高考数学二十一解三角形常见题型

高考数学二十一解三角形常见题型

高考数学二十一---解三角形常见题型 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。‎ 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．‎ ‎1. 在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎2．（1）在中，已知，，cm，解三角形；‎ ‎（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。‎ ‎3．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；‎ ‎（2）在ABC中，已知，，，解三角形 ‎4(2005年全国高考江苏卷) 中，，BC＝3，则的周长为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)．‎ ‎5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．‎ 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．‎ 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：，‎ ‎，解得，（舍去）‎ 故BC=2，从而，即又，‎ 故，‎ 在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。‎ 答案：‎ 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．‎ ‎1. (2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，‎ 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．‎ 解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．‎ ‎∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．‎ 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．‎ ‎2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0，∴A＝B ‎3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。‎ 答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎4. 在△ABC中，，判断△ABC的形状。‎ 答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。‎ 题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．‎ ‎1. (2005年全国高考上海卷) 在中，若，，，‎ 则的面积S＝_________‎ ‎2．在中，，，，求的值和 的面积。‎ 答案：‎ ‎3. （07浙江理18）已知的周长为，且．‎ ‎（I）求边的长；‎ ‎（II）若的面积为，求角的度数．‎ 解：（I）由题意及正弦定理，得，，‎ 两式相减，得．‎ ‎（II）由的面积，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 所以．‎ 题型之四：三角形中求值问题 ‎1. (2005年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为，‎ 设满足条件和，求和的值．‎ 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．‎ 解：由余弦定理，因此， ‎ 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.‎ ‎ 由已知条件，应用正弦定理 解得从而 ‎2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。‎ 解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。‎ cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；‎ 当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。‎ ‎3．在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。‎ 解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，‎ 则 ‎（2），则bc＝3。‎ 将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，‎ 得解得b＝。‎ 点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。‎ ‎4．在中，内角对边的边长分别是，已知，．‎ ‎（Ⅰ）若的面积等于，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，‎ 又因为的面积等于，所以，得． 4分 联立方程组解得，． 6分 ‎（Ⅱ）由题意得，‎ 即， 8分 当时，，，，，‎ 当时，得，由正弦定理得，‎ 联立方程组解得，．‎ 所以的面积． 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：‎ ‎（一.）测量问题 图1‎ A B C D ‎1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。‎ 分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。‎ 解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。‎ 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。‎ ‎（二.）遇险问题 ‎2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？‎ 西 北 南 东 A B C ‎30°‎ ‎15°‎ 图2‎ 解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。‎ 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。‎ 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。‎ ‎（三.）追击问题 图3‎ A B C 北 ‎45°‎ ‎15°‎ ‎3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°　‎ 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南　　‎ 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ ‎ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。‎ 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，‎ 设∠ABC=α，∠BAC=β。‎ ‎∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理，‎ ‎，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）‎ ‎∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。‎ 根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，‎ ‎∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船。‎ 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。‎ ‎4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？‎ 解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.‎ 北 ‎20‎ ‎10‎ A B ‎•‎ ‎•C 于是,BC=10。 ∵，∴sin∠ACB=，‎ ‎ ∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。‎ ‎∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援。‎