数学（理）卷·2018山东省临沂一中高三12月月考（2017

数学（理）卷·2018山东省临沂一中高三12月月考（2017

数学试题（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( ) ‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】,则.故选B ‎【考点】复数运算及几何意义.‎ ‎2．已知全集，，则 （ ）[]‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】,则.‎ ‎【考点】二次不等式及集合运算.‎ ‎3.在等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,则.‎ ‎【考点】等差数列性质.‎ ‎4.如图，格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】三视图还原为三棱锥，如左下图所示，‎ 则三棱锥的表面积为 ‎【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.‎ ‎5.已知,则的大小为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】,‎ ‎【考点】指数函数对数函数的性质.‎ ‎6.若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：.‎ ‎【考点】正余弦型函数的图象变换.‎ ‎7.已知命题若，则，命题若，则，则有（ ）‎ A．为真 B.为真 C. 为真 D.为真 ‎【答案】D ‎【解析】为假，，为真. 则为真，故选D ‎【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.‎ ‎8.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 或(舍),故选C 考点：三角函数恒等变形．‎ ‎9.（原创，中档）如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体的体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C ‎【考点】旋转体体积、割与补.‎ ‎10．（原创，中档）函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ []‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ C D ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】为奇函数，排除B；‎ ‎；排除D；，排除C；故选A ‎【考点】函数性质及图象.‎ ‎11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】奇数数列，‎ 按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第 行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D ‎【考点】等差数列与归纳推理.‎ ‎12.已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】的周期显然为；‎ ‎；‎ ‎；，故②正确.‎ ‎；，故③正确. ，‎ 设，则，‎ ‎，故④正确 ‎【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.（原创，容易）若，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】向量坐标运算及向量垂直.‎ ‎14.（原创，容易）已知实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），，则在点处取得最小值 ‎【考点】基本型的线性规划 ‎15.（原创，中档）已知在数列的前项之和为，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 .‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【考点】等差等比数列及均值不等式 ‎16.（原创，难）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以 为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又，则，四棱锥的体积取值范围为 ‎【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ ‎（原创，容易）已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列满足，且前项的和为，求.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)‎ ‎（18）解：(Ⅰ) 或（舍）；………………3分 ‎ …………………5分 ‎ ……………………6分 ‎ (Ⅱ) ；………………7分[]‎ ‎………………8分 ‎………………10分 ‎……………………12分 ‎【考点】等比数列基本量运算、数列求和 ‎18．（本题满分12分）‎ ‎（原创，中档）设函数 ‎ (Ⅰ) 求的单调增区间；‎ ‎ (Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)‎ ‎（18）解：(Ⅰ) ……3分 ‎ ……………4分 ‎ …………5分 的单调增区间为……6分 ‎(Ⅱ) 由余弦定理可知：……7分 由题意可知：的内切圆半径为……8分 的内角的对边分别为，则……9分 ‎……………10分 或（舍）……11分 ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.……………12分 令也可以这样转化：……9分 代入；……………10分 或（舍）；……………11分 ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.……………12分 ‎【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值.[]‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎（原创，中档）如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若,且.[]‎ ‎（Ⅰ）若，，证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. ‎ ‎19.（Ⅰ）证明：连接，梯形，,‎ 易知：……2分；‎ 又，则∥……4分；‎ 平面，平面，‎ 可得：∥平面……6分；‎ ‎（Ⅱ）侧面是梯形，，‎ ‎,,‎ 则为二面角的平面角， ……7分；‎ 均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则 ‎,故点，‎ ‎……9分；‎ 设平面的法向量为，则有：……10分；‎ 设平面的法向量为，则有：……11分；‎ ‎，‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为……12分；‎ ‎【考点】线面平行证明及二面角计算.‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 设函数 ‎（原创，中档）（Ⅰ）若在处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为 ‎，求实数的值；‎ ‎（原创，难）（Ⅱ）若是的极小值点，求实数的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）解：；……………………2分；‎ 由题意可知：；……………………3分；‎ ‎；………………4分；‎ 易得切点坐标为，则有；………………5分；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：；………………6分； ‎ ‎（1）当时，，；；是的极小值点，∴适合题意；………………7分； ‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极小值点，∴适合题意；………………9分； ‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极大值点，∴不适合题意；…………11分 综上，实数的取值范围为；………………12分； ‎ ‎【考点】函数切线及函数极值.‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（原创，中档）（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎（原创，难）（Ⅱ）若的最大值为，求实数的值.‎ ‎（Ⅰ）在恒成立……1分；‎ 在恒成立……2分；‎ 设，则，由得：……3分；‎ 在上为增函数，有最小值. ∴；……4分；‎ ‎（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则 ‎；………………6分 下面证明：时，，即,‎ ‎；……………7分 设；……………8分 ‎……………9分 在上为增函数；‎ 在上为减函数；……………10分 有最大值；……………11分 ‎∴适合题意；……………12分 ‎【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ ‎（原创，容易）已知直线的参数方程为．以原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．‎ 解：（Ⅰ）由题意知：…………3分，‎ ‎；…………5分 ‎（Ⅱ）；…………6分，‎ 直线分圆所得的弧长之比为弦长为；…………8分，‎ ‎；…………9分，‎ 或；…………10分，‎ ‎【考点】方程互化、圆弦长.‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】‎ ‎（原创，容易）已知函数, ‎ ‎（Ⅰ）解不等式； ‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎23. 解：（Ⅰ）可化为 ‎，或，或；…………………………2分 ‎，或，或； ……………………4分 不等式的解集为；……………………………5分 ‎（Ⅱ）易知；…………………………6分 所以，又在恒成立；…………………………7分 在恒成立；…………………………8分 在恒成立；…………………………9分 ‎………………………10分 ‎【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学（理）参考答案及评分标准 ‎1．【答案】B ‎2．【答案】B ‎3.【答案】C ‎4.【答案】A ‎5.【答案】D ‎6.【答案】A ‎7.【答案】D[]‎ ‎8.【答案】C ‎9.【答案】C ‎10．【答案】A[]‎ ‎11.【答案】D ‎12.【答案】D ‎13.【答案】‎ ‎14.【答案】‎ ‎15.【答案】‎ ‎16.【答案】‎ ‎17.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)‎ 解：(Ⅰ) 或（舍）；………………3分 ‎ …………………5分 ‎ ……………………6分 ‎ (Ⅱ) ；………………7分 ‎………………8分 ‎………………10分 ‎……………………12分 ‎【考点】等比数列基本量运算、数列求和 ‎18．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)‎ 解：(Ⅰ) ……3分 ‎ ……………4分 ‎ …………5分 的单调增区间为……6分[]‎ ‎(Ⅱ) 由余弦定理可知：……7分 由题意可知：的内切圆半径为……8分 的内角的对边分别为，则……9分 ‎……………10分 或（舍）……11分 ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.……………12分 令也可以这样转化：……9分 代入；……………10分 或（舍）；……………11分 ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.……………12分 ‎19． ‎ ‎19.（Ⅰ）证明：连接，梯形，,‎ 易知：……2分；‎ 又，则∥……4分；‎ 平面，平面，‎ 可得：∥平面……6分；‎ ‎（Ⅱ）侧面是梯形，，‎ ‎,,‎ 则为二面角的平面角， ……7分；‎ 均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则 ‎,故点，‎ ‎……9分；‎ 设平面的法向量为，则有：……10分；‎ 设平面的法向量为，则有：……11分；‎ ‎，‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为……12分；‎ ‎20. ‎ ‎（Ⅰ）解：；……………………2分；‎ 由题意可知：；……………………3分；‎ ‎；………………4分；‎ 易得切点坐标为，则有；………………5分；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：；………………6分； ‎ ‎（1）当时，，；；是的极小值点，∴适合题意；………………7分； []‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极小值点，∴适合题意；………………9分； ‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极大值点，∴不适合题意；…………11分 综上，实数的取值范围为；………………12分； ‎ ‎21. （Ⅰ）在恒成立……1分；‎ 在恒成立……2分；‎ 设，则，由得：……3分；‎ 在上为增函数，有最小值. ∴；……4分；‎ ‎（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则 ‎；………………6分 下面证明：时，，即,‎ ‎；……………7分 设；……………8分 ‎……………9分 在上为增函数；‎ 在上为减函数；……………10分 有最大值；……………11分 ‎∴适合题意；……………12分 ‎22． ‎ 解：（Ⅰ）由题意知：…………3分，‎ ‎；…………5分 ‎（Ⅱ）；…………6分，‎ 直线分圆所得的弧长之比为弦长为；…………8分，‎ ‎；…………9分，‎ 或；…………10分，‎ ‎23. 解：（Ⅰ）可化为 ‎，或，或；…………………………2分 ‎，或，或； ……………………4分 不等式的解集为；……………………………5分 ‎（Ⅱ）易知；…………………………6分 所以，又在恒成立；…………………………7分 在恒成立；…………………………8分 在恒成立；…………………………9分 ‎………………………10分