2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C卷02）

2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C卷02）

1 2017-2018 学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（C 卷 02） 第 I 卷 评卷人 得分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知 （ 为虚数单位， ），则 的值为（ ） A． -1 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】D 2．若随机变 ，且 , 则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 随机变量 ，对正态分布， ，故 ，故选 B． 3．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种 因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上 演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ） A． 《雷雨》只能在周二上演 B． 《茶馆》可能在周二或周四上演 C． 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D． 四部话剧都有可能在周二上演 【答案】C 【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选 C． ( )( )i 1 2 5a b i+ − = i , Ra b∈ a b+ ( )2,Nξ µ σ∼ 3, 1E Dξ ξ= = 1 1)P ξ− < ≤（ ( )2 1 1Φ − ( ) ( )4 2Φ − Φ ( ) ( )4 2Φ − − Φ − ( ) ( )2 4Φ − Φ  ( )2,Nξ µ σ∼ 23, 1E Dµ ξ σ ξ= = = = ( ) ( ) ( )1 1 1 3 1 3P ξ− < ≤ = Φ − − Φ − − = ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 2Φ − − Φ − = Φ − Φ 2 4．如图，矩形 的四个顶点依次为 ， ， ， ，记线段 ， 以及 的图象围成的区域（图中阴影部分）为 ，若向矩形 内任意投一点 ，则点 落 在区域 内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5．已知： ，则 等于（ ） A． －1400 B． 1400 C． 840 D． －840 【答案】A 【解析】分析：由题 ， 由此可求 的值． 详解： ， OABC ( )0,0O ,02A π     ,12B π     ( )0,1C OC CB sin 0 2y x x π = ≤ ≤   Ω OABC M M Ω 12 π − 2 2 π− 2 π 21 π− 3 故 故选 A． 点睛：本题考查二项式定理，解题的关键是对所要展开的式子进行适当变形． 6．某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试．现随机 调查了 24 名笔试者的成绩,如下表所示: 分 数 段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90] 人数 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线是(　　) A． 75 B． 80 C． 85 D． 90 【答案】B 7．设 m，n，t 都是正数，则 m＋ ，n＋ ，t＋ 三个数(　　) A． 都大于 4 B． 都小于 4 C． 至少有一个大于 4 D． 至少有一个不小于 4 【答案】D 【解析】依题意，令 m＝n＝t＝2，则三个数为 4,4,4，排除 A，B，C 选项，故选 D． 8．已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则 A． 至少有两个零点 B． 在 处取极小值 C． 在 上为减函数 D． 在 处切线斜率为 4 n 4 t 4 m ( )y f x= ( )y f x= ′ ( )y f x= 3x = ( )2,4 1x = 0 4 【答案】C 【解析】根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到 A 是错的，在 x=3 处， 左右两端都是减的，股不是极值；故 B 是错的；C，在 上是单调递减的，故答案为 C；D 在 1 出的导数值大 于 0，故得到切线的斜率大于 0，D 不对． 故答案为 C． 9．有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔， 则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选取两支彩笔的方法有 种，含有红色彩笔的选法为 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为 ． 本题选择 C 选项． 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排 列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，是组合问题，当 然简单问题建议采取列举法更直观一些． 10．过函数 图象上点 O（0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数 ， 导函数 ， 时， ，所求切线斜率为 ， 所求切线 方程为 ，故选 A． 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线 与 轴 平 行 时 ， 在 处 导 数 不 存 在 ， 切 线 方 程 为 ）； （ 2 ） 由 点 斜 式 求 得 切 线 方 程 ． ( )2,4 siny x= y x= 0y = 1y x= + 1y x= − +  siny x= ∴ ' cosy x= 0x = ' cos0 1y = = 1 ∴ y x= ( )y f x= 0x x= ( )y f x= P ( )( )0 0,x f x ( )y f x= P y 0x x= ( ) ( )0 0•y y f x x x′− = − 5 11．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 （ ） A． 既有极小值，也有极大值 B． 有极小值，但无极大值 C． 有极大值，但无极小值 D． 既无极小值，也无极大值 【答案】B 【解析】 由导函数图象可知， 在 上为负， 在 上非负， 在 上递减，在 递增， 在 处有极小值，无极大值，故选 B． 12．若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 , ,有下列命题： ① 在 内单调递增； ② 和 之间存在“隔离直线”，且 的最小值为-4； ③ 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是 ； ④ 和 之间存在唯一的“隔离直线” ． 其中真命题的个数有( ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【答案】C k b ( )F x ( )G x x ( )F x kx b≥ + ( )G x kx b≤ + y kx b= + ( )F x ( )G x ( ) ( )2f x x x R= ∈ ( ) ( ) ( )1 0 , 2 lng x x h x e xx = < = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 3 1 ,0 2 x  ∈ −   ( )f x ( )g x b ( )f x ( )g x k ]( 4 0 − ， ( )f x ( )g x 2y ex e= − ( )y f x= ( )y f x= ′ ( )f x ( )y f x= ′ ( )0, x−∞ ( )y f x= ′ ( )0 ,x +∞ ( )y f x∴ = ( )0, x−∞ ( )0 ,x +∞ ( )y f x∴ = 0x x= 6 ，同理 可得 ，故②正确，③错误，④函数 和 的图象在 处有公共点，因此存在 和 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设 隔离直线的斜率为 ，则隔离直线方程为 ，即 ，由 ， 可 得 ， 当 恒 成 立 ， 则 ， 只 有 ， 此 时 直 线 方 程 为 ， 下 面 证 明 ， 令 ， ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 取到极小值，极小值是 ，也是最小值， ，则 ， 函数 和 存在唯一的隔离直线 ， 故④正确，真命题的个数有三个，故选 C． 【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题．新定义题 型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在 阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇 到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分 析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的． 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～ （23）题为选考题，考生根据要求作答． 评卷人 得分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． 2 4 24 , 16 64 , 4 0b k k b k k≤ − ≤ ≤ − − ≤ ≤ 4 216 64 ,b k b≤ ≤ − 4 0b− ≤ ≤ ( )f x ( )h x x e= ( )f x ( )h x k ( )y e k x e− = − y kx k e e= − + ( ) ( )f x kx k e e x R≥ − + ∈ 2 0x kx k e e− + − ≥ x R∈ ( )2 2 0k e∆ = − ≤ 2k e= 2y ex e= − ( ) 2h x ex e≤ − ( ) ( )2G x ex e h x= − − 2 2 lnex e e x= − − ( ) ( )2 ' e x e G x x − = x e= ( )' 0G x = 0 x e< < ( )' 0G x < x e> ( )' 0G x > x e= ( )'G x 0 ( ) ( )2 0G x ex e h x∴ = − − ≥ ( ) 2h x ex e≤ − ∴ ( )f x ( )h x 2y ex e= − 7 13．某灾情过后志愿者纷纷前往灾区救援,现从四男三女共 7 名志愿者中任选 2 名(每名志愿者被选中的机会相 等),则 2 名都是女志愿者的概率为_____． 【答案】 【解析】从 7 人中选 2 人有 21 种情况,选出 2 名女志愿者的情况有 3 种,所以概率为 故答案为： 14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、 （2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________ 【答案】正方形的对角线相等 点睛：该题考查的是有关演绎推理的概念问题，要明确三段论中三段之间的关系，分析得到大前提、小前提以及 结论是谁，从而得到结果． 15．已知函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】已知函数 定义域为 ， ， ，令 ，图像如图， ∵函 数 在 上不单调， ∴区间 在 零点 1 或 3 的两侧， 或 ， 8 解得 或 ． 即实数 的取值范围是 ． 点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单 调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想 16．给出下列四个结论： (1)相关系数 的取值范围是 ； (2)用相关系数 来刻画 回归效果， 的值越大，说明模型的拟合效果越差； (3)一个袋子里装有大小相同的 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 4 个，则其中所含白球个数的期望是 2； (4) 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，不得分的概率为 ,且 ，已知 他投篮一次得分的数学期望为 2，则 的最小值为 ． 其中正确结论的序号为______________． 【答案】(3)(4) 【解析】分析：（1）相关系数的范围；（2）由相关指数 r 的含有知，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好； （3）离散型随机变量的期望；（4）根据期望公式得到 3a+2b=2，进而利用均值不等式求最值． 详解：（1）相关系数 的取值范围是 ，故（1）错误； （2）用相关指数 r 来刻画回归效果，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好，故（2）错误； （3）含零个白球的概率为 ，含一个白球的概率为 ，含二个白球的概率为 ，含三个白球的概率为 ，含四个白球的概率为 ， 白球个数的期望为： ，故（3）正确； r 1r < r r a b c ( ), , 0,1a b c∈ 2 1 3a b + 16 3 r 1r ≤ 5 210 50 210 100 210 50 210 5 210 5 50 100 50 50 1 2 3 4 2210 210 210 210 210 × + × + × + × + × = 9 点睛：本题考查相关系数的有关概念，考查离散型随机变量的期望及概率统计与基本不等式的综合应用，属于中 档题． 评卷人 得分 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个实体考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1 元/公里 0．2 元/分 钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总 路程虽然只有 10 公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约 1 小时”，并将自己近 50 天的往返开车的花费时间 情况统计如表： 将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间． （1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）； （2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过 45 分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘 拟租用该车上下班 2 天，设其中有 天为“最优选择”，求 的分布列和数学期望． 【答案】(1)16．96，(2) + ξ ξ ( ) 1.6E ξ = 10 试题解析： （1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表： 估计小刘平均每天用车费用为 ． （2） 可能的取值为 0,1,2， 用时不超过 45 分钟的概率为 0．8， ， ， ， ， ． 18．（本小题满分 12 分） 2018 年 2 月 25 日第 23 届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以 1 金 6 银 2 铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校 体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意” 两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了 11 人，具体的调查结果如下表： 某班 满意 不满意 男生 2 3 女生 4 2 （Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多 4 人，求该班男生人数和女生人数 （Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取 2 人进行追踪调查，记选中的 2 人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人 数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望． 14 0.2 16 0.36 18 0.24 20 0.16 22 0.04 16.96× + × + × + × + × = ξ ( )~ 2,0.8Bξ ( ) 0 0 2 20 0.8 0.2 0.04P Cξ = = ⋅ = ( ) 1 1 1 21 0.8 0.2 0.32P Cξ = = ⋅ = ( ) 2 2 0 22 0.8 0.2 0.64P Cξ = = ⋅ = ( ) 2 0.8 1.6E ξ = × = ξ ξ 11 【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析． 对 应 的 事 件 为 从 该 班 11 名 调 查 对 象 中 抽 取 2 人 ， （Ⅱ）设该生持满意态度为事件 A，则基本事件的总数有 11 种，事件 A 中包含的基本事件有 6 种，所以 （Ⅲ） 的可能取值有 0，1，2 2 人中恰好有 0 人持满意态度 基本事件的总数为 =55，其中包含的基本事件数有 种 所以 同理： ， 所以分布列为： 0 1 2 P 所以期望 19．（本小题满分 12 分 ） 已知函数 ． ( ) 6 11P A = =0ξ ( ) 6 11P A = ξ 2 11C 2 5 10C = ( ) 10 20 55 11P ξ = = = ( ) 1 1 6 5 2 11 30 61 55 11 C CP C ξ ⋅= = = = ( ) 2 6 2 11 C 15 32 =C 55 11P ξ = = = ξ 2 11 6 11 3 11 2 6 3 12E =0 +1 +2 =11 11 11 11 ξ × × × ( ) ( )2 2ln , 0xf x x a R aa = − ∈ ≠ 12 （1）讨论函数 的单调性； （2） 若函数 有两个零点 ， ，且 ，证明： ． 【答案】（1）当 时，知 在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递 增；（2）证明见解析． 【解析】试题分析： （1）由函数的解析式了的 ， ，分类讨论有：当 时，知 在 上递减； 当 时， 在 上递减，在 上递增； 试题解析： （1） ， ， 当 时， ，知 在 上是递减的； 当 时， ，知 在 上是递减的，在 上递增的． （2）由（1）知， ， ， 依题意 ，即 ， 由 得， ， ， ， 由 及 得， ，即 ， 欲证 ，只要 ， 注意到 在 上是递减的，且 ， ( )f x ( )f x 1x 2x 1 2( )x x< 2a e= 1 2 2x x e+ > 0a < ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x ( )0, a ( ),a +∞ ( ) 2 2' xf x a x = − ( 0)x > 0a < ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x ( )0, a ( ),a +∞ ( ) 2 2' xf x a x = − ( 0)x > 0a < ( )' 0f x < ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( ) ( )( )2 ' x a x a f x ax + − = ( )f x ( )0, a ( ),a +∞ 0a > ( ) ( ) 1minf x f a lna= = − 1 0lna− < a e> 2a e= ( ) 2 2 2 ( 0)xf x lnx xe = − > ( )1 0,x e∈ ( )2 ,x e∈ +∞ ( )2 2 2 2 0f e ln= − > ( )2 0f x = 2 2x e< ( )2 ,2x e e∈ 1 2 2x x e+ > 1 22x e x> − ( )f x ( )0,e ( )1 0f x = 13 只要证明 即可， 由 得 ， 所以 ， ， 令 ， ， 则 ，知 在 上是递增的，于是 ，即 ，综上， ． 20．（本小题满分 12 分） 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 ( 为大于 0 的常数)．现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下： 对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表: （1）根据所给数据，求 关于 的回归方程； （2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品．现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 ( )22 0f e x− > ( ) 2 2 22 2 0xf x lnxe = − = 2 2 2 22x e lnx= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 22 2 2e xf e x ln e xe −− = − − ( )2 2 2 2 22 4 4 2 2e ex x ln e xe − += − − ( )2 2 2 2 22 4 4 2 2 2e ex e lnx ln e xe − += − − ( )2 2 2 44 2 2 2x lnx ln e xe = − + − − ( )2 ,2x e e∈ ( ) ( )44 2 2 2tg t lnt ln e te = − + − − ( ),2t e e∈ ( ) ( ) ( ) 244 2 2' 02 2 e tg t e t e t et e t −= − + + = >− − ( )g t ( ),2e e ( ) ( )g t g e> ( )22 0f e x− > 1 2 2x x e+ > 14 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望． 附 ： 对 于 一 组 数 据 ， 其 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 ， ． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对 ，两边取自然对数得 ， 再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解． (2)第（2）问， 先写出随机变量 的值，再写出随机变量的分布列和期望． 其分布列为 0 1 2 3 P ∴ ． 15 点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字 母的含义，再利用参考数据解答． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ， （ ， ）． （1）若 ， ，求函数 的单调区间； （2）若函数 与 的图象有两个不同的交点 ， ，记 ，记 ， 分别是 ， 的导函数，证明： ． 【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减(2)见解析 【解析】试题分析：（1）由题意，得到 ，求得 ，利用导数即可判定函数单调性，求解单调区间； 试题解析： （1） ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减．　 （2） ， ， ， ， ，即 ， ( ) lnf x x= ( ) 2g x ax bx= + 0a ≠ b R∈ 2a = 3b = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )f x ( )g x ( )( )1 1,x f x ( )( )2 2,x f x 1 2 0 2 x xx += ( )'f x ( )'g x ( )f x ( )g x ( ) ( )0 0' 'f x g x< ( )F x 10, 4      1 ,4  +∞   ( )F x ( )'F x ( ) 2ln 2 3F x x x x= − − ( ) ( )( )4 1 11' 4 3 x xF x xx x − += − − = − ( )F x 10, 4      1 ,4  +∞   ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 1 21' ' 2 ax bxf x g x ax bx x − −− = − + = ( ) ( )22 1 2 1 22 1 2 1 2 0 0 21 2 1 2 2 2 2 a x x b x xx x x xax bx a b − + − ++ + − − = − − =   2 1 1 1lnax bx x+ = 2 2 2 2lnax bx x+ = ( )( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 ln xa x x x x b x x x + − + − = ( ) 1 1 2 1 2 2 1 ln xa x x b x x x + + = − 16 ， 不妨设 ，令 （ ）， 下证 ,即 ，即 ， ， ，所以 ， ∴ ， ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修 4 4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）若直线 与 相切，求 的直角坐标方程； （2）若 ，设 与 的交点为 ，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：（1）先根据直线与 C 相切得到 k 的值，再写出直线的直角坐标方程．(2)先求 AB 的长，再求点 C 到直线 AB 的距离，最后求 的面积． 详解：（1）由 可得 的直角坐标方程为 ，即 ， 消去参数 ，可得 ，设 ， 则直线 的方程为 ， 由题意，圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ． ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 11 2 2 2 2 1 ln ln 1 x x x x x xa x x b x x xx x x x x +++ + + = = ⋅− − 1 2x x> ( ) 1ln1 xh x xx += − 1x > ( ) 1ln 21 xh x xx += >− ( )2 1 4ln 21 1 xx x x −> = −+ + 4ln 21x x + >+ ( ) 4ln 1u x x x = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 4' 1 1 xu x x x x x −= − = + + ( ) ( )1 2u x u> = ( ) ( )2 1 2 1 2 2a x x b x x+ + + > ( ) ( )0 0' 'f x g x< - 17 点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对 这些基础知识的掌握能力．(2)解答坐标系和参数方程的题目，可以选择极坐标解答，也可以选择参数方程解答， 也可以选择直角坐标解答，要看具体的情况，具体分析． 23．【选修 4 5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的图像最低点为 ，正数 ， 满足 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ． (2) ． 【解析】分析：第一问首先利用零点分段法去掉绝对值符号，将不等式转化为三个不等式组，接着对三个不等式 组分别求解，之后将其求并集得到不等式的解集；第二问写出函数的解析式，得到函数图像的最低点的坐标，从 而求得 ，这样问题就转化为已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最小值问题，相乘 除以 4，即可求得结果． 详解：（1）当 时， ，得 ，所以 当 时， ，得 ，所以 当 时， ，得 ，所以 综上， 不等式的解集为 - 18 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是有关绝对值不等式的解法，那就是应用零点分段法，将其化 为三个不等式组求解，其中对应的思想就是去掉绝对值符号，再者就是会找函数图像的最低点，之后借助于有关 两个正数的整式形式和分式形式的和，其中一个是定值，求另一个的最小值的时候，方法就是相乘，之后应用基 本不等式求解，注意的一点就是必须坚持乘 1 才是不变量．