2018-2019学年四川省遂宁市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省遂宁市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省遂宁市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设，且，则下列各不等式中恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，若，显然不成立；‎ 对于选项B，若，显然不成立；‎ 对于选项C，若，显然不成立；‎ 对于选项D，因为，所以，故正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，属于基础题.‎ ‎2．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为（ ）‎ A．-4 B．4 C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比中项可得，再根据，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比中项可知，，又，所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题.‎ ‎3．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据数量积公式和两角和公式可得，进而求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和两角和公式的应用，属于基础题.‎ ‎4．已知内角的对边分别为，满足且，则△ABC （ ）‎ A．一定是等腰非等边三角形 B．一定是等边三角形 C．一定是直角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】根据正弦定理可得和，然后对进行分类讨论，结合三角形的性质，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，因为，所以，‎ 又，所以，‎ 又 ‎ 当时，因为，所以时等边三角形；‎ 当时，因为，所以不存在，综上：一定是等边三角形.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的应用，解题过程中注意两解得情况，一般需要检验，本题属于基础题.‎ ‎5．在中，是上一点，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 因为是上一点，且，‎ 则． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．‎ ‎6．若，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对两边平方，可得，进而可得，再根据，可知，由此即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 又，所以 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角的基本关系，属于基础题.‎ ‎7．右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥，由正方体的体积减去三棱锥的体积求解．‎ ‎【详解】‎ 根据三视图，可知原几何体如下图所示， ‎ 该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱锥， 则该几何体的体积为． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体三视图的应用问题以及几何体体积的求法，关键是根据三视图还原原来的空间几何体，是中档题．‎ ‎8．已知，且 ，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，则，展开后利用基本不等式，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 因为，且，即为， ‎ 则，当且仅当，即取得等号，则的最小值为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ， ‎ 即， 即， ‎ 因为，所以，所以 ， ‎ 所以在方向上的投影为：． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎10．下面结论中，正确结论的是（ ）‎ A．存在两个不等实数，使得等式成立 B． (0< x < π)的最小值为4‎ C．若是等比数列的前项的和，则成等比数列 D．已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】对各个选项逐一判断，对于选项A，由，代入计算，即可判断是否正确；对于选项B，设，结合函数的单调性，即可判断是否正确；对于选项C，由公比为为偶数，即可判断是否正确；对于选项D，由余弦定理，即可判断是否正确．‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，两个不等实数，使得等式成立，故A正确； ‎ 对于选项B，若设设，可得在递减，即函数的最小值为，故B错误；‎ 对于选项C，是等比数列的前项的和，当公比，为偶数时， 则，均为，不能够成等比数列，故C错误； ‎ 对于选项D，中，若，可得，即为锐角，不能判断一定是锐角三角形，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正弦公式、基本不等式和等比数列的性质，以及余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎11．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先将原不等式转化为，然后对 进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 关于的不等式等价于 当时，即时，于的不等式的解集为，‎ 要使解集中恰有3个整数，则；‎ 当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；‎ 当时，即时，于的不等式的解集为，‎ 要使解集中恰有3个整数，则；‎ 综上，.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎12．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为 ，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 当时，得；‎ 当，且 时，，不满足上式，‎ ‎∴，所以，‎ 当时，；‎ 当是偶数时，为整数，则，所以；‎ 故对于任意正整数，均有：‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以 ‎ ‎ ‎．‎ 因为为偶数，所以，‎ 而，‎ 所以.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和 的推导，本题属于难题．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，若，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 因为向量 ，若 ，∴， 则.‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎14．的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎ =‎ ‎15．已知等差数列的前项和为，若，则=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的前项和为，因为，所以；‎ 又，所以． ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．‎ ‎16．一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时，取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图： ‎ 在中，由余弦定理 ‎,‎ 由为的内角，可知，所以.‎ 设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,‎ 故取最大时，取最大值.‎ ‎①当为中点时，由垂径定理知，即，‎ 此时，故；‎ ‎②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；‎ 由垂线段最短知，此时;‎ 综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；‎ 由圆周角定理可知，,‎ 由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，‎ 则，‎ 在中，由正弦定理得 所以.‎ 所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知向量且，‎ ‎（1）求向量与的夹角；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积的运算法则化简，进而求出向量与的夹角； ‎ ‎（Ⅱ）利用，对其化简，代入数值，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由得 ‎ 因 向量与的夹角为 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积的应用，以及平面向量的夹角以及平面向量的模的求法，考查计算能力．‎ ‎18．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设， 求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果； ‎ ‎（Ⅱ）先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解析：（Ⅰ）由题意可得：， ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵，∴，∴数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ） ， ∴‎ ‎ ‎ 上述两式相减 可得 ‎ ‎∴=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎19．已知 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式将已知两式展开，分别作和、作差可得 ‎，，再利用，即可求出结果； ‎ ‎（Ⅱ）由已知求得，再由，利用两角差的余弦公式展开求解，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（I） ①‎ ‎ ② ‎ 由①+②得 ③‎ 由①-②得 ④ ‎ 由③÷④得 ‎（II）∵，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和差的正余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20．已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示）‎ ‎（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.‎ ‎（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥， ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果． ‎ ‎（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由 即，得，若以为轴旋转一周，‎ 形成的几何体为以为半径，高的圆锥， ‎ 则，其表面积为 ‎. ‎ ‎（Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离， ‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．‎ ‎21．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得 ，结合范围，可求的值． ‎ ‎（Ⅱ）方法1：由余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解；方法2：由正弦定理可得，，并将其代入可得，然后再化简，根据正弦函数的图象和性质即可求得面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：（I）因为，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以 所以，‎ 即 ，‎ ‎，所以，‎ 可得： ‎ ‎，所以，‎ 所以，可得：‎ ‎（II）方法1：由余弦定理得：，‎ 得， 所以 当且仅当时取等号，‎ ‎ ‎ 所以△ABC面积的最大值为 ‎ 方法2：因为，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 当且仅当，即，当时取等号. ‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎22．已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足 ‎（Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）对递推公式变形可得 ‎，根据等比数列的定义，即可得证；‎ ‎（Ⅱ）化简可得，然后再利用裂项相消法求和，即可得到结果； ‎ ‎（Ⅲ）先求出，然后再利用分组求和求出，然后再利用分离常数法，可得，最后对进行分类讨论，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由得，变形为：，‎ ‎，且 ‎ ‎∴数列是以首项为2，公比为的等比数列 ‎ ‎（Ⅱ）由 ‎ ‎； ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列 ‎∴，于是 ‎∴=，由得 从而 ， ∴ ‎ 当n为偶数时，恒成立，而，∴1 ‎ 当n为奇数时，恒成立，而，∴ ‎ 综上所述，，即的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消法求和和分组法求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎