎ 的定义域为． ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为．‎ ‎(2) ,,‎ 令 ‎,‎ 由 当时,,在[,1]上单调递减 当时,,在[1,e]上单调递增,‎ ‎,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为 所以,所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.‎