福建省福清华侨中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题 含解析

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福建省福清华侨中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题 含解析

www.ks5u.com 福清华侨中学2018-2019学年(下)期末考试 高二数学(文)试题 一 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.若集合,则的子集共有( )‎ A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过交集的相关性质计算出集合中所包含的元素,然后通过集合的子集数量的相关公式即可得出结果。‎ ‎【详解】因为,共有两个元素,‎ 所以的子集共有个,故选B。‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算以及集合的子集的数量,考查运算求解能力,如果一个集合有个元素,则它有个子集,是简单题。‎ ‎2.函数f(x)=‎ A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎,所以零点在区间(0,1)上 考点:零点存在性定理 ‎3.函数在上的最大值是( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的单调性可求函数的最大值.‎ ‎【详解】,所以在上单调减函数, ‎ 所以的最大值为,故选C.‎ ‎【点睛】一般地,若在区间上可导,且,则在上为单调增(减)函数;反之,若在区间上可导且为单调增(减)函数,则.‎ ‎4.已知下面四个命题:‎ ‎①“若,则或”的逆否命题为“若且,则”‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件 ‎③命题存在,使得,则:任意,都有 ‎④若且为假命题,则均为假命题,其中真命题个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据逆否命题的写法,以及或变为且得到命题正确;② 时,也成立;③含有量词(任意、存在)的命题的否定既要换量词,又要否定结论;④命题p,q中只要有一个为假命题,“P且q”为假命题.‎ ‎【详解】对于①,交换条件和结论,并同时否定,而且“或”的否定为“且”,故①是真命题;‎ 对于②时,也成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故②是真命题;‎ 对于③含有量词(任意、存在)的命题的否定既要换量词,又要否定结论,故③是真命题;‎ 对于④命题p,q中只要有一个为假命题,“P且q”为假命题,因而p或q 有可能其中一个是真命题,故④是假命题.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的逆否关系,充分不必要条件的判定,含有量词的命题的否定及含有逻辑词“且”的命题的真值情况,属于中档题.‎ ‎5.设,,,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性判断出的取值范围,从而可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于难题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间 );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的性质可得正确的选项.‎ ‎【详解】A中函数是上的奇函数,故A错;‎ B中函数是上的增函数,故B错;‎ C中函数是上的偶函数,且在上为单调减函数,故C正确;‎ D中函数为上的偶函数,且在上为单调增函数,故D错误.‎ 综上,选C.‎ ‎【点睛】本题考查初等函数的性质,属于容易题.‎ ‎7.函数( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由于函数为偶函数又过(0,0),排除B,C,D,所以直接选A.‎ ‎【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题.‎ ‎8.已知,“函数有零点”是“函数在上是减函数”的( ).‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得,由函数有零点可得,,而由函数在 上为减函数可得,因此是必要不充分条件,故选B.‎ 考点:1.指数函数的单调性;2.对数函数的单调性;3.充分必要条件.‎ ‎9.已知函数是定义在上的奇函数,对任意的都有,当时,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,对变形可得,则函数是周期为的周期函数,据此可得,,结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值,相加即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,函数满足任意的都有,则,‎ 则函数是周期为的周期函数,‎ ‎,‎ 又由函数是定义在上的奇函数,则,‎ 时,,则,‎ 则;‎ 故;‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用,关键是求出函数的周期,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,为的导函数,则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:求导,利用原函数、导函数的奇偶性进行赋值求解.‎ 解析:,‎ ‎∴为偶函数,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 点睛:本题考查函数的求导法则、函数的奇偶性的应用等知识,意在考查学生的逻辑思维能力和转化能力.‎ ‎11.已知是定义在R上减函数,其导函数满足,则下列结论正确的是( )‎ A. 对于任意, B. 对于任意,‎ C. 当且仅当, D. 当且仅当,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值,令,结合题目所给不等式,对选项进行排除,由此得出正确选项.‎ ‎【详解】从选择支看,只需判断的符号,,,‎ ‎,排除A、C、D,故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数,考查特殊值法解选择题,属于基础题.‎ ‎12.已知函数,若关于方程只有两个不同的实根,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,先求出的函数解析式,再画出其图像,由数形结合可得结果.‎ ‎【详解】,‎ 画出函数图像,因为关于的方程有两个不同的实根,所以 故选D ‎【点睛】本题考查了函数性质,解析式的求法以及函数的图像,求其解析式以及画出函数图像是解题的关键,属于较难题.‎ 二:填空题。‎ ‎13.已知幂函数的图象经过点,则_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求得,得到,再由函数的图象经过点,求得,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,幂函数,所以,即,‎ 又由函数的图象经过点,即,所以,则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义,及幂函数解析式的应用,其中解答中熟记幂函数的概念,以及利用幂函数的解析式准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎14.已知,则=___.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,求出值后可得的值.‎ ‎【详解】令,则,所以. 填.‎ ‎【点睛】本题考查函数的函数值的求法,注意无需求出解析式,可整体考虑.‎ ‎15.已知,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,令后可得的值.‎ ‎【详解】,令,‎ 则,故.填.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的运算,属于容易题,求导时注意为常数.‎ ‎16.函数y=log3(x2﹣2x)的单调减区间是 .‎ ‎【答案】(﹣∞,0)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先求函数的定义域设u(x)=x2﹣2x则f(x)=lnu(x),因为对数函数的底数3>1,则对数函数为单调递增函数,要求f(x)函数的减区间只需求二次函数的减区间即可.‎ 解:由题意可得函数f(x)的定义域是x>2或x<0,‎ 令u(x)=x2﹣2x的增区间为(﹣∞,0)‎ ‎∵3>1,‎ ‎∴函数f(x)的单调减区间为(﹣2,1]‎ 故答案:(﹣∞,0)‎ 考点:对数函数的单调性与特殊点;对数函数的定义域.‎ 三:解答题。‎ ‎17.选修4-4:坐标系与参数方程 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合.直线(t为参数),曲线 ‎(I)求曲线的直角坐标方程; ‎ ‎(Ⅱ)直线与曲线交相交于A,B两点,求AB中点M的轨迹的普通方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由由,,代入曲线化简即可;(Ⅱ)将代入 ‎,设直线上的点对应的参数分别为,结合韦达定理,得出点M的轨迹方程的参数方程,转化为普通方程即可.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)由,,代入曲线 得,即 ‎(Ⅱ)将代入得,,‎ 设直线上的点对应的参数分别为,‎ 则,‎ 所以中点M的轨迹方程为(为参数),‎ 消去参数,得M点的轨迹的普通方程为 ‎【点睛】本题考查了极坐标系方程与平面直角坐标系方程的转化,直线的参数方程,动点的轨迹方程,属于中档题.‎ ‎18.已知为正实数,函数.‎ ‎(1)求函数的最大值;‎ ‎(2)若函数的最大值为1,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用绝对值不等式公式进行求解;‎ ‎(2)由(1)得,再根据基本不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】解:(1)因为,‎ 所以函数的最大值为.‎ ‎(2)由(1)可知,,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 且当时取“”,‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识,运用基本不等式时,要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件,熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.‎ ‎19.已知定义在区间上的函数为奇函数.‎ ‎(1)求函数的解析式并判断函数在区间上的单调性;‎ ‎(2)解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1);在区间上是增函数;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用可求的值,注意检验.利用定义可判断为上的单调增函数 ‎(2)利用(1)中的结论及为奇函数可得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)∵是在区间上的奇函数,‎ ‎∴,则,此时,‎ 是奇函数.‎ 设,‎ 则,‎ ‎, ‎ 则,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴函数在区间上是增函数.‎ ‎(2)∵,且为奇函数,‎ ‎∴.‎ 又∵函数在区间上是增函数,‎ ‎,解得,‎ 故关于的不等式的解集为.‎ ‎【点睛】含参数的偶函数(或奇函数),可通过取自变量的特殊值来求参数的大小,注意最后检验必不可少,也可以利用(或)恒成立来求参数的大小. 另外解函数不等式要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则.‎ ‎20.某小型机械厂有工人共名,工人年薪4万元/人,据悉该厂每年生产台机器,除工人工资外,还需投入成本为(万元),且每台机器售价为万元.通过市场分析,该厂生产机器能全部售完.‎ ‎(1)写出年利润(万元)关于年产量的函数解析式;‎ ‎(2)问:年产量为多少台时,该厂所获利润最大?‎ ‎【答案】(1);(2)100台时,850万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用利润等于销售额减去成本可得利润函数.‎ ‎(2)利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值.‎ ‎【详解】(1)依题意有.‎ ‎(2)当时,‎ 此时时,取得最大值万元; ‎ 当时, ‎ 当且仅当时,即时,取得最大值万元. ‎ 综上可知当年产量为100台时,该厂在生产中获利最大,最大利润为850万元.‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用,一般地,函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型,并利用常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值.‎ ‎21.已知函数,当时,有极大值.‎ ‎()求,的值.‎ ‎()求函数的极小值.‎ ‎()求函数在的最值.‎ ‎【答案】(),. () . ().‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)求导,利用进行求解;(2)求导,利用导函数的符号变化确定函数的单调性,进而确定函数的极小值点和极小值;(3)利用(2)的单调性和极值,再结合端点函数值确定最值.‎ 解析:(),,‎ ‎∵当时,有极大值,‎ ‎∴即解得,‎ 故,.‎ ‎()由()知,,‎ 令,解得,‎ 令,解得或,‎ ‎∴在和上是减函数,在上是增函数,‎ ‎∴在取得极小值,‎ 故. ‎ ‎()由()可知,在和上是减函数,在上是增函数,‎ 又,,,,‎ 故当时,,‎ 当时,.‎ 点睛:(1)在处理已知函数在处取得极值求有关参数问题时,不仅要重视,还要验证两侧的符号变化;‎ ‎(2)利用导数求函数在某区间上的最值的一般步骤为:‎ ‎①求导,利用导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性;‎ ‎②求出位于该区间内的极值;‎ ‎③比较极值和端点函数值,确定最大值和最小值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;‎ ‎(Ⅱ)若函数在处取得极值,对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)时在上没有极值点,当时,在上有一个极值点.(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)显然函数的定义域为.‎ 因为,所以,‎ 当时,在上恒成立,函数在单调递减,‎ ‎∴在上没有极值点; ……3分 当时,由得,由得,‎ ‎∴在上递减,在上递增,即在处有极小值.‎ ‎∴当时在上没有极值点,当时在上有一个极值点.……6分 ‎(Ⅱ)∵函数在处取得极值,由(Ⅰ)结论知,‎ ‎∴, ……8分 令,所以,‎ 令可得在上递减,令可得在上递增, ……10分 ‎∴,即. ……12分 考点:本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题,考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评:导数是研究函数问题的有力工具,常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂,设问较多的题目审题时,应该细致严谨,将题目条件条目化,一一分析,细心推敲.对于设问较多的题目,一般前面的问题较简单,问题难度阶梯式上升,先由条件将前面的问题正确解答,然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件,注意问题之间的相互联系,使问题化难为易,层层解决.‎ ‎ ‎
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