高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-4-1-2　函数奇偶性的应用

高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-4-1-2　函数奇偶性的应用

第 2 课时　函数奇偶性的应用　 关键能力 · 合作学习 类型一　利用奇偶性求函数的解析式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 若函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0 时 ,f(x)=x 2 -2x-1, 求函数 f(x) 的解析式 . 2. 设 f(x) 是偶函数 ,g(x) 是奇函数 , 且 f(x)+g(x)=x 2 +2x, 求函数 f(x),g(x) 的解析式 . 【 思路导引 】 1. 已知 x>0 时的解析式 , 用奇偶性求 x<0 时的解析式 , 应通过 (-x) 进行过渡 , 但别忽视 x=0 的情况 . 2. 根据函数的奇偶性 , 用 -x 代替原式中的 x, 再利用方程思想分别求出 f(x),g(x) 的解析式 . 【 解析 】 1. 当 x<0 时 ,-x>0, f(-x)=(-x) 2 -2(-x)-1=x 2 +2x-1, 因为函数 f(x) 是奇函数 , 所以 f(x)=-f(-x), 所以 x<0 时 ,f(x)=-x 2 -2x+1, 又 f(0)=0, 故 f(x)= 2. 因为 f(x) 是偶函数 ,g(x) 是奇函数 , 所以 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由 f(x)+g(x)=2x+x 2 . ① 用 -x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)=-2x+(-x) 2 , 所以 f(x)-g(x)=-2x+x 2 , ② ( ① + ② ) ÷ 2, 得 f(x)=x 2 .( ① - ② ) ÷ 2, 得 g(x)=2x. 【 解题策略 】 利用奇偶性求函数解析式的思路 　 (1)“ 求谁设谁” , 即在哪个区间求解析式 ,x 就设在哪个区间内 . (2) 利用已知区间内的解析式代入 , 求未知区间内的解析式 . (3) 利用 f(x) 的奇偶性写出 -f(x) 或 f(-x), 从而解出 f(x). 　 【 跟踪训练 】 函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数 , 当 x>0 时 ,f(x)=-x+1, 求 f(x) 的解析式 . 【 解析 】 设 x<0, 则 -x>0, 所以 f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又因为函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数 , 所以 f(-x)=-f(x)=x+1 所以当 x<0 时 f(x)=-x-1. 又 x=0 时 ,f(0)=0, 所以 f(x)= 类型二　奇偶性、单调性关系的应用 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　比较大小问题  【 典例 】 设偶函数 f(x) 的定义域为 R, 当 x∈[0,+∞) 时 ,f(x) 单调递增 , 则 f(-2),f(π),f(-3) 的大小关系是 ( 　　 ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)3>2, 所以 f( π )>f(3)>f(2), 故 f( π )>f(-3)>f(-2). 　 　 【 变式探究 】 将典例改为 : 函数 y=f(x) 在 [0,2] 上单调递增 , 且函数 f(x+2) 是偶函数 , 则下列结论成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 B. 因为函数 f(x+2) 是偶函数 , 所以函数 f(x) 的图象关于直线 x=2 对称 , 所以 又 f(x) 在 [0,2] 上单调递增 , 所以 　角度 2 　解不等式问题  【 典例 】 已知定义在 [-2,2] 上的奇函数 f(x) 在区间 [0,2] 上单调递减 , 若 f(1-m)b C.|a|<|b| D.0≤a0,1+ >0. 又 -10. 所以 f(x 1 )-f(x 2 )<0, 所以 f(x) 在 (-1,1) 上是增函数 . (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). 因为 f(x) 在 (-1,1) 上是增函数 , 所以 -10 时 ,f(x-1)≥0=f(2), 即 00 时 ,y=x+1, 所以在 (0,+∞) 上单调递增 ; 另外函数 y=x 3 不是偶函数 ;y=-x 2 + 1 在 (0,+∞) 上单调递减 ;y= 不是偶函数 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 一个偶函数定义在区间 [-7,7] 上 , 它在 [0,7] 上的图象如图 , 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 这个函数仅有一个单调增区间 B. 这个函数有两个单调减区间 C. 这个函数在其定义域内有最大值是 7 D. 这个函数在其定义域内有最小值是 -7 【 解析 】 选 C. 根据偶函数在 [0,7] 上的图象及其对称性 , 作出函数在 [-7,0] 上的图象 , 如图所示 , 可知这个函数有三个单调增区间 ; 有三个单调减区间 ; 在其定义域内有最大值是 7; 在其定义域内最小值不是 -7. 4. 如果奇函数 f(x) 在区间 [1,5] 上单调递减 , 且最小值为 3, 那么 f(x) 在区间 [-5,-1] 上 ( 　　 ) A. 单调递增且最小值为 3 B. 单调递增且最大值为 3 C. 单调递减且最小值为 -3 D. 单调递减且最大值为 -3 【 解析 】 选 D. 当 -5≤x≤-1 时 ,1≤-x≤5, 所以 f(-x)≥3, 即 -f(x)≥3. 从而 f(x)≤-3, 又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同 , 故 f(x) 在 [-5,-1] 上单调递减 . 5. 偶函数 f(x) 在 (0,+∞) 内的最小值为 2 020, 则 f(x) 在 (-∞,0) 上的最小值为 　　　　 .  【 解析 】 由于偶函数的图象关于 y 轴对称 , 所以 f(x) 在对称区间内的最值相等 . 又当 x∈(0,+ ∞ ) 时 ,f(x) min =2 020, 故当 x∈(- ∞ ,0) 时 ,f(x) min =2 020. 答案 : 2 020