- 2021-04-17 发布 |
- 37.5 KB |
- 55页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
中考数学分类试题矩形菱形与正方形
第26章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1. (2011浙江省舟山,10,3分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A)48cm (B)36cm (C)24cm(D)18cm (第10题) ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】A 2. (2011山东德州8,3分)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n个图形的周长是 图1 图2 图3 …… (A) (B) (C) (D) 【答案】C 3. (2011山东泰安,17 ,3分)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 【答案】B 4. (2011山东泰安,19 ,3分)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为 A.2 B. C. D.6 【答案】A 5. (2011浙江杭州,10,3)在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积分别为.现给出下列命题:( ) ①若,则.②若则. 则: A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题 【答案】A 6. (2011浙江衢州,1,3分)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村民居侧面截图,屋坡分别架在墙体的点、点处,且,侧面四边形为矩形,若测得,则( ) (第5题) A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 【答案】C 7. (2011浙江温州,6,4分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.已知∠AOB = 60°,AC=16,则图中长度为8的线段有( ) A.2条B.4条C.5条D.6条 【答案】D 8. 2011四川重庆,10,4分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 9. (2011浙江省嘉兴,10,4分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A)48cm (B)36cm (C)24cm(D)18cm (第10题) ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】A 10.(2011台湾台北,29)如图(十二),长方形ABCD中,E为中点,作的角平分线交于F点。若=6,=16,则的长度为何? A.4B.5 C.6 D.8 【答案】C 11. (2011湖南邵阳,7,3分)如图(二)所示,中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是() A.AC⊥BD B.AB=CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 【答案】A.提示:当且仅当为菱形时,AC⊥BD。 12. (2011湖南益阳,7,4分)如图2,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C、D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 A C D 图2 B 【答案】B 13. (2011山东聊城,7,3分)已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4∶3,则这个菱形的面积是( ) A.12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 【答案】B 14. (2011四川宜宾,7,3分)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (第7题图) 【答案】D 15. ( 2011重庆江津, 10,4分)如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形; … A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 第10题图 ③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】C· 16. (2011江苏淮安,5,3分)在菱形ABCD中,AB=5cm,则此菱形的周长为( ) A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 17. (2011山东临沂,11,3分)如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∩A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是() A.2B.3C.4D.4 【答案】A 18. (2011四川绵阳7,3)下列关于矩形的说法中正确的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 19. (2011四川乐山9,3分)如图(5),在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD的中点,AE交BF于点H,CG∥AE交BF于点G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正确的序号是 A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④ 【答案】D 20.(2011江苏无锡,5,3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补 【答案】A 21. (2011湖北武汉市,12,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论: ①△AED≌△DFB; ②S四边形 BCDG= CG2; ③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论 A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③. A B C D E F G H 第12题图 【答案】D 22. (2011广东茂名,5,3分)如图,两条笔直的公路、相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A.B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路的距离为4公里,则村庄C到公路的距离是 A.3公里B.4公里 C.5公里D.6公里 【答案】B 23. (2011湖北襄阳,10,3分)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形 D.对角线相等的四边形 【答案】D 24. (2011湖南湘潭市,5,3分)下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】B 二、填空题 1. (2011山东滨州,17,4分)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______. (第17题图) 【答案】62° 2. (2011山东德州16,4分)长为1,宽为a的矩形纸片(),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为________. 第一次操作 第二次操作 【答案】或 3. (2011湖北鄂州,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为_______. A B C D 第5题图 【答案】28 4. (2011山东烟台,17,4分)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是. 【答案】2 5. (2011 浙江湖州,16,4)如图,甲类纸片是边长为2的正方形,乙类纸片是边长为1的正方形,丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形.现有甲类纸片1张,乙类纸片4张,则应至少取丙类纸片张,才能用它们拼成一个新的正方形. 【答案】4 6. (2011浙江绍兴,15,5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折,并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,那剪下的① 这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图形是正六边形,则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 7. (2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为。 …… 【答案】 8. (2011江苏泰州,18,3分)如图,平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线L1和L4上,该正方形的面积是 平方单位. 【答案】5或9 9. (2011山东潍坊,16,3分)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为_________. 【答案】 10.(2011山东潍坊,17,3分)已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为_______________. 【答案】 11. (2011四川内江,16,5分)如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足条件时,四边形EFGH是菱形. A B C D E F G H 【答案】AB=CD 12. (2011重庆綦江,14,4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH=. 【答案】: 13. (2011江苏淮安,17,3分)在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可) 【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD (答案不唯一,写出一种即可) 14. (2011江苏南京,12,2分)如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2. (第12题) B A D C E 【答案】 15. (2011江苏南通,15,3分)如同,矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且 AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点重合,则AC=▲cm. 【答案】4 16. (2011四川绵阳17,4)如图,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为_____cm. 【答案】2 17. (2011四川凉山州,17,4分)已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则的值是。 【答案】或 18. (2011湖北黄冈,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为_______. A B C D 第5题图 【答案】28 19. (2011湖北黄石,13,3分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为。 【答案】AB=2BC 20.(2011山东日照,16,4分)正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM=时,四边形ABCN的面积最大. 【答案】2; 21. (2011河北,14,3分)如图6,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和1,则BC=__. 【答案】5 22. (2010湖北孝感,16,3分)已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是. 【答案】15°或75° 三、解答题 1. (2011浙江省舟山,23,10分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH. (1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明); (2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°), ① 试用含的代数式表示∠HAE; ② 求证:HE=HG; ③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. (第23题图2) (第23题图3) (第23题图1) 【答案】(1)四边形EFGH是正方形. (2) ①∠HAE=90°+a. 在□ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a; ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a. ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形,∴AE=AB,DG=CD, 在□ABCD中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形, ∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE. ∵△HAD是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG. ③四边形EFGH是正方形. 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE, ∴四边形EFGH是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE, 又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°, ∴四边形EFGH是正方形. 2. (2011安徽,23,14分)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、(>0,>0,>0). (1)求证:=; l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D (2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=; (3)若,当变化时,说明正方形ABCD的面积S随的变化情况. l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D E F G 1 4 2 3 【答案】(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CG⊥l3交l3于点G, ∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即=; (2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S=; (3)由题意,得, 所以 , 又,解得0<h1< ∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小; 当h1=时,S取得最小值; 当<h1<时,S随h1的增大而增大. 3. (2011福建福州,21,12分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长; (2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中, ①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值. ②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式. 图10-1 图10-2 备用图 【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形 ∴∥ ∴, ∵垂直平分,垂足为 ∴ ∴≌ ∴ ∴四边形为平行四边形 又∵ ∴四边形为菱形 ②设菱形的边长,则 在中, 由勾股定理得,解得 ∴ (2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时, ∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒 ∴, ∴,解得 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒. ②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得 ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得 iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得 综上所述,与满足的数量关系式是 图1 图2 图3 4. (2011广东广州市,18,9分) 如图4,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF. 求证:△ACE≌△ACF. 图4 A B C D E F 【答案】∵四边形ABCD为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF,AC=AC ∴△ACE≌△ACF(SAS) 5. (2011山东滨州,24,10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。 (第24题图) 【答案】 当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时, 四边形AECF是矩形………………2分 证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3, ∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5分 同理,FO=CO………………6分 ∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF是矩形………………10分 6. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少? 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由. (第22题) (1)解:过作直线平行于交,分别于点,, 则,,. ∵,∴. 2分 ∴,. ∴. 4分 (2)证明:作∥交于点, 5分 则,. ∵, ∴. ∵,, ∴.∴. 7分 ∴. 8分 (第22题) 7. (2011山东威海,24,11分)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK. (1)若∠1=70°,求∠MNK的度数. (2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由. (3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值. (备用图) 【答案】 解:∵ABCD是矩形, ∴AM∥DN, ∴∠KNM=∠1. ∵∠KMN=∠1, ∴∠KNM=∠KMN. ∵∠1=70°, ∴∠KNM=∠KMN=70°. ∴∠MNK=40°. (2)不能. 过M点作ME⊥DN,垂足为点E,则ME=AD=1, 由(1)知∠KNM=∠KMN. ∴MK=NK. 又MK≥ME, ∴NK≥1. ∴. ∴△MNK的面积最小值为,不可能小于. (3)分两种情况: 情况一:将矩形纸片对折,使点B与点D重合,此时点K也与点D重合. 设MK=MD=x,则AM=5-x,由勾股定理,得 , 解得,. 即. ∴. (情况一) 情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕为AC. 设MK=AK=CK=x,则DK=5-x,同理可得 即. ∴. ∴△MNK的面积最大值为1.3. (情况二) 8. (2011山东烟台,24,10分)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2. (1)求证:AB=BC; A B C D E (2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD. 【答案】(1)证明:连接AC, ∵∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2. ∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2, ∴AB=BC. (2)证明:过C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形. ∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°, ∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF. ∴AE=BF. ∴BE=BF+EF=AE+CD. 9. (2011 浙江湖州,22,8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF. (1) 求证:四边形AECF是平行四边形; (2) 若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长 . 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC,∵BE=DF, ∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形. (2)∵四边形AECF是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE=BC=5. 10.(2011宁波市,23,8分)如图,在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点,BD是对角线,过A点作AGDB交CB的延长线于点G. (1)求证:DE∥BF; (2)若∠G=90,求证四边形DEBF是菱形. 解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD ∵E、F分别为AB、CD的中点 ∴DF=DC,BE=AB ∴DF∥BE,DF=BE ∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF (2)证明:∵AG∥BD ∴∠G=∠DBC=90° ∴DBC为直角三角形 又∵F为边CD的中点. ∴BF=DC=DF 又∵四边形DEBF为平行四边形 ∴四边形DEBF是菱形 11. (2011浙江衢州,22,10分)如图,中,是边上的中线,过点作,过点作与分别交于点、点,连接 求证:; 当时,求证:四边形是菱形; 在(2)的条件下,若,求的值. (第22题) 【答案】.证明:(1) 解法1:因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形, 所以AE//BD且AE=BD,又因为AD是边BC上的中线,所以BD=CD, 所以AE平行且等于CD,所以四边形ADCE是平行四边形,所以AD=EC. 解法2: 又 (2)解法1: 证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形 解法2 证明: 又四边形是平行四边形 四边形是菱形 解法3 证明: 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 解法1 解:四边形是菱形 的中位线,则 解法2 解:四边形是菱形 12. (2011浙江省嘉兴,23,12分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH. (1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明); (2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°), ① 试用含的代数式表示∠HAE; ② 求证:HE=HG; ③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. (第23题图2) (第23题图3) (第23题图1) 【答案】(1)四边形EFGH是正方形. (2) ①∠HAE=90°+a. 在□ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a; ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a. ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形,∴AE=AB,DG=CD, 在□ABCD中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形, ∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE. ∵△HAD是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG. ③四边形EFGH是正方形. 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE, ∴四边形EFGH是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE, 又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°, ∴四边形EFGH是正方形. 13. (2011福建泉州,21,9分)如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1. (1)证明:△A1AD1≌△CC1B; (2)若∠ACB=30°,试问当点C1在线段AC上的什么位置时,四边形ABC1D1是菱形. (直接写出答案) 【答案】 ∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1. ∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1 ∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。C B A D A1 C1 D1 (第21题) ∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。……………6分 当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形,……………9分 14. (2011甘肃兰州,27,12分)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。 (1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长; (3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。 A B C D E F O 【答案】(1)由折叠可知EF⊥AC,AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形AFCE是菱形。 (2)由(1)得AF=AE=10 设AB=a,BF=b,得 a2+b2=100 ①,ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196,得a+b=14(另一负值舍去) ∴△ABF的周长为24cm (3)存在,过点E作AD的垂线交AC于点P,则点P符合题意。 A B C D E F O P 证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴,得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP 又AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 15. (2011广东株洲,23,8分)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q. (1)求证: OP=OQ; (2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形. 【答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB, ∴△POD≌△QOB, ∴OP=OQ。 (2)解法一:PD=8-t ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°, ∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm. 当四边形PBQD是菱形时,PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB, ∴△ODP∽△ADB, ∴,即, 解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. 解法二:PD=8-t 当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=6cm, ∴, ∴, 解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. 16. (2011江苏苏州,28,9分)(本题满分9分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处). 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题: 问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程; 问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π? 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①:如图,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段弧,即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3, ∴顶点O运动过程中经过的路程为 . 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 =1+π. 正方形OABC经过5次旋转,顶点O经过的路程为 . 问题②:∵方形OABC经过4次旋转,顶点O经过的路程为 ∴π=20×π+π. ∴正方形纸片OABC经过了81次旋转. 17. (2011江苏泰州,24,10分)如图,四边形ABCD是矩形,直线L垂直平分线段AC,垂足为O,直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F. (1)△ABC与△FOA相似吗?为什么? (2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由. 【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC,所以AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA. (2)四边形AFCE是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO, 又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF, ∴四边形AFCE为平行四边形,又AF=FC,所以平行四边形AFCE为菱形. 18. (2011江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限. (1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标; (2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上; (3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由. 【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在Rt⊿AOB中,OA=AB=,在Rt⊿APB中,PA=AB=。∴点P的坐标为(,) (2)过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又PA=PB,∴△PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点P都在∠AOB的平分线上; (3)<h≤。当点B与点O重合时,点P到AB的距离为,然后顶点A在x轴正半轴上向左运动,顶点B在y轴正半轴上向上运动时,点P到AB的距离逐渐增大,当∠BAO=45°时,PA⊥x轴,这时点P到AB的距离最大为,然后又逐渐减小到,∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O , ∴点P到x轴的距离的取值范围是<h≤。 19. (2011山东济宁,17, 5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和点F,求证:四边形BEDF是菱形. 第17题 【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC,OB=OD,…………………………………………1分 ∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,…………………………2分 ∴△OED≌△OFB, ∴DE=BF,………………………………………………………3分 又∵DE∥BF, ∴四边形BEDF是平行四边形,………………………………4分 ∵EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形.………………………………………5分 20.(2011山东聊城,25,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2). (1)当t=1秒时,S的值是多少? (2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围. (3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由. 【答案】(1)如图甲,当t=1秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2, 由S=S梯形EGCG-SEBF-SFCG=(10+2)×8-×10×4-×4×2=24 (2)如图(甲),当0≤t≤2时,点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动, 此时AE=2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2) (3)如图乙,当点F追上点G时,4t=2t=8,解得t=4, 当2<t≤4时,CF=4t-8,CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即S=-8t+32(2<t≤4), (3)如图(甲),当点F在矩形的边BC上移动时,0≤t≤2,在EFF和FCG中,B=C=90,,①若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF②若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF, 综上知,当t=或时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 21. (2011山东潍坊,18,8分)已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F. (1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值; (2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值. 【解】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF. 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB=. (2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF. 又∵∠PBF=45°,∴PF=BF. ∴PE-PF=OF-BF= OB=. 22. (2011四川广安,23,8分)如图5所示,在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE 图5 【答案】证明:∵ABCD是菱形,∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE=BE 23. (2011江苏南京,21,7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F. ⑴求证:△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形. A B C D E F (第21题) 【答案】证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC. 在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC, ∴⊿ABF≌⊿ECF. (2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC. ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形. 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE. 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE, ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD. 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°. ∴口ABEC是矩形. 24. (2011江苏南通,26,10分)(本体满分10分) 已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连结EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2). (1) 探究AE′与BF'的数量关系,并给予证明; (1) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形. 【答案】(1)AE′=BF 证明:如图2, ∵在正方形ABCD中, AC⊥BD ∴∠=∠AOD=∠AOB=90° 即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′ ∴∠AOE′=∠BOF′ 又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA ∴OE′=OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′=BF (2)作△AOE′的中线AM,如图3. 则OE′=2OM=2OD=2OA ∴OA=OM ∵α=30° ∴∠AOM=60° ∴△AOM为等边三角形 ∴MA=MO=ME′,∠=∠ 又∵∠+∠=∠AMO 即2∠=60° ∴∠=30° ∴∠+∠AOE′=30°+60°=90° ∴△AOE′为直角三角形. 25. (2011山东临沂,22,7分)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F (1)求证:AC=AD; (2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形; 【解】(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠BCA, ∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B, ∵AD平分∠FAC, ∴∠FAD=∠B, ∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2分) ∴∠D=∠DCE, ∵CD平分∠ACE, ∴∠ACD=∠DCE, ∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3分) ∴AC=AD;……………………………………………………………………(4分) (2)证明:∵∠B=60°, ∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°, ∴∠DCE=∠B=60°,………………………………………………………(5分) ∴DC∥AB, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形,……………………………………………(6分) 又由(1)知AC=AD, ∴AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.……………………………………………………(7分) 26. (2011山东临沂,25,11分)如图1,奖三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G. (1)求证:EF=EG; (2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求的值. 图1 图2 图3 (1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°, ∴∠DEF=GEB,………………………………………………( 1分) 又∵ED=BE, ∴Rt△FED≌Rt△GEB,…………………………………………( 2分) ∴EF=EG.……………………………………………………( 3分) (2)成立.……………………………………………………………………( 4分) 证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I, 则EH=EI,∠HEI=90°,…………………………………( 5分) ∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°, ∴∠IEF=∠GEH,……………………………………………( 6分) ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF=EG.………………………………………………………(7分) (3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N , 则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD,………………………( 8分) ∴==, ∴==, …………………………………………(9分) ∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°, ∴∠FEN=∠GEM, ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10分) ∴==.…………………………………………(11分) 27. (2011上海,23,12分)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE.联结BF、CF、AC. (1)求证:四边形ABFC是平行四边形; (2)如果DE2=BE·CE,求证四边形ABFC是矩形. 【答案】(1)连接BD. ∵DE⊥BC,EF=DE, ∴BD=BF,CD=CF. ∵在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC, ∴四边形ABCD是等腰梯形. ∴BD=AC. ∴AC=BF,AB=CF. ∴四边形ABFC是平行四边形. (2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE, ∴EF2 =BE·CE. ∴. 又∵DE⊥BC, ∴∠CEF=∠FEB=90°. ∴△CEF∽△FEB. ∴∠CFE=∠FBE. ∵∠FBE+∠BFE=90°, ∴∠CFE +∠BFE=90°. 即∠BFC=90°. 由(1)知四边形ABFC是平行四边形, ∴证四边形ABFC是矩形. 20. (2011四川乐山20,10分)如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF。求证:BE=CF 【答案】 证明:∵四边形ABCD为矩形 ∴OA=OB=OC=ODAB=CD ∵AE=DF ∴OE=OF 在ΔBOE与ΔCOF中, ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF 29. (2011湖南衡阳,26,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q. (1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由; (2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示) (3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围. 【解】(1) 假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合(如下图), ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°, 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP, 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴, ∴,∴或8,∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2 或8. (2)如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴,即,∴. ∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC,,即,∴. (3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图), ∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP, ∴PB=DA=4,AP=BQ=, ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为: S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP= ==16(4<≤8). 30. (2011贵州贵阳,18,10分) 如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB、EA,延长BE交边AD于点F. (1)求证:△ADE≌△BCE;(5分) (2)求∠AFB的度数.(5分) (第18题图) 【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC. ∵△CDE是等边三角形, ∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°, ∴∠ADE=∠BCE=30°. ∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE, ∴△ADE≌△BCE. (2)∵△ADE≌△BCE, ∴AE=BE, ∴∠BAE=∠ABE. ∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE, ∴∠DAE=∠AFB. ∵AD=CD=DE, ∴∠DAE=∠DEA. ∵∠ADE=30°, ∴∠DAE=75°, ∴∠AFB=75°. 31. (2011广东肇庆,20,7分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED. (1)求证:△BEC≌△DEC; (2)延长BE交AD于点F,若∠DEB = 140°,求∠AFE的度数. A B C D E F 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD=CB, ∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA 又 CE =CE∴△BEC≌△DEC (2)∵∠DEB = 140° 由△BEC≌△DEC可得∠DEC =∠BEC=140°¸2=70°, ∴∠AEF =∠BEC=70°, 又∵AC是正方形的对角线, ∠DAB=90°∴∠DAC =∠BAC=90°¸2=45°, 在△AEF中,∠AFE=180°— 70°— 45°=65° 32. (2011广东肇庆,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面积为,求AC的长. A B C D E O 【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC,CE∥OD,∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=OC=BO=OD ∴四边形OCED是菱形. A B C D E O 图8 F (2)∵∠ACB=30°∴∠DCO = 90°— 30°= 60° 又∵OD= OC, ∴△OCD是等边三角形 过D作DF⊥OC于F,则CF=OC,设CF=,则OC= 2,AC=4 在Rt△DFC中,tan60°=∴DF=FC× tan60° 由已知菱形OCED的面积为得OC× DF=,即 , 解得 =2, ∴AC=4´2=8 33. (2011湖北襄阳,25,10分) 如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF. (1)求证:∠ADP=∠EPB; (2)求∠CBE的度数; (3)当的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由. 图9 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90° 1分 ∵∠DPE=90°∴∠APD+∠EPB=90° ∴∠ADP=∠EPB. 2分 (2)过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠EGP=∠A=90° 3分 又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP ∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG 4分 ∴∠CBE=∠EBG=45°. 5分 (3)方法一: 当时,△PFE∽△BFP. 6分 ∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF 7分 设AD=AB=a,则AP=PB=,∴BF=BP· 8分 ∴, ∴ 9分 又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP 10分 方法二: 假设△ADP∽△BFP,则. 6分 ∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF 7分 ∴, 8分 ∴, 9分 ∴PB=AP, ∴当时,△PFE∽△BFP. 10分 34. (2011湖南永州,25,10分)探究问题: ⑴方法感悟: 如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点G,B,F在同一条直线上. ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠_________. 又AG=AE,AF=AF ∴△GAF≌_______. ∴_________=EF,故DE+BF=EF. (第25题)① ⑵方法迁移: 如图②,将沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想. (第25题)② ⑶问题拓展: 如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由). (第25题)③ 【答案】⑴EAF、△EAF、GF. ⑵DE+BF=EF,理由如下: 假设∠BAD的度数为,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点G,B,F在同一条直线上. ∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=. 即∠GAF=∠EAF 又AG=AE,AF=AF ∴△GAF≌△EAF. ∴GF=EF, 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF. (第25题)②解得图 ⑶当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF. 35. (2011江苏盐城,27,12分) 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示. 观察图2可知:与BC相等的线段是▲,∠CAC′=▲°. 图1 图2 问题探究 如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论. 图3 拓展延伸 如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由. 图4 【答案】情境观察 AD(或A′D),90 问题探究 结论:EP=FQ. 证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论: HE=HF. 理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q. ∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°, ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°, ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = . 同理△ACG∽△FAQ,∴ = . ∵AB= k AE,AC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点, 求证:四边形BCDE是菱形. 答案:证明:∵AD⊥BD, ∴∠ADB=90°。 又E为AB中点,∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE ∴∠ DBE =∠EDB 又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ∴BC∥DE. ∵EB∥CD ∴四边形BCDE是平行四边形 ∵BC=CD ∴四边形BCDE是菱形。 37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度. (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张; ②小明用若干张“风筝一号”和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接) 【答案】(1)∠B=72°,∠E=36° (2)5个; (3)图略 38. (2011贵州安顺,25,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE. ⑴说明四边形ACEF是平行四边形; ⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由. 第25题图 【答案】(1)证明:由题意知∠FDC=∠DCA=90°.∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC ∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA ∴△AEC≌△EAF,∴EF=CA,∴四边形ACEF是平行四边形 . (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形 . 理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=,∵DE垂直平分BC,∴BE=CE 又∵AE=CE,∴CE=,∴AC=CE,∴四边形ACEF是菱形. 39. (2011河北,23,9分)如图12,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG. (1)求证:①DE=EG; ②DE⊥EG; (2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明); (3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想; (4)当时,请直接写出的值. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°, 又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG. 又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. (2)如图 (3)四边形CEFK为平行四边形。 证明:设CK,DE相交于M点,∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形, ∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD, ∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°. ∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。 (4)= 40. (2011湖南湘潭市,24,8分)(本题满分8分) 两个全等的直角三角形重叠放在直线上,如图⑴,AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°,将Rt△ABC在直线上左右平移,如图⑵所示. ⑴ 求证:四边形ACFD是平行四边形; ⑵ 怎样移动Rt△ABC,使得四边形ACFD为菱形; ⑶ 将Rt△ABC向左平移,求四边形DHCF的面积. 图(1) A(D) B(E) C(F) D 图(2) F E C B A H 【答案】 (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF, ∴四边形ACFD是平行四边形; (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=10cm,要使四边形ACFD为菱形,则AC=CF, ∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm; (3)在Rt△ABC中,. ∴当Rt△ABC向左平移时,EC=BC-BE=8-4=4(cm), 在Rt△HEC中,. ∴四边形DHCF的面积为:cm2. 41. (2011湖北荆州,19,7分)(本题满分7分)如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连接EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由. 【答案】△ABE是等边三角形,理由如下: 因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的 所以△PEA≌△PCD,且AE与DC所夹的锐角为60° 所以AE=DC 又因为四边形ABCD是矩形 所以DC=AB且DC∥AB 所以AE=AB且∠EAB=60° 所以△ABE是等边三角形.查看更多