【数学】2018届一轮复习人教A版第二部分板块(一)系统思想方法——融会贯通学案
板块(一)
系统思想方法——融会贯通
(一)小题小做 巧妙选择
高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．
一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．
一、直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B．
C． D．
[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a2，b2的关系求解．
依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2.
[答案] A
[应用体验]
1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，
则S∩T＝{x|0
b>1,0b>1,0，
∴选项A不正确．
对于B,4×2＝4，2×4＝4,4>4，
∴选项B不正确．
对于C,4×log2＝－4,2×log4＝－1，－4<－1，
∴选项C正确．
对于D，log4＝－，log2＝－1，－>－1，
∴选项D不正确．
故选C．
法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．
∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a>b>1,0bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a>b>1,0bac，选项B不正确．
∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，
∴>.又∵0logbc，选项D不正确．
[答案] C
[应用体验]
5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C．
法二：(直接法)函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t
2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故选C．
四、排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C．
[答案] C
[应用体验]
6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：选D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D.
7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B 当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C．
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f，所以e>.
故选D.
(二)快稳细活 填空稳夺
绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．
填空题解答“五字诀”
快——运算要快，力戒小题大做
细——审题要细，不能粗心大意
稳——变形要稳，不可操之过急
活——解题要活，不要生搬硬套
全——答案要全，避免残缺不齐
一、直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．
[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
[技法演示] 先求出sin A，sin C的值，进而求出sin B的值，再利用正弦定理求b的值．
因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝.
[答案]
[应用体验]
1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
2．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
二、特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．
[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解．
如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c，
又2|AB|＝3|BC|，∴设|AB|＝6，|BC|＝4，则|AF1|＝3，|F1F2|＝4，
∴|AF2|＝5.由双曲线的定义可知，a＝1，c＝2，∴e＝＝2.故填2.
法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a，b，c的等式求解．
如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2C．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．
[答案] 2
[应用体验]
3．(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
解析：法一：(特殊值法)由题意知a1，a3，a5成等差数列，a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比数列，所以观察可设a1＝5，a3＝3，a5＝1，所以q＝1.故填1.
法二：(直接法)因为数列{an}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.
答案：1
三、数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．
[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m的值，再结合图象求|CD|.
由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直线l 的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
[答案] 4
[应用体验]
4．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：画出可行域(如图所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由解得即B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
答案：4
5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－20，b>0)的一条渐近线与圆(x－)2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )
A．2 B．
C． D．
解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，与圆相切，∴圆心(，1)到渐近线的距离为＝1或＝1，又a>0，b＞0，解得a＝b，∴c2＝a2＋b2＝4a2，即c＝2a，∴e＝＝2.
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是( )
A．－3 B．－
C． D．2
解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下：
开始S＝2，i＝1.
第一次循环，S＝－3，i＝2；第二次循环，S＝－，i＝3；第三次循环，S＝，i
＝4；第四次循环，S＝2，i＝5；
第五次循环，S＝－3，i＝6；……，可知S的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i值2 018＝504×4＋2，∴输出的S＝－3.
7．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为( )
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：选D 由|＋|＝|－|，两边平方可得||2＋||2＋2·＝3||2＋3||2－6·，又||＝||＝3，∴·＝，
∴·＝(＋)·＝2＋·＝2－·＝9－＝.
8．设{an}是公差不为0的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则{an}的前10项和S10＝( )
A．－10 B．－5
C．0 D．5
解析：选C 由a＋a＝a＋a，可得(a－a)＋(a－a)＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5)＝0，∵d≠0，
∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝0.
9．函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是( )
解析：选B ∵f(x)＝cos x，
∴f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝－cos x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A，C；
又由当x∈时，f(x)<0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选B.
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若＝3，则直线AB的斜率为( )
A． B． C． D．
解析：选D 作出抛物线的准线l：x＝－1，
设A，B在l上的投影分别是C，D，
连接AC，BD，过B作BE⊥AC于E，如图所示．
∵＝3，∴设|AF|＝3m，
|BF|＝m，则|AB|＝4m，
由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，则|AE|＝2m.
因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝，
得∠BAE＝60°.
所以直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，故直线AB的斜率为k＝tan 60°＝.
11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )
A．4π B．
C． D．20π
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r，所以r＝ ＝，则球面的表面积为4πr2＝4π×＝.
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当 取得最大值时，＋－ 的最大值为( )
A．0 B．1
C． D．3
解析：选B ∵x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1(当且仅当x＝2y时等号成立)，∴max＝1，此时x＝2y，
则z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2，
∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
当且仅当y＝1时等号成立，满足题意．
∴＋－的最大值为1.
二、填空题
13．已知等比数列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，则a6＝________.
解析：∵a1＋a3＝，a2＋a4＝，
∴解得
∴a6＝2×5＝.
答案：
14．已知sin＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，∵a＞0，b＞0，∴直线y＝－x＋
的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，
平移直线y＝－x＋，由图象可知当y＝－x＋经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大．
由解得即A(4,6)．
此时z＝4a＋6b＝10，即2a＋3b－5＝0，
即点(a，b)在直线2x＋3y－5＝0上，因为a2＋b2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d＝＝，故a2＋b2的最小值为d2＝.
答案：
16．已知函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，即y＝|xex|与y＝m的图象有三个交点．令g(x)＝xex，则g′(x)＝(1＋x)ex，
当x＜－1时，g′(x)＜0，当x＞－1时，g′(x)＞0，
故g(x)＝xex在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g(－1)＝－，又由x＜0时，g(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，故函数y＝|xex|的图象如图所示：
由图象可知y＝m与函数y＝|xex|的图象有三个交点时，m∈，故m的取值范围是.
答案：
“12＋4”小题提速练(二)
(限时：40分钟 满分：80分)
一、选择题
1．(2017·西安模拟)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C 化简集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|2≤x＜3}．
2．(2017·福州模拟)已知复数z＝2＋i，则＝( )
A．－i B．－＋i
C．－i D．－＋i
解析：选A 因为z＝2＋i，所以＝＝＝－i.
3．设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：选C 因为a＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－＝，＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.
4．(2018届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )
A．3种 B．8种
C．30种 D．48种
解析：选D 能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．
又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．
5．(2017·合肥模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最大值为( )
A．5 B．6
C． D．7
解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z＝x＋2y经过直线x－y＝－1与x＋y＝4的交点，即
A时，z取得最大值，zmax＝x＋2y＝.
6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为( )
A．64 B．73
C．512 D．585
解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x的值为1时，进行第一次循环，S＝1＜50，x＝2；进行第二次循环，S＝1＋23＝9＜50，x＝4；进行第三次循环，S＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S的值为73.
7．(2017·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：选C 因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.
8．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为( )
A．π B．8π
C．π D．π
解析：选C 如图所示，当点D位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R，则四面体的高为h＝R＋，四面体的体积为V＝××()2×sin 60°×(R＋)＝×(R＋)＝，解得R＝，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π2＝，故选C．
9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.
当0＜r＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；
当r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；
当1＜r＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当2＜r＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.
综上，当0＜r＜3时，圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，由圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1可得0＜r＜3，故p是q的充要条件，故选C．
10．(2017·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且＝2 .若·＝0，则e2＝( )
A．－1 B．2－
C．2－ D．－2
解析：选C 由题意可知，在Rt△PF1F2中，F2Q⊥PF1，所以|F1Q|·|F1P|＝|F1F2|2，又|F1Q|＝|F1P|，所以有|F1P|2＝|F1F2|2＝4c2，即|F1P|＝c，进而得出|PF2|＝C．又由椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝c＋c＝2a，解得e＝＝＝，所以e2＝2－.
11．(2017·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
解析：选D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sinωx＋φ＋，因为0＜φ＜π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f(x)的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f(x)在上单调递增，故选D.
12．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：选D 依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)．
二、填空题
13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝，则·＝________.
解析：由菱形的性质知||＝a，||＝a，且〈，〉＝，∴·＝a×a×cos＝a2.
答案：a2
14．(2017·石家庄模拟)若n的展开式的二项式系数之和为64，则含x3项的系数为________．
解析：由题意，得2n＝64，所以n＝6，
所以n＝6，
其展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Cx12－3r.
令12－3r＝3，得r＝3，
所以展开式中含x3项的系数为C＝20.
答案：20
15．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.
解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝·＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝，
P(ξ＝2)＝·＋·＝，
P(ξ＝3)＝·＝，
所以ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
16．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥PABC的所有顶点都在表面积为的球面上，底面ABC是边长为的等边三角形，则三棱锥PABC体积的最大值为________．
解析：依题意，设球的半径为R，则有4πR2＝，R＝，△ABC的外接圆半径为r＝＝1，球心到截
面ABC的距离h＝＝＝，因此点P到截面ABC的距离的最大值等于h＋R＝＋＝4，因此三棱锥PABC体积的最大值为××4＝.
答案：
“12＋4”小题提速练(三)
(限时：40分钟 满分：80分)
一、选择题
1．已知集合M＝{x|16－x2≥0}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}，则M∩N＝( )
A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}
C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}
解析：选C 由M中16－x2≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以M＝{x
|－4≤x≤4}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，则M∩N＝{x|1≤x≤4}．
2．若复数z满足z(4－i)＝5＋3i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：选A 由z(4－i)＝5＋3i，
得z＝＝＝＝1＋i，
则复数z的共轭复数为 1－i.
3．由变量x与y的一组数据：
x
1
5
7
13
19
y
y1
y2
y3
y4
y5
得到的线性回归方程为＝2x＋45，则＝( )
A．135 B．90
C．67 D．63
解析：选D 根据表中数据得＝×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程＝2x＋45过点(，)，则＝2×9＋45＝63.
4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )
A．输出a，b，c三个数中的最大数
B．输出a，b，c三个数中的最小数
C．将a，b，c按从小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a，b大小，a的值是a，b之间的较小数；第二个判断框是比较a，c大小，输出的a是a，c之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a，b，c三个数中的最小数．故选B.
5．函数y＝sin的图象经过下列平移，可以得到函数y＝cos
图象的是( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选B 把函数y＝sin＝cos－＝cos的图象向左平移个单位，可得y＝cos＝cos的图象．
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，
又∵f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期，
∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f(x)为[3,4]上的减函数，故充分性成立．
若f(x)为[3,4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f(x)在[－1,0]上是减函数，
再由函数是偶函数可得出f(x)为[0,1]上的增函数，故必要性成立．
综上，“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
7．某三棱锥的三视图如图所示，其三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为( )
A． B．
C．1 D．6
解析：选A 由已知中的三视图可得，该三棱锥的底面面积S＝×2×1＝1，高h＝1，故体积V＝Sh＝.
8．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝4，|b|＝1，且b⊥(a－xb)，则实数x为( )
A．4 B．2
C．1 D．
解析：选B ∵b⊥(a－xb)，∴b·(a－xb)＝0，即a·b－xb2＝4×1×cos 60°－x＝0，解得x＝2.
9．已知点P在直线x＝－1上移动，过点P作圆(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，相切于点Q，则切线长|PQ|的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．
解析：选B 圆心(2,2)到直线x＝－1的距离为d＝3＞r＝1，故直线和圆相离．故切线长|PQ|的最小值为＝2.
10．(2017·太原三模)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为( )
A．126 B．130
C．132 D．134
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.
11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A． B．
C． D．1
解析：选C 由题意可得F，设P，
显然当y0＜0时，kOM＜0；当y0＞0时，kOM＞0.
要求kOM的最大值，必须有y0＞0，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，即M，则kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时，等号成立．故选C．
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D ∵函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有四个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象及直线y＝kx－，如图，
故点(1,0)在直线y＝kx－的下方，∴k×1－＞0，解得k＞.
又当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则 k＝＝，∴m＝，
此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故k的取值范围是.
二、填空题
13．(x＋y＋z)8的展开式中项x3yz4的系数为________．(用数字作答)
解析：(x＋y＋z)8的展开式表示8个因式(x＋y＋z)的积，展开式中项x3yz4即从这8个因式中任意选出3个取x，从剩下的5个中任意选4个取z，最后的一个取y，即可得到含x3yz4的项，故x3yz4的系数为C·C·C＝280.
答案：280
14．实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围为________．
解析：由约束条件作出可行域如图，
联立解得A(3,1)，
联立解得B(1,2)．
z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P
(－1,0)连线的斜率．∵kPA＝，kPB＝1，∴z＝的取值范围为.
答案：
15．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数是________．
解析：第7行第一个数和最后一个数都是，第二个数
加要等于，所以第二个数是，同理第三个数加等于，则第三个数是.
答案：
16．以抛物线y2＝8x的焦点为圆心，以双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则当＋取得最小值时，双曲线的离心率为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，
∵以抛物线y2＝8x的焦点为圆心，以双曲线－＝1(a>0，b>0)虚半轴长b为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，
∴＝b，∴a2＋b2＝4，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝b时，等号成立，即此时＋取得最小值，∴c＝b，∴e＝＝＝.
答案：
(三)函数方程 稳妥实用
函数与方程思想的含义
函数与方程思想在解题中的应用
1
函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
2
三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．
3
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．
4
解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．
5
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
函数与方程思想在不等式中的应用
[典例] 设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．
[解] 问题可以变成关于m的不等式：
即(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，
设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
则
即
解得ln x2－ln x1 B．e－ex1e D．x2eg(x2)，
∴x2e>x1e，故选C．
2．已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)＜0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式＞1的解集为________．
解析：∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴g(0)＝g(4)＝1.
设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
又g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0，
∴f(x)在R上单调递减．
又f(0)＝＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0.
答案：(－∞，0)
3．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．
解：∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
原题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，
则即
解得x>2或x<－1.
∴x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用
[典例] (1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．
[解析] 法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x，
设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，
显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．
因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．
法二：令t＝sin x，
由x∈，可得t∈(0,1]．
将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解，
设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．
因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于
即所以－10恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
[技法领悟]
本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋(x≥1)，利用函数求解．
[应用体验]
7．(2017·洛阳第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d的值为( )
A．1 B．2
C．9 D．10
解析：选A 依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10.
又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a10，an＋1＝an，且bn＝ln(1＋an)＋a，n∈N*，证明：<<1.
证明：由a1＝a>0，an＋1＝an知，an>0(n∈N*)，
故bn>0(n∈N*)．
因为<1，所以bn－an>0，
构造函数f(x)＝ln(1＋x)＋x2－x(x>0)，
则其导数f′(x)＝＋x－1＝，
当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即bn－an>0，所以<1.
因为<，所以ln(1＋an)－an<0，
构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，
则导函数g′(x)＝－1＝，
当x>0时，g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故g(x)，所以<<1.
函数与方程思想在解析几何中的应用
[典例] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且·＝·.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定·的取值范围．
[解] (1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)，
则由·＝·，得b2－a－1＝0.
∵b2＝a2－1，
∴a2－a－2＝0，
解得a＝2.(列出方程)
∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①若直线l斜率不存在，则l：x＝1，
此时M，N，·＝－.
②若直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 消去y得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(列出方程)
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝.(转化为函数)
∵k2≥0，∴0<≤1，∴3≤4－<4，
∴－3≤·<－.
综上所述，·的取值范围为.
[技法领悟]
本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b值，再求·的范围时转化为关于k的函数，利用函数性质求解．
[应用体验]
9．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．
解析：依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.
由＝6 知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝ .
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，
得x0＝.
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
解得k＝或k＝.
答案：或
10．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，问：是否存在k，使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F.
解：F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)，
当k＝0时，l与C只有一个交点不合题意，因此k≠0.
将y＝k(x＋1)代入y2＝4x，
消去y，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，①
依题意，x1，x2是①的不相等的两个根，
则
以AB为直径的圆过F⇔AF⊥BF⇔kAF·kBF＝－1
⇔·＝－1⇔x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0
⇔x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0
⇔(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，③
把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③得2k2－1＝0，解得k＝±，
经检验k＝±适合②式，综上所述，k＝±为所求．
函数与方程思想在立体几何中的应用
[典例] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
[解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积
V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，
则0＜h＜6，O1O＝4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，
O1B＋PO＝PB，
所以2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，(转化为函数)
从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．
当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；
当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．
故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．
(1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，h的方程，再由公式把体积V表示成关于高h的函数，最后利用导数求解．
(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值．
[技法领悟]
[应用体验]
11．(2017·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设圆锥的高为h，轴截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝×2r×h＝L2sin θ≤L2，sin θ≤1，当截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥Lcos 45°＝L，所以≤<1.
12．(2017·福州质检)在三棱锥ABCD中，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠BDC＝90°，二面角ABCD的大小为150°，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为( )
A．7π B．12π
C．16π D．28π
解析：选D 满足题意的三棱锥ABCD如图所示，设三棱锥ABCD的外接球的球心为O，半径为R，△BCD，△ABC的外接圆的圆心分别为O1，O2，易知O，O1，O2在同一平面内，由二面角ABCD的大小为150°，易得∠OO1O2＝150°－90°＝60°.
依题意，可得△BCD，△ABC的外接圆的半径分别为
r1＝＝＝，r2＝＝2，
所以即
解得R＝，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为4πR2＝28π.
13．平面内边长为a的正三角形ABC，直线DE∥BC，交AB，AC于D，E，现将△ABC沿DE折成60°的二面角，求DE在何位置时，折起后A到BC的距离最短，最短距离是多少？
解：如图，点A沿DE折起到A′，过A作AG⊥BC于G，交DE于F，连接A′F，A′G，
因为△ABC为正三角形，又DE∥BC，所以AG⊥DE.又G，F分别为BC，DE的中点，所以DE⊥平面A′FG，BC⊥平面A′FG，
所以∠A′FG是二面角的平面角．
由题知∠A′FG＝60°，所以A′G为所求，
在△A′FG中，设FG＝x，则A′F＝a－x.
由余弦定理，得
A′G2＝A′F2＋FG2－2A′F·FG·cos 60°
＝2＋x2－2×·x·cos 60°
＝32＋a2，
所以当x＝a时，(A′G)min＝a，
即DE恰为△ABC中位线时，折起后A到BC的距离最短，最短距离为a．
[总结升华]
(1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．
(2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
(3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
(四)数形结合 直观快捷
数形结合思想的含义
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
1
构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．
2
构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式．
3
构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.
数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用
[典例] 若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．
[解析] 当x＝0时，显然是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2可化为
＝(x＋4)|x|(x≠－4)，
设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．
则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图，易得0<<4，
解得k>.
所以k的取值范围为.
[答案]
[技法领悟]
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数
)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
[应用体验]
1．函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．
解析：令f(x)＝0，则x2－4＝－x，分别作出函数g(x)＝x2－4，h(x)＝－x的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.
答案：2
2．(2017·成都一诊)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．
解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．
不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，
则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，
所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.
答案：－7
数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
[典例] (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x
>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[解析] 选A 设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，
∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知00，得g(x)<0，由图知x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
[技法领悟]
(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．
(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
[应用体验]
3．设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．
解析：集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：
4．若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析：作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
答案：
数形结合思想在解析几何中的应用
[典例] (2017·成都二诊)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
[解析] 选D 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2A．又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4A．在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.
[技法领悟]
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
[应用体验]
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
6．已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．
解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝·|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
答案：2
7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
解析：因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
答案：
[总结升华]
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
(五)分类讨论 化繁为简
分类讨论思想的含义
分类讨论思想在解题中的应用
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化了解题思路，降低了问题难度.
1
由数学概念、法则、公式的限制而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角、等差、等比数列{an}的前n项和公式等．
2
由数学运算、性质要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，函数的单调性，基本不等式等．
3
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
4
由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.
由概念、法则、公式引起的分类讨论
[典例] (2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝
，则a8＝________.
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得
则a8＝a1q7＝×27＝32.
[答案] 32
[技法领悟]
本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由>0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．
[应用体验]
1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为( )
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
解析：选C 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意，若00，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当00两种情况．
(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
[应用体验]
5．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
6．设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)
解析：选A 由f(x)＝x2－ax＋a＋3，知f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过(2,0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示．
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f(x0)<0，则需解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<0，
故函数f(x)在区间上为增函数，
又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立．
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
根据图形位置或形状分类讨论
[典例] 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
[解] ①若∠PF2F1＝90°.
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.
综上知，＝或2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)破解此类题的关键点：
①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
[应用体验]
7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A． B．4
C． D．4或
解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.
8．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；
当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，
所以此时直线AB
的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．
综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.
9．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )
A．－ B．
C．0 D．0或－
解析：选D 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
结合图形可知斜率k的值为0或－.
[总结升华]
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
(六)转化化归 峰回路转
转化与化归思想的含义
转化与化归思想在解题中的应用
1
在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
2
将一些复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式问题求解．
3
在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4
在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5
在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解．
6
在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化.
数与形的相互转化
[典例] 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )
A． B．
C． D．
[解析] 选A 由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝ ＝ ＝2.
由题意知加工成的体积最大的正方体ABCDA1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示．
设正方体的棱长为x，
则有＝，即＝，解得x＝，
(平面转化很重要，这是由形到数的关键所在)
则原工件的材料利用率为 ＝＝.
[技法领悟]
(1)数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息；由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．
(2)破解此类题的关键点：
①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．
②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．
③回归结论，回归原命题，得出正确结论．
[应用体验]
1．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝9在区域D内的弧长为( )
A． B．
C．π D．
解析：选D 图中阴影部分内的圆弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1，－1，设α为两直线的夹角，所以α＝，而圆的半径是3，所以弧长是×3＝.
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝－2，则·(＋)＝________.
解析：如图所示，∵AM＝1，点P在AM上，且满足＝－2，
∴||＝||＝.
∵M是BC的中点，∴＋＝2，
∴·(＋)＝－2·2＝－42＝－4×2＝－.
答案：－
3．(2017·昆明质检)表面积为16π的球面上有四个点P，A，B，C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面PAB⊥平面ABC，则棱锥PABC体积的最大值为________．
解析：设球心为O，半径为R，
则4πR2＝16π，解得R＝2.
又由正弦定理，得△ABC外接圆直径2r＝＝＝4，则r＝2，
所以△ABC外接圆的圆心即是球心，如图所示．
因为平面PAB⊥平面ABC，
所以点P在平面ABC上的射影D落在AB上，
所以PD⊥平面ABC．
易知当D为AB的中点时，PD的值最大，即所求三棱锥的体积最大．
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以AB＝2，CD＝3，OD＝1，PD＝＝，
又S△ABC＝×(2)2＝3，
所以VPABC＝×3×＝3.
答案：3
一般与特殊的相互转化
[典例] 已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)
C．[－1,12] D．
[解析] 选D 当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A、B；
(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0,1往往是首选．)
当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，
f′(x)＝x2－＝(x2－1)，
当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C．
综上，选D.
[技法领悟]
(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．
(2)破解此类题的关键点：
①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．
②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．
③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．
④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论．
[应用体验]
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：选B 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a80”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________．
解析：如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．
故实数p的取值范围为.
答案：
主与次的相互转化
[典例] 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．
[解析] 由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1)．(主次转化)
对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
∴即解得－4x＋p－3成立的x的取值范围是________．
解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0.
所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4上恒为正，等价于
即解得x>3或x<－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
9．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
解析：设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)＞0恒成立，则
即
解得log2x＜－1或log2x＞3.
即0＜x＜或x＞8，
故x的取值范围是∪.
答案：∪(8，＋∞)
形体位置关系的相互转化
[典例] 如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为( )
A．40 B．80
C．160 D．240
[解析] 选C 因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，
易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得
⇒
从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDG－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
[技法领悟]
(1)形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．
(2)破解此类题的关键点：
①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．
②位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．
③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．
[应用体验]
10.如图，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A．是变量且有最大值
B．是变量且有最小值
C．是变量且有最大值和最小值
D．是常数
解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．
[总结升华]
1．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
2．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．
(2)化归到何处去，即化归目标．
(3)如何进行化归，即化归方法．
转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．
3个大题(17、18、19)保分练(一)
(限时：35分钟 满分：36分)
17．已知数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)设函数f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求Tn＝＋＋＋…＋.
解：(1)证明：∵数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得a1＝.
n≥2时，an－1＝1－2Sn－1，可得an－an－1＝－2an.
∴an＝an－1.
∴数列{an}是首项和公比均为的等比数列．
(2)由(1)可知an＝n，则f(an)＝logan＝n.
∴bn＝1＋2＋…＋n＝.
∴＝2.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
18.(2017·沈阳模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E为D1C1的中点，如图所示．
(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；
(2)证明：BD1∥平面B1EC；
(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值．
解：(1)连接BC1交B1C于M，连接ME，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示．
(2)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为AD＝AB＝2，AA1＝1，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1)．
所以＝(－2，－2,1)，＝(2,0,1)，＝(0，－1,1)，
设平面B1EC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即不妨令x＝－1，
得到平面B1EC的一个法向量为m＝(－1,2,2)，
而·m＝2－4＋2＝0，所以⊥m.
又因为BD1⊄平面B1EC，
所以∥平面B1EC．所以BD1∥平面B1EC．
(3)由(2)知＝(0，－2,0)，＝(－2，－2,1)，
设平面ABD1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即不妨令x1＝1，
得到平面ABD1的一个法向量为n＝(1,0,2)，
因为cos〈m，n〉＝＝＝，
所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.
19．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年薪(万元)
4
4.5
6
5
6.5
7.5
8
8.5
9
51
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
(2)从该单位中任选2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程＝x＋中系数计算公式分别为：
＝，＝－，其中，为样本均值．
解：(1)所求年薪的平均值为(4＋4.5＋6＋5＋6.5＋7.5＋8＋8.5＋9＋51)＝11万元，中位数为＝7万元．
(2)10名员工中年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人，ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则＝2.5，＝6，(xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，
(xi－)(yi－)＝－(1.5)×(－2)＋(－0.5)×(－0.5)＋0.5×0＋1.5×2.5＝7，
＝＝＝1.4，
＝－＝6－1.4×2.5＝2.5，
则线性回归方程为y＝1.4x＋2.5.当x＝5时，y＝1.4×5＋2.5＝9.5，
即预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．
3个大题(17、18、19)保分练(二)
(限时：35分钟 满分：36分)
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.
(1)若A＝90°，求△ABC的面积；
(2)若△ABC的面积为，求a，C．
解：(1)∵b＝1，∴a＋＝4cos C＝4×＝，
∴2c2＝a2＋1.
又A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，
∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝，a＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc＝×1×＝.
(2)∵S△ABC＝absin C＝asin C＝，∴sin C＝，
∵a＋＝4cos C，sin C＝，
∴2＋2＝1，化简得(a2－7)2＝0，
∴a＝，
又∵a＋＝4cos C，∴cos C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cos C
＝7＋1－2××1×＝4，从而c＝2.
18．(2018届高三·湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望E(η)．
解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，
可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．
又P()＝(1－0.4)3＝0.216，
故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200,250,300.
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.2.
所以η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
19.(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.
(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
解：(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD＝DC＝1，BC＝λ(λ＞0)，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(λ，1,0)，C(0,1,0)，＝(λ，1，－1)，因为点E是棱PC的中点，
所以E，＝，
于是·＝0，所以PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.
因为＝(0,1，－1)，所以·＝0，所以DE⊥PC，
而PB∩PC＝P，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，
可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.
(2)由PD⊥平面ABCD，
所以＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
由(1)知，PB⊥平面DEF，
所以＝(－λ，－1,1)是平面DEF的一个法向量．
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
则cos＝＝＝，
结合λ＞0，解得λ＝，所以＝＝.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，＝.
3个大题(17、18、19)保分练(三)
(限时：35分钟 满分：36分)
17．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由题意，得
解得
所以an＝2n.
(2)因为bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝－＝－，
故Tn＝－.
18．(2018届高三·湘中名校联考)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC与BD相交于点E，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝2，BC＝6.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角APCD的余弦值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA．
又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝.
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0，2,0)，P(0,0,4)，＝(－2，－4,0)，＝(0,2，－4)，＝(－2，2,0)，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y,1)，
则即
解得∴n＝.
由(1)知平面PAC的一个法向量为m＝＝(－2，2,0)，
∴cos〈m，n〉＝＝，
由图知，二面角APCD为锐角，
∴二面角APCD的余弦值为.
19．(2017·安徽二校联考)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2017年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
关于商品和服务评价的2×2列联表：
对服务好评
对服务不满意
总计
对商品好评
80
对商品不满意
10
总计
200
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X.
①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
对服务好评
对服务不满意
总计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
总计
150
50
200
K2＝≈11.111＞10.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X取值可以是0,1,2,3.
P(X＝0)＝3＝；
P(X＝1)＝C2＝；
P(X＝2)＝C2＝；
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
②由于X～B，则E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.
