【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题12函数性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题12函数性质学案

专题十二 函数性质 ‎【函数概念和表示】 （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 ‎ 函数的表示方法：  （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 ‎ ‎【函数的单调性、最值】‎ 单调性的定义：‎ ‎1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。‎ ‎2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义： 最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 ‎【函数的奇偶性、周期性】‎ 函数的奇偶性定义：‎ 偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。  奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。  函数的周期性：‎ ‎（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。  （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 ‎ 奇函数与偶函数性质：‎ ‎（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（2）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。‎ ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文8】‎ 函数的单调递增区间是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．‎ ‎【考点】复合函数单调区间 ‎【点拨】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性．‎ 答题思路 ‎【命题意图】这类问题的主要意图是：1．理解函数的单调性及其几何意义．2．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．‎ ‎【命题规律】这类试题括确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则多为解答题．考查重点仍将以函数性质的应用为主．函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．‎ ‎【答题模板】‎ ‎①涉及函数单调性方面——求函数单调区间的常用方法有：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间，首先应判断所给函数是否为基本函数或由基本函数变换而来，若是，可借助图象确定函数的单调区间；若不是，可结合导数或复合函数单调性结论确定函数的单调区间；‎ ‎②涉及函数奇偶性方面——首先应先确认函数定义域是否关于原点对称，进而利用或确定函数奇偶性，若以上及均不成立，则可确定函数为非奇非偶函数；‎ ‎③涉及函数周期性方面——判断函数的周期只需证明（），便可证明函数是周期函数，且周期为．‎ ‎【方法总结】‎ 函数性质是高考的热点问题，要对此类问题有更深的了解：‎ ‎1． 求函数的单调性或单调区间的方法 ‎(1)利用已知函数的单调性．‎ ‎(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．‎ ‎(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．‎ ‎(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．‎ ‎(5)复合函数根据“同增异减”判断．‎ ‎2．函数的周期性及其应用 判断函数的周期只需证明（）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．‎ ‎3．对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷，文9】已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0WWW.ziyuanku.com，2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误；又（），在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C．‎ ‎【考点】函数性质 ‎【点拨】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．‎ ‎（5）【2017年高考北京卷，文5】已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，所以函数是奇函数，并且是增函数， ‎ ‎【点拨】‎ ‎2. 【2017年高考江苏卷14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由于 ，则需考虑 的情况 在此范围内， 且 时，设 ，且 互质 若 ，则由 ，可设 ，且 互质 因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 ‎ ‎【考点】函数与方程 ‎【点拨】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎3. 【2017年高考山东卷，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 时,,则f(919)= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】函数奇偶性与周期性 ‎【点拨】与函数奇偶性有关问题的解决方法 ①已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．‎ ②已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．‎ ③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．‎ ④应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．‎ ‎4．【2017湖南娄底二模】对于函数（、、），选取、、的一组值计算、，所得出的正确结果可能是（ ）‎ A． 2和1 B． 2和0 C． 2和-1 D． 2和-2‎ ‎【答案】B ‎【解析】为定义域上的奇函数，所以，所以 ‎，故选B．‎ ‎5．【2017河北唐山二模】函数， 的最小值为0，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为在上单调递减，且，所以；故选D．‎ ‎6．【2017安徽池州4月联考】已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的，当时，都有；‎ ‎②；‎ ‎③是偶函数；‎ 若， ， ，则的大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【点拨】本题主要考查了函数的单调性，周期性和对称性，当比较大小的自变量不在一个单调区间时，要根据已知条件转化到同一个单调区间．‎ 由可知函数周期为8；‎ 由是偶函数知函数关于对称；‎ 由对任意的，当时，都有，得在上单调递增．‎ ‎7．【2017安徽淮北二模】已知函数为偶函数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，选A．‎ ‎8．【2017江西上饶一模】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎9．【2017陕西师范附属二模】已知偶函数，当时， ． 设， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，即，又因为当时， ，所以函数 在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即；故选D．‎ ‎【点拨】本题的难点是由函数为偶函数得到函数的图象关于直线对称，也是学生易错点，特别要强调为偶函数 ‎7．【2017重庆二诊】已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）‎ A． 3 B． 1或3 C． 4或6 D． 3或4或6‎ ‎【答案】B ‎（3）当或时，有两个实根；‎ ‎（4）当时，无实根．‎ 令，则由，得，‎ 当时，由，‎ 符号情况（1），此时原方程有1个根，‎ 由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；当时，由，又，‎ 符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，‎ 由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，‎ 综上得共1个或3个根．‎ 综上所述， 的值为1或3．故选B．‎ ‎【点拨】此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点．方程的实根分布情况，常常与参数的取值范围结合在一起，解答这类问题，有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决．‎ ‎10．【2017重庆二诊】设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】此题主要考查对数函数、二次函数、分段函数的值域，以及函数单调性、最值、数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点．用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用；另一方面则要注意画图的准确性，完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成．‎ ‎11．【2017江西五调】已知函数（）满足，函数，若曲线与图像的交点分别为， ， ，…， ，则__________（结果用含有的式子表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎12．【2017云南师大附中月考】 已知函数，若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 因为，所以函数为增函数，所以不等式等价于，即，故．‎ ‎（9）【2016年高考全国Ⅰ卷，文9】函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.‎ ‎【考点】函数的图像与性质 ‎【点拨】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.‎ ‎13.【2016年高考全国Ⅱ卷，文12】已知函数f（x）（x∈）满足f(x)=f(2−x)，若函数 y=|x2−2x−3|与y=f(x)‎ 图像的交点为（x1，y1），(x2，y2)，…，（xm，ym），则 ‎ ‎(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m ‎【答案】B ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【点拨】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有 ‎，那么函数的图象有对称中心．‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅲ卷，文16】已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 ‎【点拨】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．‎ ‎15.【2016年高考北京卷，文4】下列函数中，在区间 上为减函数的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由在上单调递减可知D符合题意，故选D.‎ ‎【考点】函数单调性 ‎【点拨】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．‎ ‎(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；‎ ‎(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.‎ ‎16．【2016年高考四川卷，文14】若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

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