高中数学讲义微专题60 三视图——几何体的面积问题

高中数学讲义微专题60 三视图——几何体的面积问题

微专题 60 三视图——几何体的面积问题 一、基础知识： 1、常见几何体的表面积计算： （1）三角形面积：设 的底为 ，高为 ，则 （2）圆形面积：设圆的半径为 ，则 （3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为 ，高为 ，则侧面积为 （4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则侧面积为 （5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为 ，母线长为 ，则侧面积为 （6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起 （7）球的面积：设球的半径为 ，则球的表面积为 2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称 为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应。 （1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高 （2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的 高，腰对应圆锥的母线长 （3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对 应圆台的高，腰对应圆台的母线 3、三视图解面积的步骤： （1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体） （2）确定所求几何体由哪些面组成 （3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积 （4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积 4、求表面积要注意的几点： （1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应。 （2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴 截面可求出圆锥的母线长 （3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列。 （4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进 ABC a h 1 2ABCS a h  r 2S r r h 2S r h  r l S rl ,r R l  S R r l  R 24S R 而在求表面积时不予考虑。 二、典型例题： 例 1：一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图所示，则该几何体的侧面积为 _ cm 思路：通过三视图可判断出该几何体为正四棱锥，所以只 需计算出一个侧面三角形的面积，乘 4 即为侧面积。通过 三视图可得侧面三角形的底为 8（由俯视图可得），高为 5 （左侧面的高即为正视图中三角形左腰的长度），所以面积 为 ，所以侧面积为 答案：80 例 2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 为 ． 思路：由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其 表面积为半球面积和圆锥侧面积的和。球的半径为 3，所以半 球的面积 ，圆锥的底面半径为 3，母线长 为 5，所以圆锥的侧面积为 ，所以表 面积为 答案： 例 3：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________． 思路：可初步判断出该几何体可由正方体截得一部分而构 成。从三视图中可得去掉的一角为侧棱长为 1，且两两垂直的 三棱锥（如图所示），可得 为边长是 的等边三角 形。所以 ，其余的面中有三个面是 正方形的面积减去一个边长为 1 的等腰直角三角形的面积， 即 ，另外三个面为完整的正方形，即 ，所以表面积 1 1 5 8 202S    14 80S S cm  2 1 1 4 3 182S      2 3 5 15S rl       1 2 33S S S    33 ABC 2  23 324 2ABCS    2 2 1 1 72 12 2S     2 2 2 4S   1 2 45 33 3 2ABCS S S S     答案： 例 4：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ） A. B. C. D. 思路：由三视图可判断出该几何体为一个正四棱柱，所以表面积由 侧面的四个矩形，还有上下两个底面（直角梯形）的面积组成。由 俯视图可得梯形的上下底分别为 ，高为 1，所以梯形面积 ，四个侧面的底分别为 ，高为 ，所 以 侧 面 面 积 为 ， 从 而 表 面 积 答案：B 例 5：如图，一个空间几何体的正视图，侧视图都是面积为 ， 一个内角为 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表 面积为（ ） A. B. C. D. 思路：由三视图可得，该几何体为两个正四棱锥上下拼接而成， 其表面积为 8 个侧面三角形面积的和。首先计算正视图中菱形的 边长。图中的菱形被分成 2 个全等的等边三角形，设边长为 ，则 有 ，解得 答案：D 例 6：某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A. B. 45 3 2  8 2 2 11 2 2 14 2 2 15 1,2  1 1 31 2 12 2S     2,1,1, 2 2  2 2 2 1 1 2 8 2 2S        1 2 32 8 2 2 11 2 22S S S        3 2 60 2 3 4 3 8 4 a 23 32 4 2S a   2a  1 52 2  1 2 52 2  C. D. 思路：由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥的一 半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。由俯视 图可得底面半圆半径 ，所以底面半圆面积 几何体的侧面为圆锥侧面的一半，由正视图可得圆锥的母线 ，所以侧面面 积 ，轴截面为三角形，底为 2（侧视图），高为 2（正视图）所以可得面积 ，所以该几何体的表面积为 答案：A 例 7：如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 思路：从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼 接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和 圆柱的一个底面。圆锥的底面半径为 2，高为 ，可由 轴截面求出母线的长度为 ，所以圆锥侧面 ， 圆柱的高 ，底面半径 ，所以圆柱的侧面面积 ，圆柱底面面积 ，所以几 何体的表面积为 答案：B 例 8：某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为________ 思路：由正视图和侧视图可判断出几何体为锥体，结合俯视图可得该几 何体为圆锥的一部分。其表面积由底面扇形，圆锥侧面的一部分和两个三 角形截面组成，首先通过正视图线段的长度可得扇形的圆心角为 ， 所以扇形面积 ，由侧视图可得圆锥的母  2 1 5   2 52 2  1r  2 1 1 2 2S r   2 22 1 5l    2 1 5 2 2S rl   3 1 2 2 22S     1 2 3 1 5 22S S S S       12 4 3  20  20 4 3  28 2 3 4 1 8S rl   2h  2r  2 2 8S rh   2 3 4S r   1 2 3 20S S S S     2 3  2 2 1 1 1 2 422 2 3 3S r        线长 ，由底面扇形所占底面圆形的 可得圆锥部分侧面面积也是圆锥侧 面面积的 ，即 由正视图可得两个三角形的底为 2，高为 4，所以三角形面积为 ，所以几何 体的表面积为 答案： 例 9：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为___________ 思路：由三视图可知该几何体为四棱锥，且顶点在底面的投影为 底边的中点，可尝试作出四棱锥的直观图。底面为边长为 2 的正方 形，所以面积 ， 的底为 2，高为 （正视图 的左侧直角边），所以 。 的 底 为 2 ， 高 为 2 （ 侧 视 图 的 左 右 边 ）， 所 以 ， 的 底 为 2 ， 高 ，所以 ，所以棱锥的 表面积 答案： 小炼有话说：在求棱锥的侧面面积时，底可以考虑底面的边长，高则可从正视 图与侧视图三角形的左右两边寻找，其边长分别对应侧面三角形的高 例 10：圆柱被过轴一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体， 该 几 何 体 三视图 中 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示 ，若该 几 何 体 的 表 面 积 为 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：总体想法是用 表示出几何体的表面积，在结合已知列出方程求解。由条 件可知该几何体的表面积由一个半球，圆柱的半个底面，半球截面的一半（半 2 24 2 2 5l    1 3 1 3 2 1 4 5 3 3S rl    3 1 2 4 42S     1 2 3 4 4 52 83S S S S      4 4 5 83   22 4ABCDS   PAB 3 1 2 3 32PABS     ,PAD PBC  1 2 2 22PAD PBCS S      PDC  2 23 2 7h    1 2 7 72PDCS     8 3 7ABCD PAB PAD PBC PDCS S S S S S           8 3 7  r 16 20 r  1 2 4 8 r A B D C P 圆），圆柱的半个侧面和圆柱的轴截面的面积组成。半球的面积为 ，半 球 截 面 的 一 半 ， 圆 柱 半 个 底 面 面 积 为 ， 圆 柱 半 个 侧 面 面 积 为 ，轴截面为矩形，底为 ，高为 ，所以面积为 。 进而表面积 ，所以 ，可解得 答案：B 小炼有话说：本题在分析表面积构成时要注意细节的处理，例如在正视图中的圆有一条分割 线，这就体现了半球下圆柱被截的情况。所以半球的底面只有一部分与圆柱重合，露出的部 分还应计在表面积之中 2 2 1 1 4 22S r r    2 2 1 2S r 2 3 1 2S r 2 4 1 2 22S rh r    2r 2r 2 5 2 2 4S r r r   2 2 1 2 3 4 5 5 4S S S S S S r r       2 25 4 16 20r r    2r 